Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

новая папка 1 / 303938

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2023

Размер:

594.15 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования «Якутская государственная сельскохозяйственная академия»

Октемский филиал Кафедра общеобразовательных дисциплин

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ «ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ»

ДЛЯ БАКАЛАВРОВ НАПРАВЛЕНИЯ 110800.62 АГРОИНЖЕНЕРИЯ

Методические рекомендации и задания индивидуальной самостоятельной работы

Октемцы 2014

УДК

ББК Я.

Составитель:

Л.Н. Яковлева

Я Методические рекомендации и контрольные задания по разделу «Элементы линейной алгебры» для бакалавров направления 110800.62 Агроинженерия: методические рекомендации и задания индивидуальной самостоятельной работы /Л.Н. Яковлева; Октемский филиал ФГОУ ВПО «Якутская ГСХА». – Якутск, 2013.

Учебное пособие рекомендовано к изданию, рассмотрено и одобрено на заседании кафедры общеобразовательных дисциплин от ____________ года, протокол № ___ .

Рекомендовано к изданию УМС Октемского филиала ФГБОУ ВПО «Якутская ГСХА» (протокол № ___ от ______________ г).

Пособие представляет собой методическое руководство к выполнению индивидуальных самостоятельных работ по дидактической единице «Элементы линейной алгебры» дисциплины «Математика». Перед каждой задачей дается небольшой объем теоретического материала, необходимого для выполнения работы. Каждая задача начинается с задания, общего для любого из имеющихся 20 вариантов. В конце приводится образец выполнения и оформления. Пособие предназначено для студентов 1-2 курсов сельскохозяйственного вуза.

Содержание

Тема 1.1. Матрицы

1.Основной теоретический материал

2.Задания для индивидуальной самостоятельной работы. Задача № 1.

3.Образец выполнения задания

Тема 1.2. Определители

1.Основной теоретический материал

2.Задания для индивидуальной самостоятельной работы. Задача № 2.

3.Образец выполнения задания

Тема 1.3. Системы линейных алгебраических уравнений

1.Основной теоретический материал

2.Задания для индивидуальной самостоятельной работы. Задача № 3.

3.Образец выполнения задания

Тема 1.1. Матрицы

План: 1. Основные понятия

2.Действия над матрицами

3.Элементарные преобразования матриц

1.Основные понятия

Определение: Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов одинаковой длины.

Матрица записывается в виде:

a11	a12	...	a1n

a21	a22	...	a2n
A			...
... ...		...	...

a	a	...	a
m1	m2			mn

или, сокращенно, A aij , где номер строки i 1, m 1,2,3,..., m , номер столбца

j 1, n 1,2,3, , n

Матрицу А называют матрицей размера m×n и пишут Ат×n. Числа aij, составляющие матрицу, называются ее элементами. Элементы, стоящие на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ.

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц, т. е. А = В, если aij = bij, где i = 1,m, j = l,n.

Частные виды матриц:

1.Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной. Квадратную матрицу размера п×п называют матрицей n-го порядка.

2.Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

3.Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е.

1	0	0
Е = (0	1	0) - единичная матрица 3-го порядка.
0	0	1

4.Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

5. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

Обозначается буквой О. Имеет вид:
0	0	…	0
= (0	0	…	0)
…	…	…	…
0	0	…	0

В матричном исчислении матрицы О и Е играют роль чисел 0 и 1 в арифметике.

6.Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно).

Их вид:

= ( 2 ), B=(b1 b2 … bn),

Матрица размера 1x1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т. е. (5)1x1 есть 5.

7.Матрица, полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом

с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается АТ.

Так, если А = (1	2) , то AT = (1		3), если А=(1), то AT = (1 0).
3	4	2	4	0

Транспонированная матрица обладает следующим свойством: (АT)T=А.

2. Действия над матрицами

Сложение

Операция сложения матриц вводится только для матриц одинаковых размеров:

+ .

Суммой двух матриц Атхп = ( ) и Bmxn = (bij) называется матрица

Cmxn = (сij) такая, что cij

= aij + bij (i = 1, , j = 1, ).

Записывают

или для матриц второго порядка в

общем виде:

a11

a12

b11

b12

a11

b11

a12

b12

Пример 1.
(2	−3	0)+ ( 3 3 −1) = (5					0	−1)
4	5	6	−2	−5	4	2	0	10

Аналогично определяется разность матриц.

Умножение на число

Произведением матрицы Атхп = (aij) на число к называется матрица

Bmxn =(bij) такая, что bij= к • aij (i=1, , j = 1, ). Записывают В= к • A.

