Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

новая папка 1 / 590418

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2023

Размер:

431.19 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Т. Н. Глушакова, К. П. Лазарев, Ю. В. Бондаренко

ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Учебно-методическое пособие для вузов

Воронеж Издательский дом ВГУ

2015

Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 5 ноября 2015 г., протокол № 3

Рецензент – канд. физ.-мат. наук, доц. кафедры алгебры и топологических методов анализа М. В. Турбин

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре вычислительной математики и прикладных информационных технологий факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов 1-го курса дневного отделения факультета прикладной математики, информатики и механики, изучающих дисциплины «Алгебра» и «Линейная алгебра».

Для направлений:

01.03.02 – Прикладная математика и информатика, 01.03.03 – Механика и математическое моделирование, 01.05.01 – Фундаментальные математика и механика

СОДЕРЖАНИЕ
1. Евклидовы пространства..............................................................................	4
1.1. Основные понятия ...............................................................................	4
1.2. Простейшие примеры евклидовых пространств ..............................	4
1.3. Свойства евклидовых пространств....................................................	5
1.4. Матрица Грама.....................................................................................	8
1.4.1. Определение матрицы Грама...................................................	8
1.4.2. Свойства матрицы Грама.........................................................	8
1.5. Ортогональные матрицы.....................................................................	10
1.6. Проектирование ...................................................................................	12
1.7. Метод ортогонализации О. Ю. Шмидта............................................	15
1.8. Ортогональное дополнение ................................................................	20
1.9. Изоморфизм евклидовых пространств..............................................	21
2. Унитарные пространства..............................................................................	22
2.1. Основные понятия ...............................................................................	22
2.2. Свойства унитарных пространств......................................................	22
2.3. Матрица Грама.....................................................................................	23
3. Задачи для самоподготовки .........................................................................	24
Литература.........................................................................................................	25

1. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА

1.1. Основные понятия

Определение 1. Пространство E называется вещественным, если его элементы можно умножать только на вещественные числа.

Определение 2. Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если в нем каждой паре векторов x, y ставится в соответст-

вие вещественное число (x, y) , называемое скалярным произведением этих векторов, причем выполнены следующие условия:

1)(x, y) = ( y, x) ;

2)(x + y, z) = (x, z) + ( y, z) ;

3)(α x, y) = α (x, y) для любого α R ;

4)(x, x) > 0 для любого x ≠ 0.

Рассмотрим простейшие следствия из 1) – 4):

1)(x,α y) = α (x, y) ;

2)(x, y + z) = (x, y) + (x, z) ;

3)n αi xi , y = n αi (xi , y);

i=1 i=1

	n	n
4) x, αi yi = αi (x, yi );
	i=1	i=1

5) Для любого ненулевого x E (x,0) = 0 . Докажем некоторые из них:

1)(x,α y) = (α y, x) = α ( y, x) = α (x, y) ;

2)(x, y + z) = ( y + z, x) = ( y, x) + (z, x) = (x, y) + (x, z) ;

3)n αi xi , y = α1x1 + n αi xi , y = α1(x1, y) + n αi xi , y = n αi (xi , y);i=1 i=2 i=2 i=1

5)(x,0) = (x,0 y) = 0 (x, y) = 0 .

1.2.Простейшие примеры евклидовых пространств

E = R

. Положим (x, y) = x1 y1

+ x2 y2

+ + xn yn .

. Пусть x =

y =

2. E = C[a,b]. Пусть f (t), g(t) C[a,b]. Положим ( f (t), g(t)) = f (t)g(t) dt .

1.3.Свойства евклидовых пространств

Теорема 1 (неравенство Коши – Буняковского). Для любых x, y E

(x, y)2 ≤ (x, x) ( y, y) .

Доказательство.

Возьмем произвольные λ R , x, y E и рассмотрим

φ (λ ) = (x − λ y, x − λ y) = (x, x) − 2(x, y)λ + ( y, y)λ 2 .	(1)
Положим A = (x, x) , B = (x, y) , C = ( y, y) > 0 . Заметим, что
φ (λ ) ≥ 0 .	(2)
Из (1) и (2) следует, что
A − 2Bλ + Cλ 2 ≥ 0 .	(3)
Это квадратное неравенство относительно λ . Очевидно, что оно име-
ет решение, если D ≤ 0 , то есть
B2 − AC = (x, y)2 − (x, x) ( y, y) ≤ 0 ,
откуда следует, что
(x, y)2 ≤ (x, x) ( y, y) .	(4)

Определение 3. Векторы x и y коллинеарны, если x = λy.

