Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

новая папка 1 / 603896

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2023

Размер:

610.59 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВО «ВГУ»)

Полугруппы линейных ограниченных операторов

Учебное пособие для вузов

пособие для студентов, обучающихся по направлению 01.03.04 Прикладная математика

Воронеж

2016

Утверждено научно-методическим советом математического факультета

25 марта 2016 года

Протокол № 0500-03

Составители: Г. Б. Савченко

Рецензент: к.ф-м. н., доцент Ткачева С.А.

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета

Воронежского государственного университета

Рекомендуется для студентов 4 курса очной формы обучения математического факультета, обучающихся по направлению

01.03.04 Прикладная математика

1. Задача Коши.

Рассмотрим в банаховом пространстве E дифференциальное уравнение

					dx	Ax	(1.1)

					dt
					dt
С	линейным	оператором A имеющим всюду плотную в					E область
определения D A .
	Определение 1.1.			Решение уравнения на отрезке 0,T			называется
функция x t		удовлетворяющее условиям
1)	значения x t		принадлежат D A t 0,T
2)	в t 0,T	существует x' t
3)	уравнение x' t		Ax t	удовлетворяет при всех t 0,T

Очевидно решение x		t является непрерывным на отрезке 0,T
Задача	Коши на	0,T	называется задачей	нахождения	решения
уравнения(1.1)на отрезке			0,T удовлетворяющего	начальным	условиям
x 0	x0 D A
Определение 1.2. Задача Коши поставлена корректно на 0,T					если:
1) x0	D A существует еѐ единственное решение

2) это решение зависит непрерывно от начальных данных, в том смысле что,

на	xn	0	xn	0	D A	для соответствующих решений xn		t	следует
xn	t	0	t	0,T
		Замечание.			Из корректности задачи Коши на		0,T	следует еѐ
корректность на					0,T1 T1	0 т.е. корректность на всей полуоси		0,	.

Введем в рассмотрение оператор U t ,ставящий в соответствие элементу

x0 D A значение решения x t задачи Коши x 0 x0	в момент
	3

времени t 0 .Если задача Коши корректно поставлена, то оператор U t определен на D A .

В силу линейного уравнения (1.1) и свойства 1) он аддитивен и однороден, в силу 2) он непрерывен. Так как D A плотно в E то U t может быть по непрерывности расширен до линейного ограниченного оператора, определенного на все пространстве E , который также обозначается U t .

Определение 1.3. Семейство ограниченных линейных пространств

U t

зависящих от параметра t

называется полугруппой, если

U t1

, 0

t1,t2

(1.3)

Покажем, что операторыU t

порожденные корректной задачей (1.1)-

(1.2)

образуют

полугруппу.

Пусть

D A

Тогда

x t

по

уравнением

(1.1)

начальному

условию

x0 .

Функция

1 t

U t U

также

является

решением уравнения

(1.1)

начальным

значением

принадлежащим

x A

силу

единственности решения имеем

. Таким образом U

U t U

совпадает на всюду

плотном

множестве

D A

так

как

они

ограничены совпадают всюду.

Рассмотрим теперь функцию U t

при любом x0

и t

0 .Так

как

D A

плотно

в E

,то

существует

последовательность элементов

x n

такая что

x n

и следовательно x

U t , x n

силу ограниченности оператора U t . Таким образом , функция

является пределом последовательности решений уравнения (1.1) на

может быть названа обобщенным решением этого уравнения.

Лемма 1.1. Если задача Коши для уравнения (1.1) корректна, то все

обобщенные решения этого уравнения непрерывны на

Теорема 1.1. Если задача Коши для уравнения (1.1) корректна, то еѐ решение задается формулой

x t

U t

x0 , x0

(1.4)

где U t

- сильно непрерывная при

0 полугруппа операторов.

На D A

оператор A коммутирует с полугруппой U t .

Действительно, при x0

D A

AU t

dU t x0

lim

U t

t x0

U t x0

limU t

U t x0

U t

Ax0

t 0

следует что, производная от решения непрерывна при t

0 .

Пусть x

D A2

тогда

функция

t x0

t x

U t

будет

решением задачи

Коши

при начальном

условии

Ax0

D A

следовательно, будет непрерывно при t

0 , а кривая будет непрерывна при

t 0.

