новая папка 1 / 684241

ся при выработке управленческих решений. К методам данной группы относят:

метод «метаплан», метод «635», метод «за-против», и другие.

Вторая группа включает методы: графические, семиотические, теоретико-

множественные, статистические, методы оптимизации, математической линг-

вистики, математической логики, теории поля, классической математики, ком-

бинаторики, топологии, комплексированные методы. К третьей группе методов относят имитационное динамическое и ситуационное моделирование, метод принятия решений, теории игр, исследования операций, информационного под-

хода и др.

Марковский случайный процесс (СП). СП называется марковским, ес-

ли его вероятностные характеристики в будущем для любого момента времени зависят только от его состояния в данный момент времени и не зависят от того,

как и когда система пришла в это состояние. Например, устройство состоит из двух узлов. Состояния системы: S0 – оба узла исправны, S1 – первый ремонти-

руется, второй исправен; S2 – второй ремонтируется, первый исправен; S3 – оба узла ремонтируются. При анализе строят граф состояний (рис. 5). В каждом из состояний система находится с предельной вероятностью pi , (i = 0, 1, 2, 3), ко-

торые являются искомыми.

Рис. 5 Граф состояний

Данная система с графом состояний имеет вид системы уравнений Кол-

могорова:

11

( 01 + 02 ) p0 = 10 p1 + 20 p2 ,( 10 + 13 ) p1 = 01p0 + 31p3 ,( 20 + 23 ) p2 = 02 p0 + 32 p3 ,( 31 + 32 ) p3 = 13p1 + 23p2 .

Решения данной системы (например, используя метод Гаусса) p0, p1, p2, p3.

Модели систем массового обслуживания (СМО) – вероятностные мо-

дели. Под СМО понимают системы, в которые в случайные моменты времени поступают заявки на обслуживание через каналы обслуживания. К СМО отно-

сят: посты ремонта и обслуживания клиентов, аудиторские фирмы, телефонные станции, отделы налоговых инспекций и др. При наличии СМО необходимо знание закона распределения случайной величины (СВ), дисциплины очереди,

механизма обслуживания.

Процессы «гибели и размножения». Граф состояний СМО представлен на рис. 6.

Рис. 6. Граф состояний СМО

Записывая уравнения Колмогорова для предельных вероятностей других состояний, можно получить следующую систему уравнений:

к которой добавляется нормировочное условие

p0 p1 p2 ... pn 1.

Решая систему (*) и последнее уравнение, можно получить

12

В каждом из состояний система находится с предельной вероятностью pi ,

(i = 0, 1, 2, 3), которые являются искомыми.

Одноканальная СМО с отказами (рис. 6 - берутся только первые два со-

стояния S0, S1). Показатели эффективности: А – абсолютная пропускная спо-

собность (среднее число заявок в единицу времени), Q – относительная (сред-

няя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой), Ротк. – вероятность от-

каза. На канал поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслужива-

ний системой μ. Система имеет два состояния – S0 канал свободен, S1 занят. В

предельном состоянии мы имеем систему уравнений, согласно уравнениям Колмогорова):

p0 p1,p1 p0 ,

т.е. система вырождается в одно уравнение. Так как p0 + p1=1, то

Многоканальная СМО с отказами (или задача Эрланга). Имеется n кана-

лов (см. рис.6, с. 12). На каждый канал поступает прямой поток заявок с интен-

сивностью λ, обратный поток обслуживаний μ. На графе (рис. 6) и в системе уравнений (*) каждый прямой поток – λ, обратный – nμ (n = 1,2… при переходе к соседнему левому состоянию), ρ = λ\μ – интенсивность нагрузки канала. Со-

ответственно решения pi преобразуются с учётом ρ (формулы Эрланга): p0 = (1+ρ + ρ2 \ 2!+ +…+ ρn \ n!)-1, p1 = ρp0, …, pn = ρn p0 \ n!

