Лекция 4

в плоской задаче Фламана. Отличие в случае пространственной задачи Буссинеска заключается в том, что с глубиной уменьшение (рассеивание) напряжений происходит быстрее, чем в плоской задаче.

Формулы для перемещений и осадки поверхности. Для перемещений параллельно осям координат даются формулы:

Выражения для компонент деформаций нетрудно получить, подставив (4.1) в обобщенный закон Гука (2.10).

Положив z 0 в третьем из равенств (4.2), получим простую формулу для осадки поверхности:

где r – радиус-вектор точки, находящейся на поверхности: r2 x2 y2.

Формула (4.3) лишена тех недостатков, которыми обладали формулы для осадок в задачах Фламана, Мичелла и Польшина – произвольная постоянная, не определяемая граничными условиями, и выход деформированной поверхности в отрицательную область. Вместе с тем, в точке приложения силы P осадка также стремится к бесконечности. Но это объясняется вполне аналогично задаче Фламана – приложенная в точке сила P действует на нулевой площади, вызывая бесконечно большие напряжения и, соответственно, столь же большие деформации.

4.2. Задача о произвольном нормальном давлении

Для определения напряжений и перемещений в основании при действии на его поверхности произвольной нормальной нагрузки используется решение Буссинеска о сосредоточенной силе и принцип суперпозиции.

На рис. 4.2 изображена произвольная площадь A, по которой действует нормальное давление, распределенное по некоторому закону p(x, y).

В малой окрестности точки ( , ) на поверхности выделим элементарную площадку dA d d . В этой точке давление, очевидно, равно p( , ). Сила этого давления по площадке dA равна элементарной сосредоточенной силе dP p( , )d d . Тогда в произвольной точке M с координатами x, y, z по формулам (4.1) можно найти бесконечно малые величины напряжений и перемещений от силы dP. Например, для вертикальных z напряжений имеем:

Проинтегрировав полученные выражения по площади загружения A, найдем искомые напряжения и перемещения в точке M от заданной нагрузки. Так, для вертикального напряжения справедливо выражение

Используя (4.1)…(4.2), нетрудно получить аналогичные выражения и для остальных компонент напряжений и перемещений.

x

M (x,y,z)

Рис. 4.2. К определению напряжений от произвольной нагрузки

4.3. Задача Лява-Короткина 1929, 1938

Расчетная схема и формулы для вертикальных напряжений. Решение задачи о равномерно нагруженной прямоугольной площадке наиболее часто используется в практических расчетах. А. Лявом в 1929 г. были получены выражения для сжимающих напряжений z, а впоследствии В.Г. Короткин (1938) получил формулы для всех компонент напряжений. Поэтому рассматриваемое решение называют задачей Лява-Короткина. Приведем основные результаты этих решений.

Пусть по прямоугольной в плане площадке размером 2a 2l действует равномерное нормальное давление p. Центр декартовой системы координат поместим в один из углов загруженной площадки (рис. 4.3, а). Определим вертикальные напряжения в точке M, расположенной на оси Oz.

Пользуясь приемом, изложенным выше, в соответствии с формулой (4.4) запишем выражение для вертикального напряжения z в точке M с координата-

ми x 0, y 0, z:

Результат интегрирования можно представить в виде:

Если совместить начало координат с центром загруженной площади (рис. 4.3, б), то у интеграла для z изменятся пределы интегрирования:

В таком виде формула для вертикальных напряжений используется в некоторых нормативных документах.

Рис. 4.3. Схема к определению напряжений в задаче Лява-Короткина:

а – для точек, находящихся под углом загруженной площади; б – для точек, находящихся под центром загруженной площади

Коэффициент рассеивания напряжений. Для формул (4.6)…(4.7) часто

где коэффициент рассеивания напряжений.

Коэффициент зависит от размеров загруженной площади и от коорди-

ков 1-5-M-8, 5-2-6-M, M-6-3-7 и 8-M-7-4. Соответственно, воспользовавшись формулой (4.5) можно вычислить напряжений в точке M от каждого из указанных прямоугольников, а результат, пользуясь принципом суперпозиции, сложить:

z 1z-5-M -8 5z -2-6-M Mz -6-3-7 8z -M -7-4 .

Предположим теперь, что точка M находится на вертикали, проходящей в стороне от загруженной площади 1-2-3-4 (рис. 4.4, б).