Таким образом, условие принадлежности x0 к области определения той

или иной системы оператора A играет условие гладкости начальных данных:

это повышает гладкость решения U

t x

по

t ,

если

D Ak

( k

1 -

целое) то решение

при t

имеет k

1 непрерывную производную

и производную

-порядка ,непрерывно при t

Лемма 1.2.

Пусть функция

x t

непрерывна на

0,T

,непрерывно

дифференцируема на

0,T

и еѐ производная имеет предел. Если оператор A

замкнут и функция

x t

удовлетворяет (1.1)

на

0,T

то они являются

решением этого уравнения.

Доказательство. Нужно проверить, что функция

удовлетворяет

уравнению при t

0 .Она дифференцируема при t

0 .

t x

t dt

при

		t
x t	x 0	x' t dt x' 0		lim x' t
				t 0
Из замкнутого A limt	0	x'	t	Ax t
Из замкнутого A limt	0	x'	0	A 0
		x'	0	A 0

Лемма доказана.

2. Преобразование Лапласа, представление решений.

Исследуем поведение полугруппы U (t) при t

. Для этого введем в

рассмотрение

функцию f (t)

Из

полугруппового

U (t)

свойства U(t1

t2 ) U(t1 )U(t2 ) (0

t1,t2

)следует неравенство

t2 )

U (t1 )

U (t2 )

U (t1

и полуаддитивность функции f (t)

f (t1

t2 ) f (t1 ) f (t2 ) .

Оказывается, что для всякой полуаддитивной на

(0,

)

функции

f (t)

существует предел

lim

f (t)

inf

f (t)

Действительно,

пусть

inf

f (t)

конечно.

Выберем числа

a так,

чтобы

f (a)

(

)a . Тогда при (n

1)a

2)a имеем

f (t)

nf (a)

f (t na)

(

)

f (t na)

Так

как

a t

na 2a , то

f (t

na)

(полуаддитивная функция,

ограниченная на каждом отрезке, содержащемся в (0,

) ), и, следовательно,

правая часть неравенства стремится к

при t

. Таким образом, при

достаточно больших t значения функции	f (t)	сколь угодно мало отличаются
достаточно больших t значения функции	t	сколь угодно мало отличаются
	t
от . Аналогично рассматривается возможный случай, когда			.
Итак,

lim

U (t)

(2.1)

Теорема 2.1. Если задача Коши для уравнения

Ax корректна, то

каждое его обобщенное решение растет на бесконечности не быстрее экспоненты; экспоненциальные типа всех решений ограничены сверху.

Число

из (2.1) называют типом полугруппы U (t) и типом задачи Коши

Ax , x(0)

D(A) .

Из теоремы (2.1), в частности, следует, что для корректности задачи

Коши необходимо,

чтобы

оператор

A не имел собственных чисел в

полуплоскости

Действительно,

если

z -

собственный

вектор

оператора A : Az z ,

то ему отвечает решение U (t)z

e t z ,

экспоненциальный тип которого равен Re

и, значит, Re

. При Re

оператор

I имеет на

своей

области

значений

I ) обратный

оператор ( A I ) 1 .

Ограниченность экспоненциальных типов всех решений позволяет к их

исследованию применять преобразование Лапласа. При x0

D(A) и Re

определен интеграл

(

tU (t)x dt .

(2.2)

Функция U(t)x0

непрерывно дифференцируема на (0, ) , поэтому

интегрируя по частям, получим

( )x

lim N e

tU (t)x dt

lim

tU (t) x

N e

t AU (t)x dt

N 0

1	x	lim	1	N e	t AU (t)x dt .

0		0			0

Предел слева существует, поэтому последний интеграл существует как несобственный и

( )x

e t AU (t)x dt .

