328_p284_c10_2012

бой момент времени расположена 13 всех молекул, и при отсутствии поля

повороты, имеющие взаимно противоположное направление, равновероятны. Наложение электрического поля вносит асимметрию в хаотичное распределение полярных молекул по осям.

Далее процесс можно рассматривать как вполне аналогичный тепловой ионной поляризации.

Слабо связанный ион переходит из одного равновесного положения

вдругое, двигаясь поступательно. Слабо связанная полярная молекула переходит из одного равновесного положения в другое, двигаясь вращательно.

Наложение поля увеличивает число поворотов по направлению поля и уменьшает число обратных поворотов. В стационарном состоянии при действии поля большее число диполей оказывается повёрнутым в направлении поля, чем против поля. Ввиду этого диэлектрик приобретает некоторый электрический момент единицы объёма.

Если поле направлено вдоль оси x , то число молекул, участвующих

вполяризации, равно n30 (где n0 – число полярных молекул в 1см3 диэлек-

трика), так как симметрия распределения молекул по двум, другим осям y

иz под действием поля не нарушится.

Вположении 1 полярная молекула направлена обратно полю, в положении 2 она направлена по полю. Наложение поля увеличит потенциальную энергию полярной молекулы в положении 1 на µ0 E и уменьшит

потенциальную энергию в положении 2 тоже на µ0 E .

Изменение потенциальной энергии диполя в равновесном положении, вызванное действием электрического поля, равно ∆U = 2µ20 E = µ0 E .

Как указывалось, в стационарном состоянии при действии электрического поля число диполей, повёрнутых в направлении поля, будет превышать число диполей, повёрнутых против поля.

Разность между этими числами диполей даёт некоторый электрический момент.

Избыточное число диполей нетрудно подсчитать с помощью формулы (23). Эта формула даёт число частиц, избыточно переброшенных в направлении поля:

Легко видеть, что некомпенсированная составляющая электрического момента в этом случае будет определяться удвоенным числом избыточно переброшенных в направлении поля диполей, т.е. разностью между числом диполей, направленных по полю, и числом диполей, направленных против поля. Таким образом,

21

а средняя составляющая дипольного момента в направлении поля, отнесённая к каждой молекуле, равна

Итак, оба простейших типа поляризации, связанной с тепловым движением, в первом приближении могут быть рассчитаны совершенно аналогично.

Вобоих случаях электрический момент единицы объёма уменьшается с увеличением температуры. Необходимо отметить, что величина потенциального барьера, разделяющего соседние равновесные положения частицы, не входит в выражение для электрического момента единицы объёма как в первом, так и во втором случае. Однако, несомненно, что работа отрыва полярной молекулы от её соседней или отрыва иона от его окружения должна оказывать влияние на ход процесса.

Ввиду того, что срыв частицы происходит за счёт энергии теплового движения, а не за счёт работы поля, которое недостаточно велико для этого, потенциальный барьер не оказывает влияния на поляризацию, если достигнуто стационарное состояние. Величина потенциального барьера определяет лишь время установления поляризации, так называемое время релаксации (ср. (21)). В ряде диэлектриков время установления тепловой поляризации может иметь относительно большое значение. Во всяком случае время установления поляризации, связанной с тепловым движением, несравненно больше, чем время установления всех видов поляризации смещения.

Это обстоятельство играет большую роль в явлении диэлектрических потерь, особенно в тех случаях, когда период приложенного переменного напряжения сравним со временем установления поляризации.

При постоянном напряжении практически имеет значение только стационарное состояние диэлектрика, так как процесс установления даже тепловой поляризации протекает практически очень быстро.

Вприведённых расчётах мы допустили, что работа поля гораздо

меньше энергии теплового движения qE2δ << kT (для ионов) и µ0 E << kT

(для полярных молекул). При больших напряжённостях поля электрический момент единицы объёма перестаёт быть прямо пропорциональным полю, а стремится к некоторому постоянному значению. В случае тепловой ионной поляризации при больших напряжённостях поля насыщение наступит тогда, когда работа поля при перемещении иона больше энергии

теплового движения: ∆U = qE2δ >> kT .

22

ные молекулы, возможно только при строгом вычислении величины поляризуемости.

Приближённое вычисление, которое нами проделано по аналогии с тепловой ионной поляризацией, не позволяет количественно правильно решить эту задачу.

Приведём более строгий вывод величины поляризуемости ориентации полярных молекул, данный в своё время Дебаем. Пусть диполь составляет с направлением поля некоторый угол θ . Тогда потенциальная энергия этого диполя в электрическом поле

U = −µ0 E cosθ

Составляющая дипольного момента полярной молекулы в направлении поля будет равна µ0 cosθ .

Задача вывода заключается в том, чтобы определить среднюю составляющую дипольного момента полярной молекулы в направлении поля. Выделим бесконечно малый объёмный угол dΩ (рис. 7), заключающийся между двумя коническими поверхностями, образующие которых составляют с полем углы θ и θ + dθ .