Имитационное моделирование (ИМ) в широком смысле слова пред-

ставляет собой целенаправленные серии многовариантных исследований на компьютере с применением математических моделей. Перечень задач, решае-

мых средствами ИМ: боевые действия, уличное движение, динамика населения,

13

управление процессом реализации инвестиций, рынок и конкуренция, управле-

ние проектами, экономика здравоохранения и др. При создании модели ИМ необходимо программное обеспечение – система моделирования. Она опреде-

ляется: технологией работы, набором языковых средств, сервисных программ,

приёмов моделирования. ИМ как особая информационная технология состоит из пяти этапов:

1) структурный анализ процессов. Структура общего моделируемого про-

цесса может быть представлена в виде графа, имеющего многослойную иерар-

хическую структуру.

2)формализованное представление модели. Временная, пространственная

ифинансовая динамики должны быть описаны на специальном языке (напри-

мер, GPSS, Pilgrim).

3)построение модели. Обычно это трансляция и редактирование связей.

4)верификация (калибровка).

5)проведение экстремального эксперимента с применением регрессивных моделей для оптимизации определённых параметров реального процесса.

Модели корреляционно-регрессивного анализа. Корреляционный ана-

лиз устанавливает степень тесноты и силы двух и более явлений – случайных величин (СВ), отбор факторов, влияющих на их связи. Регрессивный анализ устанавливает форму зависимости, а также решение задач экстраполяции и ин-

терполяции. В случае линейной регрессии и двух СВ уравнение имеет вид:

(или ), где X и Y система данных СВ. С этой це-

лью применяют метод наименьших квадратов: сумма квадратов отклонений

14

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

На основании необходимого условия экстремума функции двух перемен-

ных S S (b0 , b1) , приравниваются к нулю её частные производные, т.е.

откуда после преобразований получим систему нормальных уравнений для определения параметров линейной регрессии:

В качестве примера рассмотрим зависимости между суточной выработ-

кой продукции Y (т) и величиной основных производственных фондов X (млн руб.) для совокупности 50 однотипных предприятий (табл. 2) (в таблице через xi и y j обозначены середины соответствующих интервалов, а ni и n j – соответ-

ственно их частоты).

1 Для выброчной ковариации переменных X и Y используется символ c o v( X ,Y ) .

15

Таблица 2

Зависимость между суточной выработкой продукции Y (т) и величиной основ-

ных производственных фондов X (млн руб.) для совокупности 50 однотипных предприятий

Изобразим полученную зависимость графически точками координатной плоскости (рис. 7). Такое изображение статистической зависимости называют

полем корреляции.

Рис. 7. Поле корреляций

С учётом формул получим зависимость Y g(x) b0 b1 (x) . В нашем слу-

чае yx =0, 6762x – 4, 79.

16

Библиографический список

1. Волкова, В.Н. Теория систем: учеб. пособие / В.Н. Волкова, А.А. Дени-

сов. − Москва: Высш. шк., 2006. − 511 с.

2. Дрогобыцкий, И.Н. Системный анализ в экономике: учеб. пособие /

И.Н. Дрогобыцкий. − Москва: Финансы и статистика, 2007. − 512 с.

3. Теория систем и системный анализ в управлении организациями: спра-

вочник: учеб. пособие / под ред. В.Н. Волковой и А.А. Емельянова. − Москва:

Финансы и статистика, 2006. − 848 с.

17

Системный анализ и моделирование систем

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

к практическим занятиям для студентов ЛГТУ

всех специальностей

Семиряжко Вера Александровна Лебедева Екатерина Владимировна Щербаков Артем Петрович

Редактор Т.А. Семенихина Подписано в печать . Формат 60х84/16. Бумага офсетная.

Ризография. Объем 1,1 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № Издательство Липецкого государственного технического университета.

Полиграфическое подразделение Издательства ЛГТУ 398055, Липецк, ул. Московская, 30.

18