ТВИМС Архангельский М.В. БСТ-2154
.docКонтрольная работа
по предмету «Теория вероятностей и математическая статистика»
студента 2 курса группы БСТ-2154 Архангельского Максима Вячеславовича
Задание 1
Электрическая цепь состоит из пяти элементов, безотказная работа которых в заданный промежуток времени – независимые события, имеющие вероятности qi = 0,9 каждый. Найти вероятность Q безотказной работы цепи за данный промежуток времени.
Решение:
Разобьем систему на две подсистемы: первая подсистема включает а; вторая – b и с.
Введем обозначения:
S – событие, состоящее в том, что эклектическая цепь s исправна.
- события, состоящие в том, что подсистемы а и bc исправны;
- вероятность безотказной работы каждого элемента.
Подсистема b и c дублирующих блоков исправна в том случае, когда исправен хотя бы один из блоков или
0,9 ∙ 0,9 = 0,81
– сумма двух совместных независимых событий.
Следовательно,
= 0,81 + 0,81 – 0,81 ∙ 0,81 =
= 0,9639
Вероятность исправности подсистемы а:
P(Sа) =q = 0,9
Для исправности системы необходима исправность подсистемы а и подсистемы b, с, то есть S = Sa ∙ Sbc
Таким образом,
P(S) = P(Sа) ∙ P(Sbc) = 0,9 ∙ 0,9639 = 0,86751
Ответ. Q = 0,86751
Задание 2
Дискретная случайная величина задана законом распределения pi (xi). Найти величину a, построить график функции распределения данной случайной величины. Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины.
х |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
р |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
0,1 |
а |
Решение:
Найдем величину a:
а = 1 – 0,2 – 0,2 – 0,3 – 0,1 = 0,2
Запишем функцию распределения случайной величины:
Получаем:
или
График функции распределения случайной величины:
Математическое ожидание случайной величины Х:
0 ∙ 0,2 + 1 ∙ 0,2 + 2 ∙ 0,3 + 3 ∙ 0,1 + 4 ∙ 0,2 = 1,9
Дисперсия случайной величины:
02 ∙ 0,2 + 12 ∙ 0,2 + 22 ∙ 0,3 +
+ 32 ∙ 0,1 + 42 ∙ 0,2 - 1,92 = 1,89
Среднее квадратическое отклонение:
0,3748
Ответ.
Задание 3
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины задана выражением:
Найти величину коэффициента a, написать аналитическое выражение и простроить график функции распределения, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение данной случайной величины. Найти вероятности попадания данной случайной величины в интервалы (-2, 0) и (0, 4).
Решение:
Находим константу из условия:
Получаем:
Откуда
Найдем функцию распределения:
Для 0:
Для -3 1:
Для 1:
Итак, получена функция распределения:
Находим математическое ожидание непрерывной случайной величины:
-1
Находим дисперсию:
Среднее квадратическое отклонение:
Вероятность попадания в интервал:
При -2 и 0 получаем:
При 0 и 4 получаем:
Ответ. ,
, , .
Задание 4
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием m = 4 в интервал (3; 5) равна 0,6. Найти дисперсии данной случайной величины.
Решение:
Параметры нормального распределения:
- математическое ожидание;
- среднее квадратическое отклонение.
Для интервала (3;5) при математическом ожидании m = 4 получаем отклонение от математического ожидания .
Вероятность того, что случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания на величину, меньшую :
По условию,
Значения находим по таблице значений функции Лапласа.
Получаем среднее квадратическое отклонение случайной величины:
Находим дисперсию:
Ответ.
Задание 5
Дискретная случайная величина задана выборкой:
0,-1,0,1,1,-1,-1,0,0,0,-1,0,1,1,0,-1,0,0,0,1,1,1,-1,1,1
Построить полигон частот и эмпирическую функцию распределения. Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию.
Решение:
Подсчитываем число единиц. имеющих значение признака 0,1,2 и получаем ряд распределения:
Значение признака |
Частота
|
Частость
|
накопленная частость
|
-1 |
6 |
0,24 |
0,24 |
0 |
10 |
0,4 |
0,64 |
1 |
9 |
0,36 |
1 |
Итого |
25 |
1 |
|
Эмпирическая функция распределения:
Расчет выборочное среднего значения:
Расчет дисперсии (центрального момента второго порядка):
Расчет исправленной дисперсии (несмещенной оценки дисперсии):
0,6100
Ответ. .