Другими словами при умножении матрицы на число, умножаем все элементы матрицы на это число:

		a11	a12	ka11	ka12
	kA k
			a22
		a21	a22	ka21	ka22
Пример 2.
= (0	−1	2), = 2,		∙ = (0 −2 4 )
3	4	5				6	8	10

Матрица -A = (-1) • А называется противоположной матрице А.

Разность матриц А - В можно определить так: А - В = А + (-В).

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами:

1.	A + B = B + A	5. 1 A = A
2.	A + (B + C) = (A + B) + C	6.	( + ) = +
3.	A + 0 = A	7. ( + ) = +
4.	A – A = 0	8. ( ) = ( )

где A, B,C — матрицы, α и β — числа.

Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы:

× × × = ×

Произведением матрицы × = ( ) на матрицу × = ( )

называется матрица × = ( ) такая, что

= 1 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + + ∙

т.е. элемент i–ой строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i–ой строки матрицы А на соответствующие

элементы k–го столбца матрицы В. Произведение для матриц второго порядка в общем виде:

a11

a12

b11

b12

a11b11

a12b21

a11b12

a12b22

a b

21 11

22 21

21 12

22 22

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют, но в ответе получаются разные матрицы. Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ=ВА. Легко показать, что АЕ=ЕА=А, где А – квадратная матрица, Е – единичная матрица того же размера.

3. Элементарные преобразования матриц

Элементарными преобразованиями матриц являются:

перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Записывается А ~ В.

При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к матрице, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю. Такую матрицу называют канонической.

Задания для индивидуальной самостоятельной работы

Задача 1.

Задание. Выполните действия над матрицами

				2		3 1								1				0 5
	2( A B)(2B A),	где A										B
№1.	2( A B)(2B A),	где A			4	5		2		,		B			0			1		3
					1 0			7							2			2		4
					1 0			7							2			2		4
		4 5				2							2 1					1

№2.	3A ( A 2B)B,	где A	3		1		0		,		B			0			1	3
			4		2		7							5			7	3
			4		2		7							5			7	3
					5		1			7					2			4	1
№3.	2( A B)(A 2 B),	где A			10	2				1	,		B				3	1	0

					0		1			2							7	2	1
					0		1			2							7	2	1
					7	2			3						0			2	3
№4.	( A2 B 2 )(A B),	где A			7	0		2 ,				B				1		0	2

					1	1			1							3		1	1
					1	1			1							3		1	1
				5		2 0							3					6 1
№5.	( A B 2 )(2A B),	где A		10		4	1		,		B			1			2		0

					7	3	2							2				1	3
					7	3	2							2				1	3

	5		1	3	3 7			2

№6. ( A B)A B,	где A	0	2	1 ,	B	1	1	2
		2	1	0		0	1	3
		2	1	0		0	1	3

						5 3				1				1					4 16

№7.	2( A 0,5B) AB,		где A				2	0		4	,		B 3					2		0
							3 5			1						5			7	2

				3			2 5						1				2		4

№8.	( A B) A 3B,	где A			4		2		0	,	B			0			3		2
					1 1				2					1		3			4
					1 1				2					1		3			4
					1 4					2				4 6					2
№9.	2 A ( A2 B)B,		где A			2		1	2		,		B		4		10		1

						0 1				1					2 4
						0 1				1					2 4				5
							4			2		1				2			0		2
№10.	A( A2 B 2 ) 2 AB,			где A				3	2			0	,	B			5		7	2

								0		1		2					1		0 1
								0		1		2					1		0 1
											1		0	3						7		5	2

№11.	(2 A B)(3A	B) 2 AB,					где A				2		0	1		,	B			0		1	2
											0		3 1						3		1		1

			2			3	1				2				7	13
№12.	A( A2 B) 2(B A)B,	где A		1		2	4	,		B		1			0	5

				5		3	0					5			13
				5		3	0					5			13	21
			1			2	3					4 11				3

№13.	( A B) A B(2 A 3B),	где A		2		3	5		,	B			1		6	1
				1	4		1						2 2			16

			2			3	1				9			8	7
	A(2A B) B( A B),	где A				1				B
№14.	A(2A B) B( A B),	где A		4		1	0	,		B		2		7	3
				0		1	2					4		3	5
				0		1	2					4		3	5

		2				1 3			22			14	3

№15.	3( A B)(AB 2 A), где A		1		2		0	,	B	6		7	0
			4		3		0			11 3
			4		3		0			11 3			15
				4		2 0				0		2	6

