новая папка 1 / 303936

УДК

ББК Я.

Составитель:

Л.Н. Яковлева

Методические рекомендации и контрольные задания по математике. Раздел 2 «Элементы векторной алгебры», для бакалавров направления 110800.62 Агроинженерия: указания по решению и задания индивидуальной самостоятельной работы /Л.Н. Яковлева; Октемский филиал ФГБОУ ВПО «Якутская ГСХА». – Якутск, 2014.

Учебное пособие рекомендовано к изданию, рассмотрено и одобрено на заседании кафедры общеобразовательных дисциплин от ____________ года, протокол № ___ .

Рекомендовано к изданию УМС Октемского филиала ФГБОУ ВПО «Якутская ГСХА» (протокол № ___ от ______________ г).

Пособие представляет собой методическое руководство к выполнению индивидуальных самостоятельных работ по дидактической единице «Элементы векторной алгебры» дисциплины «Математика». Перед каждой задачей дается небольшой объем теоретического материала, необходимого для выполнения работы. Каждая задача начинается с задания, общего для любого из имеющихся 20 вариантов. В конце приводится образец выполнения и оформления. Пособие предназначено для студентов 1-2 курсов сельскохозяйственного вуза.

© Л.Н. Яковлева, 2014

2

Содержание

3

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Тема 2.1. Векторы

План: 1. Основные понятия 2. Проекция вектора на ось

3. Линейные операции над векторами

1. Основные понятия

Вектор – это направленный отрезок, т.е. отрезок, имеющий длину и направление. Если точка А – начало вектора, а точка В – его конец, то вектор

обозначается символом или . Вектор (начало в точке В, конец в точке А) называется противоположным вектором.

Разложение вектора по ортам координатных осей (по базису): a xi y j zk x; y; z

где числа x; y; z называются координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие оси координат. Векторы

i , j , k - орты осей координат (единичные векторы, направление которых совпадает с направлением соответствующей оси).

Координаты вектора , имеющего начало в точке A x1; y1; z1 и конец в точке B x2 ; y2 ; z2 , определяются по правилу «от координат конца вычитаем координаты начала»: AB x2 x1; y2 y1; z2 z1 .

Длиной или модулем вектора называется длина отрезка |АВ|: a x2 y2 z2 ,

т.е. длина (модуль) вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его координат.

Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0. Направление нулевого вектора совпадает со всеми векторами.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается е. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора или нормированным вектором и обозначается a0 :

a0 a . a

4

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, записывают . Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково (сонаправлены) или противоположно.

Условие коллинеарности векторов:

Два вектора называются равными ( = ), если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Условие компланарности векторов:

= ∙ + ∙

Направляющие косинусы вектора:

где , , - углы, образованные вектором , с осями координат Ох, Оу, Оz соответственно. Свойство направляющих косинусов вектора:

cos2 cos2 cos2 1,

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

2. Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана ось , т.е. направленная прямая. Проекцией точки М на ось называется основание 1 перпендикуляра

1, опущенного из точки на ось.

Точка 1 есть точка пересечения оси с плоскостью, проходящей через точку М перпендикулярно оси.

Если точка М лежит на оси , то проекция точки М на ось совпадает с самой точкой М.

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

- угол между вектором и осью : 0 ≤ ≤ .

Основные свойства проекций Свойство 1. Проекция вектора на ось равна произведению модуля

вектора на косинус угла между вектором и осью:

= | | ∙ cos

Следствия:

1.1.Проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол - прямой.

1.2.Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой. Свойство 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось

равна сумме их проекций на эту ось.

Свойство 3. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число:

( ∙ ) = ∙

Линейные операции над векторами приводят к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

2. Линейные операции над векторами:

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Даны векторы a x1i y1 j z1 k, b x2 i y2 j z2 k .

Сумма векторов:

a b x1 x2 i y1 y2 j z1 z2 k ,

при сложении векторов их одноименные координаты складываются.

Разность векторов:

a b x1 x2 i y1 y2 j z1 z2 k ,

при вычитании векторов их одноименные координаты вычитаются.

Умножение вектора на число :

a xi y j zk .

при умножении вектора на число координаты вектора умножаются на это число.

6

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Тема 2.2. Скалярное произведение векторов

План: 1. Определение и свойства скалярного произведения

2.Некоторые приложения скалярного произведения

1.Определение скалярного произведения

Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

a b a b cos .

где = (; ) - угол между векторами и .

Свойства скалярного произведения:

1. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

множителя).

Скалярное произведение ортов осей координат:

a b x1x2 y1 y2 z1z2 .

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

7

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2.Некоторые приложения скалярного произведения

Нахождение угла между векторами

Установление перпендикулярности (ортогональности) векторов

8

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Задания для индивидуальной самостоятельной работы

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

Образец выполнения задания

Дано: А (-5; 4; 3), В (4; 5; 2), С (2; 7; -4),

Найти: а) координаты векторов , и их модули; б) косинус угла между векторами и ; в) направляющие косинусы вектора ;

г) проекцию вектора на вектор .

Решение:

а) Найдем координаты векторов по правилу: из координат конца вычитаем координаты начала.

= (4 − (−5); 5 − 4; 2 − 3) = (9; 1; −1),

= (2 − 4; 7 − 5; −4 − 2) = (−2; 2; −6),

= (−5 − 2; 4 − 7; 3 − (−4)) = (−7; −3; 7).

Для того, чтобы найти сумму (разность) векторов, необходимо сложить (вычесть) соответствующие координаты. А для того, чтобы умножить вектор на число, необходимо каждую координату вектора умножить на это число.

Тогда, векторы и будут иметь координаты:

= 3 + 2 = 3(−2; 2; −6) + 2(9; 1; −1) =

=(−6; 6;−18) + (18; 2; −2) = (12; 8;−20),

= = (−7; −3; 7).

Модуль вектора, заданного своими координатами, равен квадратному корню из суммы квадратов его координат:

a x2 y2 z2 .

По этой формуле находим модули векторов и :

| | = √122 + 82 + (−20)2 = √144 + 64 + 400 = √608 = 4√38, | | = √(−7)2 + (−3)2 + 72 = √49 + 9 + 49 = √107.

Ответ: = (12; 8; −20), = (−7; −3; 7), | | = 4√38, | | = √107.

а их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат:

10