новая папка 1 / 437022

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ»

МЕХАНИКА

Часть 1.

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Практикум для вузов

Составители: Е.С. Рембеза, В.И. Кукуев

Воронеж Издательский дом ВГУ

2015

1

Утверждено научно-методическим советом физического факультета 24 сентября 2015 г., протокол № 6

Рецензент – д-р физ.-мат. наук, профессор Е.Н. Бормонтов

Практикум подготовлен на кафедре общей физики физического факультета Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов физического факультета 1-го курса д/о и 2-го курса в/о.

Для специальностей: 03.03.02 – Физика, 11.03.04 – Электроника и наноэлектроника, 03.03.03 – Радиофизика, 14.03.02 – Ядерная физика и технологии

2

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-1.1

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ. ПРОСТЕЙШИЕ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ

Цель работы: изучение видов погрешностей, их оценок и методик расчета. Изучение основных приёмов линейных измерений на простейших измерительных приборах.

Приборы и принадлежности: линейка с ценой деления 1 мм,

штангенциркуль с ценой деления 0,05 мм, микрометр с ценой деления 0,01 мм, набор измеряемых тел.

ВВЕДЕНИЕ

1. Погрешности измерений и их типы

Под измерением понимается сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения. Измерения разделяют на прямые и косвенные. Прямыми называются измерения, результат которых отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора (измерения длины линейкой, времени секундомером, температуры термометром и т.д.). В большинстве случаев физические величины вычисляются по формулам, выведенным из физических законов, с использованием результатов прямых измерений. Такие измерения называются косвенными (измерение объема прямоугольного параллелепипеда, плотности тела, ускорения свободного падения и др.).

Любые измерения всегда производятся с какими-то погрешностями, связанными с ограниченной точностью измерительных приборов, неправильным выбором, и погрешностью метода измерений, физиологией экспериментатора, особенностями измеряемых объектов, изменением условий измерения и т.д. Поэтому в задачу измерения входит нахождение не только самой величины, но и погрешности измерения, т.е. интервала, в котором вероятнее всего находится истинное значение измеряемой величины. Например, при измерении отрезка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с

X называется абсолютной погрешностью (ошибкой) измерения, а выра-

3

жение E = μX 100 % , характеризующее точность измерения, называется от-

носительной погрешностью.

Вполне естественно стремление экспериментатора произвести всякое измерение с наибольшей достижимой точностью, однако такой подход не всегда целесообразен. Чем точнее мы хотим измерить ту или иную величину, тем сложнее приборы мы должны использовать, тем больше времени потребуют эти измерения. Поэтому точность окончательного результата должна соответствовать цели проводимого эксперимента. Теория погрешностей дает рекомендации, как следует вести измерения и как обрабатывать результаты, чтобы величина погрешности была минимальной.

Все возникающие при измерениях погрешности обычно разделяют на тритипа– систематические, случайныеипромахи, илигрубыеошибки.

Систематические погрешности обусловлены ограниченной точностью изготовления приборов (приборные погрешности), недостатками выбранного метода измерений, неточностью расчетной формулы, неправильной установкой прибора и т.д. Таким образом, систематические погрешности вызываются факторами, действующими одинаковым образом при многократном повторении одних и тех же измерений. Величина этой погрешности систематически повторяется либо изменяется по определенному закону. Некоторые систематические ошибки могут быть исключены (на практике этого всегда легко добиться) путем изменения метода измерений, введение поправок к показаниям приборов, учета постоянного влияния внешних факторов. Хотя систематическая (приборная) погрешность при повторных измерениях дает отклонение измеряемой величины от истинного значения в одну сторону, мы никогда не знаем в какую именно. Поэтому приборная погрешность записывается с двойным знаком.

Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин (изменением температуры, давления, сотрясением здания и т.д.), действия которых на каждое измерение различно и не может быть заранее учтено. Случайные погрешности происходят также из-за несовершенства органов чувств экспериментатора. К случайным погрешностям относятся и погрешности, обусловленные свойствами измеряемого объекта.

Исключить случайные погрешности отдельных измерений невозможно, но можно уменьшить влияние этих погрешностей на окончательный результат путем проведения многократных измерений. Если случайная погрешность окажется значительно меньше приборной (систематической), то нет смысла дальше уменьшать величину случайной погрешности за счет увеличения числа измерений. Если же случайная погрешность больше приборной, то число измерений следует увеличить, чтобы уменьшить значение случайной погрешности и сделать ее меньше или одного порядка с погрешностью прибора.

4

Промахи, или грубые ошибки, – это неправильные отсчеты по прибору, неправильная запись отсчета и т.п. Как правило, промахи, обусловленные указанными причинами, хорошо заметны, так как соответствующие им отсчеты резко отличаются от других отсчетов. Промахи должны быть устранены путем контрольных измерений. Таким образом, ширину интервала, в котором лежат истинные значения измеряемых величин, будут определять только случайные и систематические погрешности.

2. Оценка систематической (приборной) погрешности

При прямых измерениях значение измеряемой величины отсчитывается непосредственно по шкале измерительного прибора. Ошибка в отсчете может достигать нескольких десятых долей деления шкалы. Обычно при таких измерениях величину систематической погрешности считают равной половине цены деления шкалы измерительного прибора. Например, при измерении штангенциркулем с ценой деления 0,05 мм величина приборной погрешности измерения принимают равной 0,025 мм.

Цифровые измерительные приборы дают значение измеряемых ими величин с погрешностью, равной значению одной единицы последнего разряда на шкале прибора. Так, если цифровой вольтметр показывает значение 20,45 мВ, то абсолютная погрешность при измерении равна ±0,01 мВ.

Систематические погрешности возникают и при использовании постоянных величин, определяемых из таблиц. В подобных случаях погрешность принимается равной половине последнего значащего разряда. Например, если в таблице значение плотности стали дается величиной, равной 7,9 · 103 кг/м3, то абсолютная погрешность в этом случае равна ±0,05 . 103 кг/м3.

Некоторые особенности в расчете приборных погрешностей электроизмерительных приборов будут рассмотрены ниже.

При определении систематической (приборной) погрешности кос-

венных измерений функциональной величины y = f (x1, x2 ,..., xm ) используется формула

производные функции по переменной xi .

В качестве примера получим формулу для расчета систематической погрешности при измерении объема цилиндра. Формула вычисления объема цилиндра имеет вид

V = πd 2h .

4

5

,

где ∂d и ∂h – приборные ошибки при измерении диаметра и высоты цилиндра.

3. Оценка случайной погрешности. Доверительный интервал и доверительная вероятность

Для подавляющего большинства простых измерений достаточно хорошо выполняется так называемый нормальный закон случайных погрешностей (закон Гаусса), выведенный из следующих эмпирических положений:

1) погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значе-

ний;

2)при большом числе измерений погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто,

3)чем больше величина случайной погрешности, тем меньше вероятность ее появления.

График нормального закона распределения Гаусса представлен на рис.1. Уравнение кривой имеет вид

где f ( x) – функция распределения случайных ошибок (погрешностей), ха-

рактеризующая вероятность появления ошибки x , σ – средняя квадратичная ошибка.

Величина σ не является случайной величиной и характеризует процесс измерений. Если условия измерений не изменяются, то σ остается постоянной величиной. Квадрат этой величины называют дисперсией измерений. Чем меньше дисперсия, тем меньше разброс отдельных значений и тем выше точность измерений. Как показывает теория, дисперсия равна:

6

Из рис. 2 и формулы (3) видно, что дисперсия характеризует случайный разброс данного ряда измерений относительно истинного значения. При ограниченном числе наблюдений приближенной оценкой дисперсии может служить так называемая вы-

борочная дисперсия, вычисленная по некоторому «выбранному» конечному числу измерений:

Точное значение средней квадратичной ошибки σ, как и истинное значение измеряемой величины, не-

известно. Существует так называемая статистическая оценка этого параметра, в соответствии с которой средняя квадратичная ошибка равняется средней квадратичной ошибке среднего арифметического Sx . Величина Sx

определяется по формуле

где xi – результат i-го измерения; x – среднее арифметическое полученных

значений; n – число измерений.

Чем больше число измерений, тем меньше Sx и тем больше оно при-

ближается к σ. Если истинное значение измеряемой величины μ, ее среднее арифметическое значение, полученное в результате измерений x , а случайная абсолютная погрешность x , то результат измерений запишется в виде

μ = x ± x .

Интервал значений от x − x до x + x , в который попадает истинное значение измеряемой величины μ, называется доверительным интервалом. Поскольку x является случайной величиной, то истинное значение попадает в доверительный интервал с вероятностью α, которая называется

доверительной вероятностью, или надежностью измерений. Эта величи-

на численно равна площади заштрихованной криволинейной трапеции (см.

рис. 1).

Все это справедливо для достаточно большого числа измерений, когда Sx близка к σ. Для отыскания доверительного интервала и доверительной

вероятности при небольшом числе измерений, с которым мы имеем дело в ходе выполнения лабораторных работ, используется распределение вероятностей Стьюдента. Это распределение вероятностей случайной величи-

ны tα ,n , называемой коэффициентом Стьюдента, дает значение довери-

7

тельного интервала x в долях средней квадратичной ошибки среднего арифметического Sx

Распределение вероятностей этой величины не зависит от σ2, а существенно зависит от числа опытов n. С увеличением числа опытов n распределение Стьюдента стремится к распределению Гаусса.