В уровне поверхности основания (плоскость xOy) достроим до проекции точки M прямоугольник 1-5-M-8. Вычислим напряжения z1-5-M-8, возникающие в точке M, от нагрузки p, которая действовала бы по всей площади 1-5-M-8. Но, поскольку фактически давление действует только на участке 1-2-3-4, то из

напряжения z1-5-M-8 необходимо вычесть напряжения, возникающие от прямоугольников 4-6-M-8 и 2-5-M-7: соответственно, z4-6--M-8 и z2-5-M-7. Однако, площади 4-6-M-8 и 2-5-M-7 имеют пересечение, образующее прямоугольник 3-6-M- 7, а это значит, что он дважды участвовал в процедуре «вычитания». Следовательно, к полученному результату необходимо прибавить напряжения, возникающей в точке M от давления p по площади 3-6-M-7. Окончательно имеем:

z 1z-5-M -8 4z -6-M -8 2z -5-M -7 3z-6-M -7 .

Методом угловых точек может быть получена и формула (4.9).

Перемещения и формула Шлейхера. Пользуясь выражением для верти-

кального перемещения w задачи Буссинеска (4.2) и принятой схемой интегрирования (см. рис. 4.2), запишем формулу для величины w в точках под углом загруженного прямоугольника (см. рис. 4.3, а):

где n 2l/(2a) и m z/(2a).

Для точек, находящихся под центром загруженной площади, в двойных интегралах для w следует поменять пределы интегрирования с 0…2a и 0…2l соответственно на –a… a и –l… l. Если нагрузка распределена по площади другой формы, то выражения для A и B соответствующим образом изменятся. Кроме того, выражение (4.10) можно использовать в рамках метода угловых точек.

Положив в (4.10) z 0, получим формулу для расчета осадки поверхности в задаче Лява-Короткина. Обозначим ширину фундамента b 2a и перепишем равенство (4.10) в виде:

где коэффициент формы, зависящий от формы площади нагружения. Выражение (4.11) называется формулой Шлейхера и имеет самостоятель-

ное практическое значение. Согласно действующим нормам его используют для расчета модуля деформации грунта в штамповых испытаниях. Также его можно применять для определения осадок однородного основания.

4.4. Принципиальный вид эпюр бытовых и дополнительных напряже-

ний

Подводя черту под изучением вопросов о напряжениях в основании, рассмотрим одну принципиальную схему (рис. 4.5).

Рис. 4.5. Принципиальный вид эпюр бытовых и дополнительных напряжений

Пусть на поверхности действует нагрузка p, не обязательно равномерная. Установим качественный характер распределения бытовых zg и дополнительных zp вертикальных напряжений в основании.

Бытовые напряжения с глубиной всегда увеличиваются. Действительно, чем глубже находится точка, тем большее количество слоев грунта оказывают на нее силовое воздействие. Различные схемы определения zg были нами рассмотрены в п. 6.2. Однако, помня обо всех указанных ранее особенностях, принципиальную формулу для бытовых напряжений можно записать как

zg z .

Заметим, что эта формула является полным аналогом известной из школьного курса «Физики» формулы давления в жидкости p gh, где g. Разница в том, что в жидкости давление p действует на точку по закону Паскаля со всех сторон одинаково, а в грунтах боковое давление равно x z, гдекоэффициент бокового давления.

Дополнительные вертикальные напряжения с глубиной рассеиваются. Следовательно, по мере «погружения» на каждую отдельную точку воздействие от внешнего давления p уменьшается. Действительно, если с ростом z давление

от собственного веса грунта увеличивается (ибо, повторимся, увеличивается количество слоев грунта, давящих на точку сверху), то внешняя нагрузка действует только на небольшом участке поверхности основания, а с глубиной все больший объем грунта будет включаться в работу по восприятию усилий от этой внешней нагрузки. В результате по мере увеличения глубины ее воздействие постепенно перестает «ощущаться». Тогда принципиальная формула, с учетом всех схем, рассмотренных в п. 6.3 и п. 6.4, может быть представлена в виде:

zp p ,

где (r) коэффициент рассеивания напряжений, r – радиус-вектор точки. К этому виду могут быть приведены все рассмотренные выше решения о

напряжениях в линейно-деформируемой среде от внешней нагрузки.

В большинстве задач 1 при r 0 и 0 при r . Исключение составляют задачи Фламана и Буссинеска, где при r 0, но эти задачи не имеют непосредственного практического значения, а лишь служат базовыми при построении решений для практических схем.

4.5. Метод послойного суммирования

О проблеме расчета осадок неоднородного основания. Выше мы не раз обращались к величинам перемещений и осадок основания. Однако во всех случаях грунт предполагался однородным, что в реальных условиях встречается редко. Как показывают многочисленные расчеты, влияние неоднородности основания на величину и характер распределения напряжений в практических задачах, как правило, не столь значительно. В то же время при расчете осадок учет неоднородности имеет очень большое значение.