Утверждение 1. Неравенство Коши – Буняковского становится равенством тогда и только тогда, когда x = λy.

Доказательство.

x, y E ,

Необходимость. Пусть для

y ≠ 0

выполнено равенство

(x, y)2 = (x, x) ( y, y) , или

(x, x) ( y, y) − (x, y)2 = 0 .

(5)

Положим λ =

(x, y)

и рассмотрим

( y, y)

(x − λ y, x − λ y) = (x, x) − 2λ (x, y) + λ

( y, y) = (x, x) − 2

(x, y)

(x, y) +

(x, y)2

( y, y) =

( y, y)

( y, y)2

(x, x) ( y, y) − 2(x, y)2 +

(x, y)2 ) =

((x, x) ( y, y) − (x, y)2 ) .

( y, y)

В силу (5) получим, что (x − λ y, x − λ y) = 0 ,

то есть x − λ y = 0 или

x = λ y .

Достаточность. Пусть x, y – коллинеарные векторы, то есть x = λ y .

Рассмотрим

(x, y)2 = (λ y, y)2 = λ 2 ( y, y)2 ,

(6)

(x, x) ( y, y) = (λ y,λ y) ( y, y) = λ 2 ( y, y2 ) .

(7)

Из (6) и (7) следует, что (x, y)2 = (x, x) ( y, y) .

(x, y)

С помощью скалярного произведения можно ввести понятие угла между векторами:

cosφ = (x, x) ( y, y) .

Из (4) следует, что	(x, y)	2	≤ 1, поэтому		(x, y)		≤ 1, откуда
		2


	(x, x) ( y, y)			(x, x)		( y, y)
	(x, x) ( y, y)			(x, x)		( y, y)

следует, что cosφ ≤ 1.

Определение 4. Линейное пространство E называется нормированным, если для любого элемента x E определена числовая характеристика – норма вектора x , удовлетворяющая следующим условиям:

1) x ≥ 0 при x ≠ 0 и x = 0 при x = 0 ;

2) λ x = λ x для любых λ R ;

3)для любых x, y E x + y ≤ x + y .

Теорема 2. Евклидово пространство нормировано, если в нем определена норма вектора по формуле x = (x, x) .

Доказательство.

Для любого ненулевого вектора x E

= (x, x) > 0 , для x = 0

= (x, x) = 0 .

λ x

= (λ x,λ x) =

( x, x) =

x +

2 = ( (x + y,

+ y) ) 2 = (x

, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + ( y, y) ≤

≤ x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y)2 .

Спомощью нормы понятие угла между векторами вводится следующим образом:

cos φ = (x, y) .

x y

Замечание. Если x = y , то cosφ = 1.

Определение 5. Два вектора x, y E называются ортогональными,

если (x, y) = 0 .

Теорема 3 (теорема Пифагора). Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Доказательство.

Пусть x, y – ортогональные векторы, то есть (x, y) = 0 . Рассмотрим x + y 2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2(x, y) + ( y, y) = (x, x) + ( y, y) = x 2 + y 2 .

Следствие. Пусть x1, x2 , , xn – совокупность взаимно перпендикулярных векторов, то есть

0,				i ≠ j

(xi , xj ) =	xi	2	≠ 0,	,
(xi , xj ) =		2		,
				i = j

тогда

2 = (x1 + x2 + + xk , x1 + x2 + + xk ) = (x1, x1 ) +

x1 + x2 + + xk

+(x1, x2 ) + + (xk , xk ) =

2 + +

2 .

Определение 6. Система векторов

f1, f2 , , fn E

ортонормирована,

если ( fi , f j ) = δij = 1, i = j .

0, i ≠ j

Определение 7. δij

называется символом Кронекера.

Утверждение 2.

Если векторы fi

(i = 1, , n) образуют ортонорми-

рованную систему, то они линейно независимы.

Доказательство.

(i = 1, , n)

Предположим противное: векторы

линейно зависимы,

то есть существует такой нетривиальный (ненулевой) набор коэффициентов

(α1, α2 , , αn ) ≠ 0 , что линейная комбинация

α1 f1 + α2 f2 + + αn fn = 0 .

