новая папка 1 / 279717

Методические указания к выполнению контрольной работы

по методике преподавания математики.

Образцы решений

З а д а н и е 1 . В данной теореме выделить условие, заключение и разъяснительную часть. Сформулировать утверждения: обратное для данного, противоположное для данного, обратное для противоположного. Доказать данную теорему, а также истинность или ложность каждого сформулированного утверждения.

Р е ш е н и е . Дана теорема.

Диагонали прямоугольника равны. Чтобы легче было выделить условие и заключение теоремы, ее формулируют в виде импликации, применяя союз: «если …, то …».

Сформулируем данную теорему в форме импликации.

Если четырехугольник является прямоугольником, то диагонали четырехугольника равны.

Это утверждение содержит два предложения: условие и заключение теоремы.

Условие теоремы: А – четырехугольник является прямоугольником. Заключение теоремы: В – диагонали четырехугольника равны. Теорема рассматривается на множестве четырехугольников. В дан-

ном случае множество четырехугольников – это разъяснительная часть теоремы.

Разъяснительной частью теоремы принято считать множество объектов, на котором рассматривается теорема.

Данную теорему на языке логики можно записать следующим обра-

зом: A B .

3

найдем треугольники, сторонами которых они являются. Это треугольники

MNQ, NPQ, MNP, PQM. Рассмотрим MNQ и QPM . Эти треугольники равны.

MN PQ как противоположные стороны прямоугольника

MQ – общая сторона

NMQ PQM 90 как углы прямоугольника

Будем считать данную теорему прямой теоремой или прямым утверждением и сформулируем обратное, противоположное, обратное для пр о- тивоположного утверждения.

Обратное утверждение. (B A) . Если диагонали четырехугольни-

ка равны, то этот четырехугольник является прямоугольником.

Это утверждение ложно. Для доказательства достаточно привести контрпример.

M Q MP NQ .

Противоположное утверждение. ( A B) . Если четырехугольник

не является прямоугольником, то диагонали четырехугольника не равны. Это утверждение ложно. Для доказательства достаточно привести

контрпример. Равнобедренная трапеция не является прямоугольником, но ее диагонали равны.

4

Обратное противоположному утверждение. ( B A) .

Если диагонали четырехугольника не равны, то этот четырехугольник не является прямоугольником.

Докажем истинность этого утверждения методом «от противного». Пусть диагонали четырехугольника не равны. Предположим, что он является прямоугольником. По прямой теореме ( A B) сразу получается,

что диагонали данного четырехугольника равны. Это противоречит условию. Противоречие с условием получено из-за того, что мы сделали невер-

ное предположение о том, что данный четырехугольник является прямоугольником. Значит, данный четырехугольник не является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

Выполненное нами задание еще раз подтверждает, что прямое утверждение эквивалентно обратному для противоположного:

(A B) ( B A) ; обратное утверждение эквивалентно противополож-

ному: (B A) ( A B) . В нашем случае прямое утверждение и обрат-

ное для противоположного истинны, а обратное и противоположное утверждения ложны.

Если изменить разъяснительную часть теоремы, то картина истинно-

сти может измениться.

Рассмотрим нашу теорему не на множестве четырехугольников, а на множестве параллелограммов. В этом случае все четыре утверждения будут истинными.

Прямая теорема будет формулироваться следующим образом.

Если параллелограмм является прямоугольником, то диагонали параллелограмма равны.

Это утверждение истинно.

Обратное утверждение формулируется следующим образом.

Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм яв-

5

ляется прямоугольником.

лелограмма равен 90°.

Рассмотрим треугольники MNQ и QPM. Они равны по третьему при-

знаку равенства треугольников. MN QP как противоположные стороны параллелограмма, MQ – общая сторона, MP NQ по условию. Значит,

NMQ PQM . Так как сумма углов, прилежащих к каждой стороне па-

раллелограмма, равна 180°, NMQ PQM 180 90 . MNPQ – прямо-

2

угольник.

Истинность утверждения противоположного прямому будет следовать из его эквивалентности обратному утверждению.

Таким образом, рассмотренное нами задание раскрывает роль такого понятия, как разъяснительная часть теоремы. Стоит изменить разъяснительную часть, и картина истинности может измениться.

З а д а н и е 2 . Дано некоторое утверждение. Провести относительно него рассуждения методом нисходящего анализа. Доказать данное утверждение методом синтеза.

Поясним это задание.

Понятия анализа и синтеза имеют разнообразные трактовки в окружающей нас жизни.

Мы будем понимать анализ как прием мышления, при котором от следствия переходят к причине, породившей это следствие, а синтез – как прием мышления, при котором от причины переходят к следствию, порожденному этой причиной.

6

Сразу нужно отметить, что по отдельности эти приемы практически не используются. Они, как правило, выступают во взаимодействии, образуя единый аналитико-синтетический метод. Мы их разделяем только для того, чтобы лучше изучить.

Рассуждения методом анализа всегда начинаются с того утвержде-

ния, которое нужно доказать. Оно путем логически обоснованных шагов сводится к утверждению, которое заведомо истинно.

Поясним сказанное примером. Пусть нам дано утверждение

a b a b , где a 0 и b 0 .

2

Проведем рассуждения методом нисходящего анализа.

Последнее неравенство заведомо верно.

Хотя мы и пришли к неравенству заведомо истинному, данное неравенство еще не доказано. Дело в том, что мы получали следствия, заранее предположив, что данное неравенство верно. А ведь этот факт еще не установлен! Итак, нисходящий анализ не является методом доказательства.

Для чего же его рассматривают в математике? Он зачастую помогает найти путь доказательства. Вот и сейчас мы пришли к истинному неравенству

(a b)2 0 , которое можно принять за исходное, чтобы доказать дан-

ное неравенство. Доказательство нередко проводят методом синтеза. Сущность рассуждения синтетическим методом состоит в том, что

оно всегда начинается с заведомо истинного утверждения. Это утверждение путем логически обоснованных шагов преобразуется в доказываемое утверждение.

7

достаточно доказать, что ВО – высота ABC .

Второй шаг. Для того, чтобы доказать, что ВО – высота ABC , достаточно доказать, что ABC – равнобедренный и ВО – медиана ABC .

Утверждения о том, что ABC – равнобедренный и ВО – медианаABC , заведомо истинны. AB BC , так как ABCD – ромб; AO OC , так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Значит, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Восходящий анализ, как и другие методы доказательства, не универсален. Его основным недостатком является некоторая громоздкость. Зато это компенсируется целым рядом достоинств:

а) восходящий анализ формирует умение осуществлять поиск решения задачи;

б) способствует развитию логического мышления, так как вынуждает устанавливать причинно-следственные связи;

в) схема его применения довольно проста.

З а д а н и е 3 . Разработать методику введения определения понятия конкретно-индуктивным или абстрактно-дедуктивным методом.

1. Введение понятия конкретно-индуктивным методом.

При введении математических понятий в школьном обучении полезно руководствоваться следующей схемой, которая, однако, должна быть динамичной, сокращаться или дополняться в зависимости от объективно меняющихся условий обучения (состава класса, характера математических понятий и т. п.). В качестве примера рассмотрим методическую схему поэтапного изучения понятия «параллельные прямые». Представим это в виде таблицы:

9

10