новая папка 1 / 233232
.pdf
1811
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Липецкий государственный технический университет»
Кафедра высшей математики
НЕЧЕТКИЕ ЗАДАЧИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
Методические указания к самостоятельной работе
Составители: И.А. Седых, В.А. Скопин
Липецк Липецкий государственный технический университет
2013
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Липецкий государственный технический университет»
Кафедра высшей математики
НЕЧЕТКИЕ ЗАДАЧИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ Методические указания к самостоятельной работе
Составители: И.А. Седых, В.А. Скопин
Липецк Липецкий государственный технический университет
2013
3
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Липецкий государственный технический университет»
Кафедра высшей математики
НЕЧЕТКИЕ ЗАДАЧИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ Методические указания к самостоятельной работе
Составители:
______________ И.А. Седых,
______________ В.А. Скопин
Зав. кафедрой высшей математики |
______________А.М. Шмырин |
Липецк Липецкий государственный технический университет
2013
4
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Липецкий государственный технический университет»
Кафедра высшей математики
НЕЧЕТКИЕ ЗАДАЧИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ Методические указания к самостоятельной работе
Составители: И.А. Седых, В.А. Скопин
Утверждаю к печати |
Проректор по учебной работе |
Объем 1,2 п.л. |
Ю.П. Качановский |
Тираж 100 экз. |
« »_________________2013 |
Липецк Липецкий государственный технический университет
2013
5
УДК 519.8 С-284
Рецензент д.т.н., проф. А.М. Шмырин
С-284. Седых, И.А. Нечеткие задачи в математическом моделировании [Текст]: метод. указ. к самостоятельной работе/ И.А. Седых, В.А. Скопин. – Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2013. – 20 с.
Методические указания составлены в соответствии с ФГОС-3 и предназначены для студентов четвертого курса направлений 010800.62 – «Механика и математическое моделирование», 220100.62 – «Системный анализ и управление» по дисциплинам «Основы математического моделирования систем и процессов», «Нечеткие задачи в математическом моделировании» и другим, связанным с нечетким моделированием. Дано понятие нечеткого моделирования, приведены определения нечеткого множества, нечеткой лингвистической переменной, нечеткого лингвистического высказывания,
систем нечеткого вывода. Показаны основные этапы нечеткого вывода. Приведен пример использования систем нечеткого вывода в задачах управления и задания для самостоятельной работы.
Библиогр.: 3 назв.
© ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет», 2013
6
1. Нечеткое моделирование
Теория нечетких множеств, основные идеи которой были предложены американским математиком Л. Заде, позволяет описывать качественные, неточные понятия и наши знания об окружающем мире, а также оперировать этими знаниями с целью получения новой информации. Основанные на этой теории методы построения информационных моделей существенно расширяют традиционные области применения компьютеров и образуют самостоятельное направление научно-прикладных исследований, которое получило специальное название – нечеткое моделирование.
Впоследнее время нечеткое моделирование является одним из наиболее перспективных направлений прикладных исследований в области управления и принятия решений. Нечеткое моделирование оказывается особенно полезным, когда в описании технических систем и бизнес-процессов присутствует неопределенность, которая затрудняет или даже исключает применение точных количественных методов и подходов.
Вобласти управления техническими системами нечеткое моделирование позволяет получать более адекватные результаты по сравнению с результатами, которые основываются на использовании традиционных аналитических моделей и алгоритмов управления. Диапазон применения нечетких методов с каждым годом расширяется, охватывая такие области, как проектирование промышленных роботов и бытовых электроприборов, управление доменными печами и движением поездов метро, автоматическое распознавание речи и изображений.
Нечеткая логика, которая служит основой для реализации методов нечеткого управления, более естественно описывает характер человеческого мышления и ход его рассуждений, чем традиционные формально-логические системы. Именно поэтому изучение и использование математических средств для представления нечеткой исходной информации позволяет строить модели,
3
которые наиболее адекватно отражают различные аспекты неопределенности, постоянно присутствующей в окружающей нас реальности.
2. Нечеткие множества. Операции над ними
Нечеткое множество (fuzzy set) представляет собой совокупность элементов произвольной природы, относительно которых нельзя с полной определенностью утверждать, принадлежит ли тот или иной элемент рассматриваемой совокупности данному множеству или нет. Другими словами, нечеткое множество отличается от обычного множества тем, что для всех или части его элементов не существует однозначного ответа на вопрос: «Принадлежит или не принадлежит тот или иной элемент рассматриваемому нечеткому множеству?» Можно этот вопрос задать и по-другому: «Обладают или нет его элементы некоторым характеристическим свойством, которое может быть использовано для задания этого нечеткого множества?» .
Нечеткое множество B – это множество кортежей <x, µB(x)>. Обычно записывают: B={<x, µB(x)>}, x X, где x – элемент универсального множества
(универсума) X; – характеристическая функция (или функция принадлежности).
Функция µB(x) каждому элементу x X ставит в соответствие определенное действительное число, принадлежащее интервалу [0, 1]. Когда x X, а µB(x)=1, считают, что элемент x наверняка принадлежит нечеткому множеству B, если же µB(x)=0, то элемент x определенно не принадлежит множеству B. В общем виде для xi X, i=1, 2,…, n: B={<x1, µB(x1)>,<x2,
µB(x2)>,…,<xn, µB(xn)>}.