Тогда число полярных молекул, заключающихся в этом объёмном угле dΩ, будет прямо пропорционально вероятности расположения

диполя под углом θ к полю, т.е. вероятности того, что полярная молекула

где A1 – постоянный коэффициент.

Составляющая дипольного момента всех этих молекул в направлении поля равна

µ0E cosθ

Для того чтобы подсчитать среднюю составляющую дипольного момента в направлении поля, нужно, очевидно, просуммировать составляющие моменты всех молекул по всему объёму и разделить на число всех молекул в данном объёме:

24

или, введя обозначения cosθ = y и µkT0 E = a , после несложных преобразований получим:

+∫1eay ydy

µ = µ0 −+1∫1eaydy (34)

−1

Интеграл в числителе выражения (34) берётся по частям. Он равен

Подставляя значения этих интегралов в (34), получим:

25

Функция L(a), называемая функцией Ланжевена, при малых зна-

чениях a = µkT0 E (т.е. при не очень сильных полях и при достаточно высоких температурах) может быть разложена в быстро сходящийся ряд. Тогда

бросить за малостью их по сравнению с единицей. Тогда

При малых полях средняя составляющая дипольного момента прямо пропорциональна напряжённости поля, причём выражение (36б) полностью совпадает с выражением (29), полученным более простым, но менее строгим способом. Поляризуемость полярных молекул поэтому по-

прежнему равна µ02 .

3kT

Выражение (36а) показывает, что в сильных полях, когда потенциальная энергия диполя во внешнем поле сравнима с энергией теплового движения ( µ0 E сравнимо с kT ), средняя составляющая дипольного момен-

та µ в направлении поля не пропорциональна полю. При увеличении поля µ растёт, доходя до известного предела. При очень больших полях, которые были оценены выше, величина µ делается не зависящей от поля. Выражение (36а) является более точным, чем выражение (36б), так как относится не только к малым, но и к большим полям, отражая явление насыщения. Однако сравнение с экспериментальными данными показало, что и равенство (36а) не даёт удовлетворительного согласия с опытными данными (см. ниже).

В заключение этого параграфа укажем, что поляризация, возникающая в диэлектрике под действием электрического поля, имеет обычно сложный характер, являясь совокупностью отдельных простейших видов поляризации.

Электрический момент единицы объёма реального диэлектрика подсчитывается как сумма дипольных моментов, обусловленных различными видами поляризации.

Согласно изложенному, простейшие виды поляризации можно объединить в два основных класса: поляризация смещения, почти не зависящая от температуры, и поляризация, обусловленная перемещением слабо связанных частиц, зависящая от температуры.

Поэтому общий электрический момент равен

26

E– напряжённость поля, действующего на молекулу;

α0 – поляризуемость смещения, не зависящая от температуры;

α1 – поляризуемость, зависящая от температуры.

В свою очередь, α0 =αe +αi +αµ , где αe – поляризуемость электронного смещения, αi – поляризуемость ионного смещения и αµ – поля-

ризуемость, обусловленная смещением упруго связанных диполей. Для диэлектриков, не содержащих сильно связанных полярных молекул, αµ = 0 и

α0 =αe +αi . Величина α1 может быть либо эквивалентной поляризуемо-

стью дипольной ориентации, либо эквивалентной поляризуемостью, характеризующей тепловую ионную поляризацию.

В общем случае число слабо связанных частиц, участвующих в поляризации n1 зависящей от теплового движения, меньше, чем число частиц, подверженных поляризации смещения n0 . Поэтому

Перейдём теперь к весьма существенному вопросу о том, как связана диэлектрическая проницаемость диэлектрика с электрическим моментом единицы объёма P , а следовательно, и с молекулярными величинами – поляризуемостями.

Действующее поле в диэлектрике

Связь между диэлектрической проницаемостью и поляризуемостью для газов, неполярных жидкостей и кубических кристаллов

В предыдущих параграфах были рассмотрены процессы, обусловливающие возникновение поляризации диэлектрика, находящегося в электрическом поле. Каждый отдельный вид поляризации был охарактеризован некоторой молекулярной константой, названной поляризуемостью. При этом величина поляризуемости была связана с другими молекулярными константами диэлектрика для простейших, видов поляризации.

В этом параграфе необходимо решить задачу о том, как связать макроскопические параметры, характеризующие поляризованный диэлектрик с молекулярными константами (в частности, с поляризуемостью).

Согласно выше изложенному, каждая единица объёма диэлектрика под действием поля приобретает электрический момент P . Электрический момент всего диэлектрика можно найти, если диэлектрик однороден и

27

поле однородно, как произведение P на объём диэлектрика V = lS .

где σ – плотность поверхностного заряда на поверхностях диэлектрика, перпендикулярных полю.

Таким образом, всякий поляризованный диэлектрик можно заменить неполяризованным диэлектриком, поверхности которого несут некоторый поверхностный заряд. Это означает, что поляризация диэлектрика эквива-

площадь проекции торцевой поверхности на плоскость, перпендикулярную полю V = lS′. Легко видеть, что S′ = S cosϕ , где ϕ – угол между направ-

лением нормали к торцевой поверхности диэлектрика и направлением поля. Таким образом,

На поверхности диэлектрика, перпендикулярной полю, плотность заряда максимальна; на поверхности, параллельной полю, плотность заряда равна нулю.Пользуясь величиной плотности заряда на поверхности поляризованного диэлектрика, можно установить, как влияет поляризация диэлектрика на напряжённость электрического поля.

Рис.10 Пусть диэлектрик находится в электрическом поле, напряжённость которого в вакууме (т.е. при отсутствии диэлектрика) равна E0 . Поляризация диэлектрика, как мы видели, эк-

28

вивалентна возникновению на его поверхностях, пронизываемых силовыми линия ми, некоторого заряда плотностью σ . Нетрудно видеть, что этот заряд создаёт в диэлектрике некоторое поле, обратное по направлению внешнему, напряжённость которого равна 4πσ = 4πP (если поверхность диэлектрика перпендикулярна полю) (рис. 10).

Напряжённость среднего макроскопического поля в диэлектрике

ε −1

Напряжённость среднего макроскопического поля легко связать с разностью потенциалов. В случае однородного поля Eср = Ul , где U – раз-

ность потенциалов, приложенная к слою диэлектрика толщиной l . Однако нельзя думать, что это же поле действует на каждую молеку-

лу диэлектрика. Для каждой молекулы диэлектрик уже не является непрерывной средой с диэлектрической проницаемостью ε .

Каждая молекула отделена от остальных, причём остальные молекулы определённым образом группируются вокруг неё; каждая данная молекула находится, прежде всего, в поле действия окружающих молекул. Это поле изменяется при наложении внешнего поля, так как молекулы поляризуются, действуя в свою очередь на окружающие. В результате поле, действующее на молекулу (назовём его действующим полем), отличается от среднего макроскопического.

Оно складывается из двух полей: среднего макроскопического поля и поля, обусловленного действием поляризованных частиц диэлектрика на рассматриваемую частицу.

Имеется много попыток подсчитать напряжённость действующего поля. Впервые метод подсчёта действующего поля был указан Лоренцем. Правильность общего принципа, положенного в основу этого метода, несомненна.

Однако Лоренц дал окончательную формулу для напряжённости действующего поля только для частного случая. Метод подсчёта действующего поля по Лоренцу состоит в следующем. Действие всех молекул диэлектрика на данную молекулу при наличии внешнего поля разбивается

* E0 часто обозначается буквой D и называется индукцией или смещением.

29

на две части. В диэлектрике мысленно вырезается сфера, в центре которой находится данная молекула (рис.11). Радиус сферы r должен быть значительно больше расстояния между молекулами. Тогда вне сферы можно считать диэлектрик непрерывной средой. С другой стороны, радиус сферы должен быть достаточно мал по сравнению с расстоянием между электродами. Обоим этим условиям легко удовлетворить, взяв радиус сферы равным нескольким десяткам или сотням атомных расстояний. Будем характеризовать действие молекул, находящихся вне сферы, на нашу молекулу некоторым полем с напряжённостью E1 , дополнительным к макроскопиче-

скому.

Действие молекул, находящихся внутри сферы, на нашу молекулу будем характеризовать некоторым полем, также дополнительным к макроскопическому, с напряжённостью E2 .

Тогда напряжённость действующего поля равна

Для вычисления E1 мы должны представить, что все молекулы, находящиеся внутри сферы, кроме данной, изъяты. Однако ввиду того, что пустая сферическая полость с радиусом r не существует на самом деле, искажения поля в диэлектрике она вызвать не может. Поэтому поле не только внутри, но и вне нашей сферы мы должны считать однородным. На поверхности диэлектрика, граничащего с рассматриваемой сферической

выемкой, мы должны представить себе некоторый поверхностный заряд, так как диэлектрическая проницаемость внутри выемки и вне неодинакова (поскольку мы мысленно изъяли из выемки молекулы).

Плотность этого заряда σ связана с электрическим моментом P единицы объёма диэлектрика и углом θ между нормалью к поверхности сферы и направлением поля: σ = P cosθ (рис.12). Напряжённость поля E1 найдётся как геометрическая сумма напряжённостей, созданных каждым элементар-

ным зарядом поверхности сферы dq в центре сферы. Элементарный заряд dq =σ dS ; dS – элемент поверхности сферы. Этот элемент поверхности будем считать кольцевым.

Все точки этого кольца находятся на расстоянии радиуса сферы r от центра и соответствуют одному и тому же углу θ . Радиус кольца r1 = r sinθ . Ширина кольца равна rdθ . Следовательно, площадь поверхности кольца dS = 2πr1 rdθ = 2πr 2 sinθ dθ . Напряжённость поля, созданная в центре сферы каждым точечным зарядом, находящимся на поверхности сферы, направлена по диаметру, проходящему через данную точку поверхности кольца. Векторы напряжённостей поля, созданные всеми точками заряженной поверхности кольца, лежат на поверхности конуса с вершиной в центре сферы.

30