Пусть

теперь

оператор

допускает

замыкание A . Тогда за знак

интеграла можно вынести оператор A и прийти к равенству

(2.3)

I ) (

)x0 x0

(x0

D(A))

Наконец, для замкнутого оператора A получаем
(A	I ) ( )x0	x0	(x0	D(A))	(1.4)
Отсюда следует, во-первых, что область определения D(A) содержится
в области значений оператора A			I	при любом с Re	и, во-вторых,
что на D(A)
( A	I ) 1 x	e tU (t)x dt			(2.5)
	0	0

Формула (2.2) принимает тогда вид

( A I ) 1 x	e	tU (t)x dt
0		0
Сделаем еще предположение, что оператор					A имеет хотя бы одну
регулярную точку		0 , и обозначим через R(		0 ) – резольвенту оператора		A .
Если x - любой элемент из E , то R( 0 ) x			D(A)		(A I ) при Re	.
Обозначая
		z (A I ) 1 R(	0	)x,
			0

получаем

	x (A		0 I )(A I )z (A I )(A			0 I )z .
Отсюда	следует, что x			(A	I ) , т.е.,	что	область значений
оператора A	I совпадает со всем пространством.
Оператор	( A	I ) 1	замкнут	и	определен	во	всем	пространстве,
следовательно,	он	ограничен. Итак,			оператор A		имеет	резольвенту

R( )

I ) 1 при всех

в полуплоскости Re

Если в (2.5) подставим x0

R( 0 )x, то, используя тождество Гильберта,

получим представление для резольвенты R(

) на любом x

E :

R( 0 )x

(

0 ) e tU (t)R(

0 )xdt .

(2.6)

Из того,

что оператор A коммутирует с полугруппой,

следует,

что

резольвента

) также коммутирует с U (t) . Если

элемент

таков,

что

функция U (t)x

суммируема на отрезке 0,T , то оператор

0 ) можно

вынести за знак интеграла, и мы придем к формуле

e tU (t)xdt .

(2.7)

Наши результаты можно сформулировать в виде следующей теоремы:

Теорема 2.2. Пусть задача Коши для уравнения

Ax корректна и

имеет тип

. Если оператор A имеет хотя бы одну регулярную точку, то при

он имеет резольвенту R( ) , которая выражается через полугруппу

U (t) по формулам (2.6) и (2.7).

Если обобщенное решение U (t)x локально суммируемо на 0, , то для него справедливо представление

U (t)x	d	1

	dt		2 i

i
e t R( )x d	(	,t 0) .	(2.8)

Если на каком-либо отрезке функция U (t)x абсолютно непрерывна, то внутри этого отрезка

	U (t)x	1

		2 i
		2 i

e t R( )xd

(2.9)

В частности, последняя формула имеет место для решения задачи Коши при всех t 0) .

Формулы (2.8) и (2.9) следуют из свойств обращения преобразования Лапласа, а последнее утверждение - из того, что решение задачи Коши имеет

непрерывную производную при t		0) .
Формула	(2.6) для резольвенты показывает, что норма резольвенты не
может быстро	расти при	. Действительно, функция U (t)R( 0 )x

непрерывна при любом x E , поэтому в силу теоремы Банаха - Штейнгауза операторы U (t)R( 0 ) равномерно ограничены на любом конечном

промежутке 0,T . Учитывая (2.1), можно утверждать, что

	0	)				M e( )t
U (t)R(

при любом

0 . Зафиксировав такое

и обозначив

, для нормы

резольвенты получим оценку

R( )

M (1

)

(Re

1 ) ,

Re(

1 )

где M max

R( 0 )

, M

. Из этой оценки следует, что норма резольвенты

равномерно ограничена на всякой полупрямой Im

c , Re

1 . Во

всей полуплоскости Re

справедлива оценка

R( )

M1 (1

) .

Таким образом, требование корректности задачи Коши налагает

сильные ограничения на резольвенту оператора A .

До сих пор речь шла о норме резольвенты. Рассмотрим поведение

резольвенты на каждом элементе. Пусть x

D(A) .

Тогда

R( )x

) Ax

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке новая папка 1

#
26.02.2023596.83 Кб0603113.pdf
#
26.02.2023275.98 Кб1603881.pdf
#
26.02.2023477.32 Кб1603886.pdf
#
26.02.2023334.47 Кб3603889.pdf
#
26.02.2023397.48 Кб0603891.pdf
#
26.02.2023610.59 Кб0603896.pdf
#
26.02.2023580.06 Кб0603897.pdf
#
26.02.2023334 Кб0603898.pdf
#
26.02.2023236.08 Кб0603899.pdf
#
26.02.2023282.33 Кб2603984.pdf
#
26.02.2023201.77 Кб1603985.pdf