№16.	2 AB ( A B)(A B),	где A			1	1		2	, B		2	4	3
					3	2 0					0	3	4
					3	2 0					0	3	4

	1		1	0	5		3	1

№17. 2 A 3B( AB 2 A),	где A	2	0	1 ,	B	1	2	0
		1	1	1		3	0	0
		1	1	1		3	0	0

		3		4	5		0		1	2

№18. ( A B)(A	B) 2AB,	где A	1	0	2	,	B	1 1		2
			2	1 0				3	1	0
			2	1 0				3	1	0

		3 2				1			0			3	1

№19.	2 A AB(B A) B,	где A	0 1			2	,	B		2		1	2
			5 7			1				3 1			4
			5 7			1				3 1			4
			4		5	6			0			1	2
№20.	A2 ( A B)(A 3B),	где A		1	0	3	,	B	1			0	2

				1 2		1				3	1		2
				1 2		1				3	1		2

Образец выполнения задания

Выполнить действия над матрицами (A-B)A+3B, где

3 2			5		1		2	4

A	4	2	0	,	B	0	3	2	.
	1	1	2			1	3	4
	1	1	2			1	3	4

Решение. Решение разбиваем на четыре отдельных действия:

				3 2 −5				−1 2 4					3 − (−1) 2 − 2 −5 − 4
1) А − В = (4 2 0 ) − ( 0 3 2) = ( 4 − 0																	2 − 3 0 − 2 ) =
				1 1 2				−1 −3 4					1 − (−1) 1 − (−3) 2 − 4
		4	0	−9
	(4		−1	−2)
		2	4	−2
					4		0	−9		3	2	−5
2)	(	А	)	= (4 −1				−2) ∙ (4 2 0 ) =
2)		А	− В А	= (4 −1				−2) ∙ (4 2 0 ) =
					2		4	−2		1	1	2
			4 ∙ 3 + 0 ∙ 4 + (−9) ∙ 1							4 ∙ 2 + 0 ∙ 2 + (−9) ∙ 1							4 ∙ (−5) + 0 ∙ 0 + (−9) ∙ 2
	(4 ∙ 3 + (−1) ∙ 4 + (−2) ∙ 1 4 ∙ 2 + (−1) ∙ 2 + (−2) ∙ 1 4 ∙ (−5) + (−1) ∙ 0 + (−2) ∙ 2)
			2 ∙ 3 + 4 ∙ 4 + (−2) ∙ 1							2 ∙ 2 + 4 ∙ 2 + (−2) ∙ 1							2 ∙ (−5) + 4 ∙ 0 + (−2) ∙ 2
			12 + 0 − 9			8 + 0 − 9				−20 + 0 − 18					3	−1	−38
	= (12 − 4 − 2					8 − 2 − 2				−20 + 0 − 4 ) = ( 6						4	−24)
			6 + 16 − 2			4 + 8 − 2				−10 + 0 − 4					20	10	−14
			−1			2	4		−3		6	12
3) 3В = 3 ( 0 3							2) = ( 0 9 6 )
			−1		−3		4		−3		−9	12
							3	−1		−38		−3	6		12
4)	(	А	)	+ 3В		= ( 6		4		−24) + ( 0			9		6 ) =
4)		А	− В А	+ 3В		= ( 6		4		−24) + ( 0			9		6 ) =
							20	10		−14		−3	−9		12
		3 + (−3)				−1 + 6			−38 + 12				0		5	−26
	(		6 + 0			4 + 9				−24 + 6 ) = ( 6				13		−18)
		20 + (−3)			10 + (−9)				−14 + 12			17			1	−2
							0	5		26
Ответ: ( A B) A 3B)										18
Ответ: ( A B) A 3B)							6	13		18	.
								1		2
							17	1		2

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке новая папка 1

#
26.02.2023290.23 Кб0303927.pdf
#
26.02.2023277.89 Кб1303929.pdf
#
26.02.2023353.3 Кб0303933.pdf
#
26.02.2023317.63 Кб0303934.pdf
#
26.02.2023567.4 Кб0303936.pdf
#
26.02.2023594.15 Кб0303938.pdf
#
26.02.2023319.15 Кб2303942.pdf
#
26.02.2023447.21 Кб0303944.pdf
#
26.02.2023329.41 Кб0303946.pdf
#
26.02.2023378.37 Кб0303947.pdf
#
26.02.2023291.55 Кб0303949.pdf