Лекция 6

(см. рис. 6.2). Для этого поступим согласно общему правилу отыскания экстремума функции.

Из (6.2) выразим координату z:

Возьмем производную от (6.4) по и приравняем ее нулю:

Поскольку p q 0 , то должно равняться нулю выражение, заключенное в скобки:

Подставив это выражение в (6.4), получим формулу для максимальной глубины развития пластических деформаций

Полученное уравнение решим относительно внешней нагрузки:

Первая критическая нагрузка по Н.П. Пузыревскому. Если в (6.5) поло-

жить zmax 0, то получим такое значение нагрузки, при котором впервые начинается разрушение грунта:

первую критическую нагрузку по Н.П. Пузыревскому.

Если в выражении (6.6) числитель и знаменатель первого слагаемого правой части умножить на sin , а затем положить 0, то получим формулу первого критического давления на основание, сложенное идеально связанным грунтом ( 0, c 0):

p1кр c q .

6.3. Расчетное сопротивление грунта

Последующие исследования показали, что первая критическая нагрузка, рассчитанная по формуле (6.6), занижает наблюдаемое в опытах значение. Поэтому в практике проектирования оснований и фундаментов используют не безопасное давление (6.6), а нагрузку, рассчитываемую по формуле (6.5) при zmax b/4, т.е. допуская развитие областей пластических деформаций на глубину в четверть ширины фундамента:

В нормах проектирования фундаментов эта величина называется расчет-

ным сопротивлением грунта основания. По величине R подбираются размеры подошвы фундаментов промышленных и гражданских зданий.

Приведем принятую в нормах форму записи выражения для расчетного сопротивления:

R bM qMq cM c .

Здесь M , Mq, Mc коэффициенты, зависящие от угла внутреннего трения, которые, как следует непосредственно из (6.7), могут быть рассчитаны по формулам:

6.4. Замечания по задаче Н.П. Пузыревского

Отметим две особенности изложенного решения.

Первая состоит в том, что при определении бытовых напряжений коэффициент бокового давления принимался равным единице и, следовательно, коэффициент Пуассона равным 0,5. В действительности < 1, а < 0,5. Эта неточность в значительной мере оправдывается тем, что бытовое напряженное состояние внутри небольших по размерам областей пластических деформаций составляет лишь часть, притом меньшую, от общих напряжений.

Вторая особенность заключается в том, что при определении расчетного сопротивления, когда допускается развитие областей пластических деформаций на глубину b/4, внутри этих областей напряжения превышают предел текучести грунта > 0. Этого, во-первых, не бывает в действительности, а во-вторых, если даже в какой-то области f 0, то решения ТЛДС неприменимы, и необходимо решать упругопластическую задачу. Указанная неточность также тем меньше, чем меньше размеры областей пластических деформаций.

Несмотря на указанные недостатки, первая критическая нагрузка по Н.П. Пузыревскому и основанная на ней величина расчетного сопротивления нашли очень широкое применение в практических расчетах

6.5. Некоторые понятия упругопластического анализа

Диаграмма Прандтля. На рис. 6.3 дана диаграмма - идеальноупругопластической модели, которая позволяет описывать начальную, принимаемую линейной, стадию деформирования грунта, а при достижении напряжениями некоторого предела прочности, условно обозначенного здесь p,

наступает пластическое течение. Этот график иногда называют диаграммой Прандтля. Термин «идеальная» пластичность означает отсутствие упрочнения или разупрочнения грунта, которое может проявляться на стадии пластического течения.

Функция текучестиB . Появление пластических деформаций, как правило,

сопровождается характерным переломом на кривой «напряжения-деформации»p

например, точка A на графике рис. 6.3. Следовательно, о наступлении этапа пластического деформирования можно судить по достигнутому уровню напря-

где p предел пластичности материала при одноосном растяжении или сжатии

– по существу, прочностная характеристика.

Отсутствие пластических деформаций в рамках принятой концепции гарантируется, если

В случае пространственного напряженного состояния, когда все три главных напряжения отличны от нуля 1 0, 2 0, 3 0, выражения (6.8) и (6.9) обобщают в виде некоторой комбинации напряжений, которая называется функцией текучести. Функцию текучести выбирают так, что равенство

отвечает наступлению стадии пластического деформирования, или предельному состоянию материала, а неравенство

означает линейную деформируемость и допредельное состояние материала.

В формулах (6.10) и (6.11) ij сокращенное обозначение всех шести

компонент напряжений x, y, z, xy, yz, zx.

Для идеально-пластических сред, когда упрочнением или разупрочнением пренебрегают, условие текучести совпадает с условием пластичности, которое также определяет наступление предельного состояния, но, в отличие от условия текучести, в дальнейшем остается неизменным. Таким образом, условие текучести является более общим понятием.

Условие текучести (6.10) можно выразить и в виде функции главных

Примером такого условия является, например, закон Кулона-Мора.

По аналогии с (6.11) допредельному напряженному состоянию будет отвечать неравенство

f( 1, 2 , 3) 0.