Если для некоторого множества B={x1, x2, x3, x4, x5, x6} указана мера принадлежности элементов xi X, i=1,…,6 множеству B: µB(x1)=0; µB (x2)=0,1; µB(x3)=0,3; µB(x4)=0,5; µB(x5)=1, µB(x6)=0, то нечеткое множество представляется так: B={<x1, 0>,<x2, 0,1>,<x3,0,3>,<x4,0,5>,<x5,1>,<x6,0>}.
4
Другим способом задания нечеткого множества является графическое представление. В этом случае в качестве графика представляется зависимость функции принадлежности µВ(x) от значений самих элементов x нечеткого множества B.
Рассмотрим основные операции над нечеткими множествами. Пусть на универсуме Х заданы нечеткие множества A={x, µA(x)} и B={x, µB(x)}.
1.Пересечением двух нечетких множеств A и B называют третье нечеткое множество C=A B, заданное на том же универсуме X, функция принадлежности которого равна µ C (x)=min{µA(x), µ B(x)}, x X.
2.Объединением двух нечетких множеств A и B называется третье нечеткое множество D=A B, заданное на том же универсуме X, функция принадлежности которого равна: µD(x)=max{µA(x), µ B(x)}, x X.
3.Разностью двух нечетких множеств A и B называется некоторое третье нечеткое множество E=A\B, заданное на этом же универсуме Х, функция принадлежности которого определяется по следующей формуле:
µE(x)=max{µA(x)–µ B(x), 0}, x X.
4. Дополнением нечеткого множества A называется нечеткое множество
A , заданное на этом же универсуме Х, функция принадлежности которого определяется по следующей формуле: μA (x) =1–µA(x).
Кроме того, возможны дополнительные операции над нечеткими множествами: концентрирование и растяжение.
5.Нечеткое множество F является результатом операции концентрирования A и обозначается F=CON(A), если µF(x)=µA(x)2.
6.Нечеткое множество G является результатом операции растяжения A
иобозначается G=DIL(A), если µG(x)=µA(x)0,5.
3. Нечеткая и лингвистическая переменная
Нечеткая переменная определяется как кортеж: <α, X, A>, где α – наименование или название нечеткой переменной; Х – область ее определения
5
(универсум); A={x, μA(x)} – нечеткое множество на Х, описывающее возможные значения, которые может принимать нечеткая переменная α. Таким образом, говоря о нечеткой переменной α, мы всегда будем иметь в виду некоторое нечеткое множество A, которое определяет ее возможные значения.
Пример. В качестве примера рассмотрим типичную бытовую ситуацию,
с которой сталкиваются многие из нас при попытке дать характеристику температуры того или иного напитка. Подобная характеристика обычно основывается на субъективных ощущениях, например, горячий кофе, холодный квас. Хотя в этом случае неявно используется некоторая шкала температуры, при этом, как правило, не применяется никаких измерительных инструментов.
Рассмотрим нечеткое множество A, которое будет характеризовать «горячий кофе». В этом случае в качестве универсума можно взять шкалу температуры, измеренной в градусах Цельсия и заключенной в открытом интервале (0ºС, 100ºС), т. е. Х={0ºС<x<100ºС}.
В этом случае соответствующая нечеткая переменная может быть представлена следующим образом: <Горячий кофе, {х: 0ºС<x<100ºС}, A>, где A={x, μA(x)} нечеткое множество с функцией принадлежности μA(x), которая может быть задана, в частности, графически (рис. 1).
Рис. 1. График функции принадлежности для нечеткого множества A, описывающего «горячий кофе»
Обобщением нечеткой переменной является лингвистическая переменная. Понятие лингвистической переменной используется при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств. Она используется в
6
нечетком управлении для представления входных и выходных переменных управляемой системы.
Лингвистическая переменная определяется как кортеж: <β, T, X, G, M >, где β – наименование или название лингвистической переменной; T – базовое терм-множество лингвистической переменной или множество её значений
(термов), каждое из которых представляет собой наименование отдельной нечеткой переменной; Х – область определения (универсум) нечетких переменных, которые входят в определение лингвистической переменной β; G– некоторая синтаксическая процедура, которая описывает процесс образования или генерирования из множества Т новых, осмысленных значений для данной лингвистической переменной; М – семантическая процедура, которая позволяет поставить в соответствие каждому новому значению данной лингвистической переменной, получаемому с помощью процедуры G, некоторое содержание посредством формирования соответствующего нечеткого множества.
Пример. В качестве примера можно рассмотреть ситуацию со скоростью движения автомобильного транспорта в пределах городской черты. Хотя правила дорожного движения регламентируют величину этой скорости, многие автолюбители предпочитают давать собственную субъективную оценку своей скорости движения. При этом используются такие определения, как «малая скорость», «средняя скорость» и «высокая скорость» движения.
Очевидно, что подобная практическая оценка скорости может относиться к диапазону скоростей в пределах интервала от 0 км/ч до некоторой величины, определяемой личными предпочтениями того или иного водителя. Пусть в нашем примере из соображений удобства это будет величина 100 км/ч.
Формализация субъективной оценки скорости движения может быть выполнена с помощью следующей лингвистической переменной <β1, T, X, G, M>, где β1 – скорость движения автомобиля; T = {«малая скорость», «средняя скорость», «высокая скорость»}; X=[0, 100]; G – процедура образования новых термов с помощью логических связок «И», «ИЛИ» и модификаторов
7