Рассмотрим метод расчета осадок, который позволяет весьма просто учесть напластование грунтов, обладающих разной сжимаемостью. Этот метод называется методом послойного суммирования, или методом линейнодеформируемого полупространства.

Метод послойного суммирования является приближенным и базируется на решениях ТЛДС. Он очень широко используется в практике проектирования при расчете деформаций оснований фундаментов и не утратил своей актуальности с распространением численных методов.

Гипотезы метода. Перечислим дополнительные гипотезы, которые вводятся в расчет осадок:

при определении дополнительных напряжений неоднородность основания не учитывается;

дополнительные напряжения определяются из решения ЛяваКороткина, при необходимости с применением метода угловых точек;

деформируются лишь верхние слои основания, которые образуют ак-

тивную зону сжатия;

грунт работает в условиях, близких к компрессионным;

деформации от бытовых напряжений zg уже полностью реализовались

в процессе формирования данной территории, а интересующие нас деформации основания будут определяться только дополнительными напряжениями zp;

при разработке котлована под фундамент произойдет разгрузка основания, напряжения уменьшатся на величину z , и до тех пор, пока дополнительные напряжения от веса возводимого сооружения не превысят напряженийz от веса вынутого при разработке котлована грунта, деформируемость основания будет определяться как при вторичной компрессии и характеризоваться модулем деформации Ee вторичного нагружения;

часть дополнительных напряжений, превышающая значение z , будет вызвать деформации основания как при первичном нагружении и характеризоваться «обычным» модулем деформации E первичного нагружения.

4.6. Последовательность расчета

На рис. 4.6 показана расчетная схема основания и фундамента. Фундамент шириной b передает на основание давление p, приложенное в уровне подошвы фундамента FL. Уровень поверхности природного рельефа (до начала строительства) грунта обозначим через NL и будем считать, что он сохранится таким же и на период эксплуатации сооружения.

z

Рис. 4.6. Схема к расчету осадок методом послойного суммирования

Построим координатную ось Oz, начало отсчета совместим с центром подошвы фундамента. Деформации основания будут определяться для точек под центром фундамента.

Приведем последовательность расчета.

1. Ниже подошвы фундамента основание разбивают на условные слои мощностью hi. По рекомендациям нормативных документов, hi должно быть не больше, чем 0,4b. При этом границы условных слоев должны совпадать с границами реальных инженерно-геологических элементов (ИГЭ). Например, на

схеме такая граница указана между ИГЭ №1 и ИГЭ №2 (см. рис. 4.6). Заметим, что на этом этапе количество условных i-ых слоев пока не известно – оно определится позднее.

2. Вычисляют бытовое напряжение в уровне FL подошвы фундамента, т.е. давление от веса грунта, вынутого при разработке котлована:

zg,0 dn ,

где удельный вес грунта, расположенного выше уровня FL, dn – глубина заложения фундамента.

3. Определяют бытовые напряжения в уровне подошвы каждого i-го слоя:

zg,i zg,i 1 ihi ,

где i удельный вес грунта условного i-го слоя.

На схеме эпюра бытовых напряжений изображена слева от оси Oz (см. рис. 4.6). При наличии подземных вод или при расчете основания ниже дна реки необходимо использовать схемы, рассмотренные в п. 3.2.

4. Определяют дополнительные напряжения от части внешней нагрузки, равной давлению zg,0 от веса вынутого при разработке котлована грунта, в уровне подошвы каждого i-го слоя:

z ,i i zg,0 ,

где i коэффициент рассеивания напряжений.

Для точек, находящихся под центром подошвы фундаменты, коэффициент i, как следует из (4.6) и (4.8), рассчитывается по формуле:

где zi координата подошвы i-го слоя, a b /2 – половина ширины котлована под фундамент (b – ширина котлована), l половина длины котлована.

5. Определяют дополнительные напряжения от внешнего давления p в уровне подошвы каждого i-го слоя:

zp,i i p .

Коэффициент i для точек под центром подошвы фундаменты рассчитывается по указанной выше формуле с заменой в ней размеров a и l котлована в плане на размеры подошвы фундамента:

где a b/2 и l – полуширина и полудлина подошвы фундамента.

6. С глубиной вклад в общее напряженное состояние дополнительных напряжений уменьшается по сравнению с бытовыми (см. рис. 4.6). Поэтому, в соответствии с принятой гипотезой об активной зоне сжатия, осадку, рассчитываемую как раз от дополнительных напряжений, имеет смысл определять только в верхних слоях основания, где величина дополнительных напряжений существенна. Положение нижней границы BC активной зоны сжатия определяют