Вдальнейшем будем пользоваться как формой записи (6.10), так и (6.12).

6.6. Общая схема упругопластических решений

Общая схема решения упругопластических задач сводится к следующему. Пусть при некотором значении нагрузки в грунтовом массиве одновременно существуют область 1 допредельного состояния (линейной деформируемости) и область 2 пластического течения, как показано на рис. 6.4. Тогда общая постановка задачи включает в себя следующие уравнения.

p

f 0 3 2

Рис. 6.4. Схема к общей постановке упругопластических задач:

1 – линейно-деформируемая область (допредельная); 2 – пластическая область; 3 – граница линейно-деформируемой и пластической областей

В линейно-деформируемой (допредельной) области 1 должны выполнять-

ся:

статические уравнения (уравнения равновесия);

физические уравнения (закон Гука);

геометрические уравнения (уравнения совместности деформаций). В пластической области 2 должны выполняться:

статические уравнения (уравнения равновесия);

физические уравнения (уравнение состояния упругопластического

грунта);

геометрические уравнения (уравнения совместности деформаций). Кроме этого, на границе 3 линейно-деформируемой и пластической обла-

стей должны выполняться условия равновесия и совместности деформаций, а по контуру массива граничные условия, наложенные на напряжения, деформации или перемещения.

Физические уравнения упругопластического грунта существенно отличаются от физических уравнений линейно-деформируемой среды, где они вы-

ражали линейную зависимость между напряжениями и деформациями – закон Гука. Уравнение состояния упругопластического тела обычно представляет собой результат решения системы уравнений, которые, в свою очередь, отражают целый набор механических свойств грунта, проявляемых им в данных условиях. В частности, такими уравнениями устанавливается факт нахождения напряжений на поверхности текучести, гипотезы о соотношении пластических и упругих деформаций при пластическом течении, закон пластического течения, закон упрочнения или разупрочнения грунта.

Главной технической особенностью при построении численных упругопластических решений, отличающей их от линейно-деформируемой или жесткопластической моделей, является способ нагружения грунтового массива.

Нагрузка увеличивается малыми ступенями dp. После каждого шага нагружения при достигнутой нагрузке p выполняется проверка уровня напряженного состояния в каждой точке грунтового массива. Если напряжения еще не достигли предела прочности в данной точке, т.е. ( ij) < 0, то на следующем шаге нагружения грунт в этой точке будет деформироваться в соответствии с законом Гука. Если в какой-либо точке ( ij) 0, то на следующем шаге нагружения грунт в этой точке будет деформироваться в соответствии с уравнением состояния упругопластического грунта. Сказанное можно представить в виде матричных уравнений:

f ( ij ) 0 : {d } [De ]{d }; f ( ij ) 0 : {d } [Dep ]{d }.

Первое уравнение представляет собой закон Гука, записанный в приращениях напряжений и деформаций, а второе – уравнение состояние упругопластического грунта, которое и рассмотрим далее.

6.7. Основные гипотезы в идеально-упругопластических решениях

Вывод уравнения состояния упругопластического грунта будем выполнять для условий плоской деформации. Задача заключается в установлении зависимости между приращениями компонент напряжений d x, d z, d xz и приращениями компонент деформаций d x, d z, d xz, которую будем искать в виде

d x D11d x D12d z D13d xz , d z D21d x D22d z D23d xz , d xz D31d x D32d z D33d xz .

Для записи этой системы удобно использовать матричную форму:

где {d } матрица-столбец приращений напряжений, {d } матрица-столбец приращений деформаций, [Dep] искомая упругопластическая матрица:

Если пластический потенциал совпадает с функцией пластичности, т.е. P( ij) ( ij), то выражения (6.18) представляют собой ассоциированный закон пластического течения, в противном случае (6.18) представляют неассоцииро-

ванный закон пластического течения. Подчеркнем еще раз, что закон пласти-

ческого течения является следствием постулатов, описывающих работу на пластических деформациях, но не следствием общих законов механики, и, по сути, является гипотезой, связывающей напряжения ij с приращениями пластических деформаций d pij.

6.8. Уравнение состояния идеально-упругопластического грунта

Итак, исходные предпосылки для вывода уравнения состояния упруго-

Исключая из системы (6.15)…(6.18) приращения компонент «упругих» {d e} и пластических {d p} деформаций, а также множитель d , определим искомую зависимость (6.13). Указанные преобразования запишем в матричной форме. Из выражения (6.16) выразим приращения «упругих» деформаций

{d e} {d } {d p}

и подставим их в (6.17)

Как известно, операции деления в матричной алгебре не существует. Но, поскольку матричное произведение {F}T[De]{P} дает число, то правая часть может быть представлена в виде дроби.

Подставим выражение для d в (6.19):

{d } [De ]{d } [De ]{P}{F}Т [De ]{d }. {F}Т [De ]{P}

Вынесем за скобку {d } и перепишем это уравнение в виде: