новая папка 1 / 357350
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВПО ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Р. И. ЛИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ИНДИВИДУАЛЬНОГО
ЗАДАНИЯ № 1 ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ МАШИН»
Липецк 2013
УДК 669.02 (07) Л 55
Методические указания по выполнению индивидуального задания № 1 по дисциплине «Математические методы оценки надежности машин» [Текст] / Ли Р. И., Липецк: ЛГТУ, 2013. 20 с.
Приведены общие сведения и порядок выполнения индивидуального задания № 1. Описана методика статистической обработки полной опытной информации: построение статистического ряда, определение опытных закономерностей распределения случайных величин, их замены теоретическим законом распределения по критерию согласия, определение доверительных границ рассеивания и ошибки переноса.
Предназначены для индивидуальной самостоятельной работы студентов направления подготовки 23.05.01 (190109) «Наземные транспортно-
технологические средства».
Ил. 2. Табл. 10.
Утверждены ОПН по направлению подготовки 190109 «Наземные транс- портно-технологические средства», протокол № 3 от 5 декабря 2013 г.
Рецензент Корчагин В. А. – д. т. н., профессор, заведующий кафедрой «Управление автотранспортом» ЛГТУ.
© Липецкий государственный технический университет, 2013
2
1.ЦЕЛЬ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ
Целью индивидуального задания является привитие навыков самостоя-
тельного решения конкретных инженерных задач, связанных с методикой об-
работки полной опытной информации о надежности машин; закрепление,
углубление и обобщение знаний, полученных студентом на лекциях и лабора-
торных занятиях по дисциплине «Математические методы оценки надежности машин».
2 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Статистическая обработка информации о показателях надежности (ПН)
объекта имеет конкретное прикладное значение, так как позволяет планировать сроки постановки в ремонт отдельных машин и их агрегатов, расход запасных частей, обосновать выбор рационального способа восстановления изношенной детали, оценить качество ремонта машин и др. В первой части курсовой работы студент на основании варианта задания, выданного преподавателем, произво-
дит статистическую обработку полной информации об износах рассматривае-
мой детали. В результате выбирается теоретический закон распределения (ТЗР)
износов детали.
3 МЕТОДИКА СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Обработка полной информации содержит следующие этапы [1].
1 Построение статистического ряда исходной информации и опре-
деление смещения начала рассеивания.
2 Определение среднего значения t ПН и среднего квадратического от-
клонения .
3 Проверка информации на выпадающие точки.
3
|
|
4 |
Построение гистограммы, полигона и кривой накопленных опытных |
||||||||||
вероятностей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5 |
Определение коэффициента вариации |
|
V |
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
6 |
Проверка совпадения опытных и теоретических законов распределе- |
||||||||||
ния ПН по критериям соответствия. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Графическое построение интегральной |
|
F (t) |
и дифференциальной |
f (t) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
функций ТЗР. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
7 |
Определение доверительных границ рассеивания одиночных и сред- |
||||||||||
них ПН и наибольшей возможной ошибки переноса. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Статистический ряд составляют при объеме выборки |
N 25 |
для |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
упрощения дальнейших расчетов (без потерь точности). |
|
|
|
||||||||||
|
|
Количество интервалов статистического ряда n определяют по условию |
|||||||||||
n 8...12 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Длину интервала статистического ряда |
A |
рассчитывают по формуле |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
А = (t max - t min ) / n , |
|
|
|
|
||||
где |
t |
max |
и |
t |
min – максимальная и минимальная точки информации соответствен- |
||||||||
|
|
||||||||||||
но (в курсовой работе это информация об износах) мм.
У многих ПН машин начало рассеивания смещено относительно их нуле-
вого значения (ресурс, стоимость, время восстановления работоспособности и
др.). Смещение начала рассеивания |
t |
см |
определяют по формуле |
|
t
см |
= t |
1н |
|
- 0,5А
,
где t1н – начало первого интервала, мм.
Значение опытной вероятности в i –м интервале Pi определяют по фор-
муле
4
|
Р |
i |
= m |
i |
/ N |
, |
|
|
|
|
|||
где mi |
– опытная частота i – го интервала. |
|||||
Полученные данные вносят в таблицу 3.1.
Таблица 3.1
Информация об интервалах исходного статистического ряда
Номер |
Границы |
Середина |
Частота |
Опытная вероят- |
i – го ин- |
i – го интерва- |
i – го интер- |
i – го интер- |
ность i – го |
тервала |
ла tiн tiк , мм |
вала tiс , мм |
вала mi |
интервала Pi |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее значение ПН
t
рассчитывают по формуле
t
=
n tic Pi 1
,
(3.1)
где
t
iC |
- значение середины i – го интервала, мм; |
P |
– опытная вероятность i – го интервала. |
i |
Среднее квадратическое отклонение |
|
рассчитывают по формуле |
|
n
= (tic t )2 Pi
1
(3.2)
В опытной информации о ПН могут быть ошибочные точки, выпадающие из общего закона распределения. Поэтому перед окончательной математиче-
5
ской обработкой информацию проверяют на выпадающие точки по критерию Ирвина
оп (ti ti 1) /
,
– опытное значение критерия Ирвина;
t |
i , |
t |
i 1 |
– смежные точки информации. |
|
|
Теоретический коэффициент Ирвина |
т |
определяют по значениям объе- |
|
|
|||
ма выборки |
N и доверительной вероятности , используя таблицу П.1 при- |
||
ложения. |
|
|
|
Точка |
информации является достоверной, если выполняется условие |
||
оп т |
|
|
|
, в противном случае точка является выпадающей, ее исключают из информации и строят заново статистический ряд.
Гистограмма и полигон являются дифференциальными, а кривая накоп-
ленных опытных вероятностей – интегральным статистическими законами рас-
пределения опытных ПН (рис. 3.1).
Гистограмму строят следующим образом. По оси абцисс откладывают в
масштабе значение ПН (длину интервала – |
A ), а по оси ординат – частоту |
m |
||||
i |
||||||
или опытную вероятность |
P |
|
|
|
|
|
i для данного i – ого интервала. |
|
|||||
При построении i – ой точки полигона по оси ординат откладывают ча- |
||||||
стоту mi или опытную вероятность |
P |
|
t |
ic – середину данного i |
||
i , а по оси абцисс |
|
|||||
– ого интервала. Точкой полигона является точка пересечения ординаты с аб-
циссой.
Площадь каждого прямоугольника гистограммы, площадь под полигоном в пределах интервала равны количеству объектов в долях единицы, у которых значения ПН находятся в границах этого интервала.
Начальную и конечную точки полигона получают смещением последнего по оси абцисс на половину интервала относительно начала первого и конца по-
следнего интервалов соответственно влево и вправо.
6
Рис. 3.1 Статистические законы распределения опытных показателей надежно-
сти (износ посадочного места под подшипник 7522 в вальцедековом станке СВУ-2): 1 – гистограмма; 2 – полигон; 3 – кривая накопленных опытных веро-
ятностей
Точку кривой накопленных опытных вероятностей в i-ом интервале по-
лучают при пересечении ординаты, равной сумме вероятностей i-интервалов
n |
|
|
|
|
t |
|
|
Pi |
и абциссы конца данного i-ого интервала – |
iк . |
|||
|
|
|||||
|
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент вариации |
V |
является относительной характеристикой рас- |
||
|
|
|
||||
сеивания ПН и используется при предварительном выборе и оценке ТЗР.
Для ПН, зона рассеивания которых начинается от нуля, коэффициент ва-
риации V определяют по формуле
V = / t ,
Если зона рассеивания смещена относительна нуля формула имеет вид
V = / ( t - t см ) .
7
При |
V |
< 0,3 предварительно выбирают закон нормального распределения |
||
|
|
|||
(ЗНР), если |
V |
> 0,5 – закон распределения Вейбулла (ЗРВ). |
||
|
|
|||
Проверку совпадения опытных и теоретических законов распределения
ПН производят по критериям соответствия Пирсона, Колмогорова или Стью-
дента.
|
|
|
Критерий согласия Пирсона |
2 |
представляет собой сумму квадратов от- |
|
клонений опытных и теоретических частот в каждом интервале укрупненного статистического ряда информации
n |
2 |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
(m m |
|
) |
/ m |
mi , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
mi |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
где |
|
n |
y |
– число интервалов в укрупненном статистическом ряду; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
m |
– опытная частота в i – ом интервале укрупненного статистического ряда; |
|||||||||||||||||||
|
i |
|||||||||||||||||||
m |
|
– теоретическая частота в i – ом интервале укрупненного статистического |
||||||||||||||||||
|
mi |
|||||||||||||||||||
ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Укрупненный статистический ряд составляют исходя из условий: |
||||||||||||||||
n |
y |
|
|
4, |
m |
|
5. Допускается объединение тех интервалов в которых |
m |
||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
i < 5. |
||||||||||||||
|
|
|
|
После выбора количества интервалов укрупненного статистического ряда |
||||||||||||||||
необходимо заполнить таблицу 3.2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Теоретическую частоту в i – ом интервале рассчитывают по формуле |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mmi N[F(tiк ) F(tiн )], |
|
||||||||
где |
|
F (t |
) |
и |
F (t |
) |
– интегральные функции в конце и начале i – го интервала |
|||||||||||||
|
|
|
|
iк |
|
iн |
|
|||||||||||||
укрупненного статистического ряда.
8
|
|
|
Таблица 3.2 |
|
Информация об интервалах укрупненного статистического ряда |
|
|||
|
|
|
||
Номер i – го интервала укруп- |
Границы i – го интервала |
Опытная часто- |
||
ненного статистического ряда |
tiн tiк , мм |
та i – го интер- |
||
|
|
|
вала, m |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
n |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегральную функцию ЗНР определяют по равенству
где
ция,
F (t |
|
) F |
|
(tiк t) / |
|
, |
|
|
|
||||
|
iк |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
F |
(tiк t) / |
, |
– центрированная и нормированная интегральная функ- |
|
|
|
|
||
0 |
|
|||
|
|
|
||
определяемая по табл. П.2. приложения.
Следует учитывать, что
|
|
|
|
F (- t) =1- F (+t) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
o |
o |
|
|
|
Интегральную функцию ЗРВ определяют из табл. П.3. приложения, по |
|||||||||
величине параметра ЗРВ – |
b |
и отношению |
(t |
t ) / a |
, где a – параметр ЗРВ. |
||||
|
iк |
см |
|||||||
Параметры a и |
b |
можно приближенно рассчитать по формулам |
|||||||
|
|||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|||
1,11(t tсм) , |
|
b 1/V 1,06 , |
(3.3) |
||||||
Рассчитав значения критерия согласия Пирсона 2 для ЗНР и ЗРВ, по
9
таблице П.4 приложения, определяют вероятность совпадения опытных и тео-
ретических данных P . Для входа в таблицу необходимо определить число сте-
пеней свободы |
r |
по формуле |
|
r ny K ,
где K – число обязательных связей. Для ЗНР и ЗРВ число обязательных связей
K 3 : две связи это два параметра распределения, а третья связь – Р 1,0 .
Вероятность совпадения является критической при P 10% , то есть если
P 10% , данный теоретический закон распределения непригоден. Из двух ТЗР
выбирают тот, который обеспечивает большее совпадение опытных и теорети-
ческих данных.
После окончательного выбора ТЗР рассчитывают значения дифференци-
альной функции в серединах интервалов исходного статистического ряда f (tic ) .
Для ЗНР по известной формуле
|
|
|
f (t |
|
) |
( A |
/ |
|
) |
fo (tic t) / |
, |
|||
|
|
|
ic |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
fo (tic t) / |
– центрированная |
дифференциальная функция ЗНР, опре- |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
деляемая по отношению |
(tic t) / |
в таблице П.5 приложения. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Следует учитывать, что f |
0 (t) |
f0 |
(t) . |
|
|
||||||||
|
В случае ЗРВ значения дифференциальной функции в середине i – го ин- |
|||||||||||||
тервала исходного статистического ряда определяют как разницу интегральных функций в конце и в начале i – го интервала статистического ряда
f (tic ) F(tiK ) F(tiн )
Затем по полученным данным строят график дифференциальной функции
10