(8)

Умножим (8) скалярно на fi (i = 1, , n) , получим

(α1 f1 + α2 f2 + + αn fn , fi ) = (α1 f1, fi ) + + (αi fi , fi ) + + (αn fn , fi ) = αi .

С другой

стороны,

(0, fi ) = 0 . Таким образом, αi

= 0

для

всех

i = 1, , n , что противоречит предположению.

Теорема 4. В n -мерном евклидовом пространстве E существует ор-

тонормированный базис.

Доказательство проведем методом математической индукции.

Пусть dim E = 1,

f – ненулевой базисный вектор. Положим e =

тогда

= 1. Пусть в произвольном пространстве E′ раз-

и E′ E ,

мерности (n − 1)

построен ортонормированный базис e1,e2 , , en−1

dim E = n .

Докажем, что в n -мерном пространстве E также можно построить

ортонормированный базис. Возьмем вектор fn E ,

fn E′ .

Спроектируем

вектор

fn на E′ . Положим

fn = yn + hn , где yn E′ ,

hn E′ . Так как yn E′ ,

то yn

= α1e1 + α2e2 + + ε n−1en−1 . Подберем коэффициенты αi

(i = 1,2 , , n)

таким образом, чтобы hn = fn − yn E′ или hn ei (i = 1,2 , , n − 1) . Для этого скалярно умножим hn на векторы ei (i = 1,2 , , n − 1) . Получим

0 = (hn ,ei ) = ( yn − (α1e1 + + αiei + + αn−1en−1),ei ) = ( yn ,ei ) −

−α1(e1,ei ) − − αi (ei ,ei ) − − αn−1(en−1,ei ) = ( yn ,ei ) − αi .

В результате αi = ( yn ,ei ) (i = 1,2 , , n − 1) . Положим en = fn . fn

Таким образом, в пространстве E построен ортонормированный ба-

зис ei (i = 1,2 , , n) .

1.4.Матрица Грама

1.4.1.Определение матрицы Грама

Выведем формулу для скалярного произведения в общем случае. Пусть E – n -мерное евклидово пространство, e1 , , en – базис в E .

Возьмем произвольные		векторы x, y E .				Пусть x = ξ1e1 + ξ2e2 + + ξnen ,
y = η1e1 + η2e2 + + ηnen . Найдем
	(x, y) =		n	n		n n
	(x, y) =		ξiei , η jej =			(ei ,ej )ξiη j .	(9)
			i=1	j=1		i=1 j=1
Пусть gij = (ei ,ej ) . Из (9) следует, что
				n n
		(x, y) = gijξiη j = ξ тΓη ,
				i=1 j=1
ξ1	η1	g11		g1n
где ξ = ,	η = , Γ =				.
ξn	ηn	gn1		gnn
Определение 8. Матрица				g11	g1n
			Γ =	g11	g1n
			Γ =
называется матрицей Грама.				gn1	gnn
называется матрицей Грама.
Если e1 , , en – ортонормированный базис, то Γ = I и
				n	n
		(x, y) = ξiη j = ξ тη .

i=1 j=1

1.4.2.Свойства матрицы Грама

1.Матрица Грама – симметрическая.

Действительно, так как (x, y) = ( y, x) , то gij = (ei ,ej ) = (ej ,ei ) = g ji .

2. Найдем связь матриц Грама в разных базисах.

Пусть E – n -мерное евклидово пространство, {ei}in=1 , {e′j }nj=1 – базисы

в E .

Разложим базисные

векторы

e′j

( j = 1, 2,

, n)

по

векторам

(i = 1,

2, ,

n) , получим ei′ = skiek . Элементы ski

образуют матрицу пере-

хода

S = {ski}k ,i=1

j=1

к базису{ej

}j=1 .

от базиса {ei}i=1

′

Пусть

Γ = {g

, g

= (e ,e

)

–

матрица

Грама

базисе {e }n

i, j=1

i j

i i=1

′

Γ = {gij

}i, j=1 ,

gij

= (ei ,ej

) – матрица Грама в базисе {ej

}j=1 , тогда

g′

тогда

n	n	n n	n n
= (ei′,e′j ) = ( skiek , smjem ) = ski (ek ,em )smj = ski gkmsmj .
k =1	m=1	k =1 m=1	k =1 m=1

Перепишем соотношение (10) в матричном виде:

Γ′ = S тΓS ,

(10)

(11)

Γ′

S т

(12)

Если e1, e2 , , en – ортонормированный базис, то

= 1 и из (12) сле-

дует, что

2 > 0 .

Γ′

(13)

Теорема 5. Пусть x1, x2 , , xn

– произвольные элементы n -мерного

евклидова пространства E , тогда

	(x1, x1)	(x1, x2 )	(x1, xk )
	(x1, x1)	(x1, x2 )	(x1, xk )
Γ* =	(x2 , x1) (x2 , x2 ) (x2 , xk )				> 0 ,

	(x, x)	(x, x)		(x, x)

если векторы xi (i = 1, , k) линейно независимы, и Γ* = 0 , если векторы xi (i = 1, , k) линейно зависимы.

Доказательство.

1. Пусть xi (i = 1, , k) – линейно независимые векторы пространства E , E′ – линейная оболочка, натянутая на векторы xi (i = 1, , k) . Возьмем в качестве векторов нового базиса векторы xi (i = 1, , k) , а в качестве векто-

ров старого базиса – ортонормированные базисные векторы ej			( j = 1, , k)
пространства E . Тогда в силу (13)	Γ *	> 0 .

2. Пусть векторы xi (i = 1, , k) линейно зависимы, тогда существует
такой нетривиальный набор коэффициентов
(α1, α2 , , αk ) ≠ 0 ,			(14)

что линейная комбинация

α1x1 + α2 x2 + + αk xk = θ

(θ – нулевой элемент пространства E ).

Умножим (15) скалярно на xi (i = 1, , k) , получим систему

α1(x1, x1) + α2 (x2 , x1) + + αk (xk , x1) = 0α1(x1, x2 ) + α2 (x2 , x2 ) + + αk (xk , x2 ) = 0

α1 (x1, xk ) + α2 (x2 , xk ) + + αk (xk , xk ) = 0

(15)

(16)

Числа αi (i = 1, , k) являются решениями линейной однородной системы (16). Если бы ее определитель Γ * был отличен от нуля, то по правилу

Крамера система (16) имела бы только нулевое решение, что противоречит предположению (14).

Пример. Пусть в 3-мерном евклидовом пространстве дан канониче-

ский базис e1 = (1, 0, 0) ,	e2 = (0,1, 0) ,		e3 = (0, 0,1) .			Построить в этом базисе
матрицу Грама для следующей билинейной формы:
b(x, y) = x1 y1 + 5x2 y2 + 6x3 y3 + 2x1 y3 + 2x3 y1 + 3x2 y3 + 3x3 y2 .
Решение.
g11 = b(e1,e1) = 1,	g12 = g21 = b(e1,e2 ) = 0 ,					g13 = g31 = b(e1,e3 ) = 2 ,
g22 = b(e2 ,e2 ) = 5 ,	g23 = g32 = b(e2 ,e3 ) = 3 ,					g33 = b(e3 ,e3 ) = 6 ,
тогда		1	0	2

		0	5	3
	Γ =				.
		2	3	6

1.5.Ортогональные матрицы

Пусть			′	(i = 1, , n) –
	E – n -мерное евклидово пространство, {ei}, {ei}
ортонормированные базисы пространства		E , тогда Γ	′	–	единичные
			и Γ
матрицы и в силу (11)
где S = {ski}k	I = S т S ,				(17)
	,i=1 – матрица перехода от базиса {ei}i=1 к базису {ej }j=1 .
n		n		′	n

Из (17) следует, что S −1 = S т .

Определение 9. Матрица S называется ортогональной, если

S т = S −1 .

(18)

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке новая папка 1

#
26.02.2023389.69 Кб0588450.pdf
#
26.02.2023374.8 Кб1590362.pdf
#
26.02.2023278.77 Кб0590409.pdf
#
26.02.2023268.35 Кб0590411.pdf
#
26.02.2023320.71 Кб0590412.pdf
#
26.02.2023431.19 Кб0590418.pdf
#
26.02.2023198.77 Кб1590425.pdf
#
26.02.2023383.19 Кб1590431.pdf
#
26.02.2023268.66 Кб0590433.pdf
#
26.02.2023210 Кб1590443.pdf
#
26.02.2023273.49 Кб0596751.pdf