Функция распределения табулирована (табл. 1). Значение коэффициента Стьюдента находится на пересечении строки, соответствующей числу измерений n, и столбца, соответствующего доверительной вероятности α.

Т а б л и ц а 1

Пользуясь данными таблицы, можно:

1)определить доверительный интервал, задаваясь определенной вероятностью;

2)выбрать доверительный интервал и определить доверительную вероятность.

При косвенных измерениях среднюю квадратичную ошибку среднего арифметического значения функции y = f (x1, x2 ,..., xm ) вычисляют по формуле

Доверительный интервал и доверительная вероятность определяются так же, как и в случае прямых измерений.

4. Оценка суммарной погрешности измерений. Запись окончательного результата

Суммарную погрешность результата измерений величины Х будем определять, как среднее квадратичное значение систематической и случайной погрешностей

В качестве Х может быть, как непосредственно, так и косвенно измеряемая величина.

8

Окончательный результат измерений рекомендуется представлять в следующем виде

μ = x + Σ x , α =…, Е =… (9)

Округление результата измерений должно производиться в соответствии с допущенной при измерениях погрешностью. Если погрешность велика, то нет смысла сохранять при записи результата большое количество значащих цифр, создавая этим ложную видимость высокой точности измерений, которой на самом деле нет. Наоборот, слишком грубое округление результата, полученного с хорошей точностью, обесценивает проведенный эксперимент, перечеркивая все усилия экспериментатора, направленные на повышение точности измерений.

Следует помнить, что сначала округляется погрешность и только потом – само число! Поскольку формулы теории ошибок справедливы для большого число измерений, поэтому значение случайной, а следовательно, и суммарной погрешности определяется при малом числе измерений с большой ошибкой. Так, при n = 10 она не превышает 30 %. Поэтому указывать погрешность с большим количеством значащих цифр не имеет смысла. При вычислении х при числе измерений n ≤ 10 принято значение погрешности округлять, оставляя одну значащую цифру, если она больше 3, и две значащие цифры, если первая из них меньше 4. Например, если х = 0,004215… мм ≈ 0,004 мм, т. к. первая значащая цифра 4 больше трех (нули слева значащими цифрами не являются), а если х = 1,23448… мм ≈ 1,2 мм, т.к., первая значащая цифра 1 меньше четырех.

Теперь совсем просто можно округлить само число, используя следующее правило. Число и его погрешность должны быть выражены в одним и тех же единицах, причем их последние цифры должны принадлежать к одному и тому же разряду. Неверно написать

l = (27,748 ± 0,5) мм.

Правильная запись

l = (27,7 ± 0,5) мм.

Заметим, что нули справа или в середине числа являются значащими цифрами, поэтому написание их в нужной позиции обязательно, как и любой другой цифры. Так, если ā = 246,032… мм, а = 0,521… мм, то нельзя написать

а = (246 ± 0,5) мм.

Следует писать

а = (246,0 ± 0,5) мм.

Если b = 16,2343… мм, b = 0,2023… мм, то неверными будут записи: b = (16,23 ± 0,2) мм или b = (16,2 ± 0,2) мм.

Правильное написание

b = (16,23 ± 0,20) мм.

9

Десятичный порядок числа и его погрешности должен быть одинаковым, то есть не допускаются записи вида

х = (3,387 · 102 ± 0,6) мм,

т.к. они не позволяют сразу увидеть, какая цифра результата является ненадежной. В приведенном примере следует представить результат в виде

х = (338,7 ± 0,6) мм или х = (3,387± 0,006) ·102 мм.

Точность вычислений должна быть согласована с точностью измерений. Чтобы при вычислениях не возникала дополнительная погрешность существенной величины, принято округлять числа так, чтобы относительная погрешность, полученная в результате округления, была примерно на порядок меньше относительной погрешности результата косвенных измерений.

5. Методика расчета погрешностей измерений. Погрешности прямых измерений

При обработке результатов прямых измерений рекомендуется принять следующий порядок выполнение операций.

1.Проводятся измерения заданного физического параметра n раз в одинаковых условиях, и результаты записываются в таблицу.

2.Если результаты некоторых измерений резко отличаются по своему значению от остальных измерений, то они как промахи отбрасываются, если после проверки не подтверждаются.

3.Вычисляется среднее арифметическое x из n одинаковых измерений. Оно принимается за наиболее вероятное значение измеряемой величины

xi = xi − x .

5.Вычисляются квадраты абсолютных погрешностей отдельных измерений ( хi)2.

6.Определяется средняя квадратичная ошибка среднего арифметиче-

ского

7.Задается значение доверительной вероятности α. В лабораториях практикума принято задавать α = 0,95.

8.Находится коэффициент Стьюдента tα ,n для заданной доверительной вероятности α и числа произведенных измерений (см. табл. 1)

10