новая папка 1 / 231809

Определение:

Суммой a

b

двух векторов a и

b называется вектор, идущий из

начала вектора a

в конец вектора

b при условии,

что вектор b

приложен к концу

вектора a .

Правило сложения векторов обладает свойствами:

1) a

b

b

a ;

2) (a b) c a (b c) .

Определение:

Разностью

a

b

вектора a и вектора b называется вектор c ,

который в сумме с вектором b дает вектор a .

Определение:

Произведением

a вектора a на действительное число

называется вектор,

коллинеарный вектору a , имеющий длину

a

и направление,

совпадающее

с

направлением вектора a в случае

0 , и

противоположное

направлению вектора a в случае

0 .

Операция умножения вектора на скаляр обладает свойствами:

1)

(a

b)

a

b ;

Определение:

Линейной комбинацией векторов

a1 , a2 ,..., an называется

сумма

произведений этих векторов на произвольные числа:

1 a1

2 a2

...

n an .

Определение:

Векторы a1 , a2 ,..., an называются

линейно независимыми,

если

линейная комбинация

равна нулю только в случае,

когда все числа 1 , 2 ,..., n

равны

нулю одновременно, в противном случае a1 , a2 ,..., an

– линейно зависимы.

либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Определение: Три линейно независимых

вектора

образуют базис

в

a, b,

c

пространстве, если любой вектор d

представим в виде линейной комбинации этих

векторов d

a

b

c , где

,

,

–

действительные

числа, называемые

координатами вектора d относительно базиса a, b, c .

Рассмотрим вектор a

AB и произвольную ось U . Обозначим A

и B

основания

перпендикуляров, опущенных на ось U из точек A и B .

Определение: Проекцией вектора a

AB

на ось

U называется

величина A B

направленного отрезка A B

оси U и обозначается символом При a .

Теорема: Проекция вектора a на ось U определяется равенством

При a

a

cos

,

где

– угол наклона вектора a к оси U .

Определение: Тройка взаимно ортогональных единичных векторов i, j, k ,

отложенных от некоторого начала – точки

O , называется прямоугольным базисом в

пространстве.

Определение: Совокупность начала O и прямоугольного базиса { i,

j, k } называется

прямоугольной системой координат в пространстве.

Разложение

вектора

a

в

базисе

{ i, j, k }

имеет вид: a

xi

y j

zk , где x –

абсцисса, y – ордината, а z

– аппликата вектора. Оси, определяемые векторами i, j, k ,

оси OX , OY и OZ соответственно.

Обозначим углы наклона вектора a к осям OX ,

OY и OZ символами

,

, . Три

числа cos

,

cos

, cos

принято называть направляющими косинусами вектора

a .

На

основании

формулы

проекции и теоремы имеем:

cos ,

,

x

a

y

a

cos

z

a

cos

, где

a

x 2

y 2

z 2 .

Если

вектор

a

AB

задан

координатами

начальной

и

концевой

точек:

A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ) ,

то

координаты

вектора

определяются

равенством

AB

z1 ) ,

а

его

длина

находится

по

формуле:

AB

(x2

x1 ; y2

y1 ; z2

AB

(x

2

x )2

( y

2

y )2

(z

2

z

)2 .

1

1

1

Рассмотрим задачу о нахождении компонент вектора

d в базисе a2 ,b2 ,c2 по его

компонентам

в базисе

a1 , b1 , c1 , при этом положение

нового базиса { a2 ,b2 , c2 }

относительно старого { a1 , b1 , c1 } задано системой

a2

a11 a1

a12 b1

a13 c1 ,

b2

a21 a1

a22 b1

a23 c1 ,

c2

a31 a1

a32 b1

a33 c1 .

Если в старом базисе вектор d

представим разложением: d

1 a1

1 b1

1 c1 , то

a11

2

a21 2

a31 2

1 ,

разрешая систему уравнений a12

2

a22

2

a32 2

1 , определим новые координаты

a13

2

a23

2

a33 2

1 ,

2 ,

2 ,

2 вектора d в базисе { a2 ,b2 , c2 }.

Задание

Дана точка

A( 1;1)

и вектор

(3; 2) . Найти координаты такой точки

B , что

а

АВ

а .

Решение

Пусть (x; y) – координаты

точки

B , тогда АВ

х 1; у -1 ,

и

если АВ

то

а ,

x

1

3и y

1

2, отсюда x

2, y

3 . Тогда B имеет координаты (2; 3).

Задание

Вектор а

b делит пополам угол между векторами а

и b . Найти длину вектора

а ,

если длина вектора b равна 2.

Решение

Отложим векторы а

и b от точки О, тогда ОА

а и

ОС

b , ОВ

а

b .

Пусть ОА

ОС

a и

b , тогда ОВ

а

b ,

CA a

b . В соответствии с условием

задачи параллелограмм ОАВС является прямоугольником, а ОВ и CA – его диагонали.

Таким образом,

а

b

=

a

b

=5.

Задание

В трапеции ABCD: АВ 1, 3, 1 , АС 2, 4, 0 ,

AD 2, 2, 2

. Найти длину отрезка MN,

где М и N – середины сторон АВ и CD соответственно.

Решение

Поместим точку А в начало координат, т.е. А(0, 0,

0),

тогда В 1, 3, 1 , С 2, 4, 0 ,

Найдем

координаты точек

М

и

N:

М

1

;

3

;

1

,

N(2;

3;

1). Длина отрезка

2

2

2

1 2

3 2

1 2

МN

2

3

1

3 3

.

2

2

2

2

Задание

В базисе { a1 , b1 , c1 } задан вектор d {5;0;3} . Найти координаты вектора d в базисе

a2

3a1

b1

4c1 ,

{ a2 ,b2 , c2 }, если

b2

2a1

b1

c1 ,

c2

a1

b1

5c1 .

Решение

3

2

2

2

2

5,

Разрешим систему

2

2

2

0,

относительно

2 , 2 ,

2 .

4

2

2

5

2

3,

Исключая переменную

величину

2 ,

сложим

второе

и

третье уравнения:

5 2

4 2

3 . На втором этапе умножим почленно третье уравнение на коэффициент 2

5

2

4

2

3,

Следовательно,

2 1,

2 2, 3 3 , и разложение

вектора

2

2

1

4.