новая папка 1 / 336112

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра высшей математики

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ЭЛЕМЕНТАРНЫХ И ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к лабораторной работе по дисциплине

«Математические методы теории управления»

Составитель А.П. Щербаков

Липецк Липецкий государственный технический университет

2013

3

Цель работы

Изучение моделей и характеристик основных типовых динамических звеньев линейных систем управления.

Краткие теоретические сведения

В общем случае линейная система (звено) описывается линейным дифференциальным уравнением, представленным в стандартной форме [3]:

где t – текущее время; n, m – порядок старшей производной левой и правой частей уравнения; m ≥ n; u – входное воздействие (сигнал); y – выходное воздействие (сигнал); ai, bj – коэффициенты левой и правой частей уравнения (могут быть либо функциями времени t, либо постоянными).

Дифференциальные уравнения называют уравнениями динамики, они описывают переходные режимы в системах (динамику звеньев цепи). Переходный режим возникает при подаче на вход сигнала u(t) (включение устройства) и существует до тех пор, пока на выходе не устанавливается определенная величина сигнала y(t).

В операторной форме уравнение (1) имеет вид [4]:

где p dtd - символ, обозначающий операцию дифференцирования; D(p), M(p)

– дифференциальные операторы левой и правой частей уравнения:

D( p) an p n ... a1 p a0 ; M ( p) bm p m ... b1 p b0 .

Из операторной формы уравнения следует способ изображения стационарной системы на структурных схемах (рис. 1).

3

Рис. 1. Структурная схема простейшей системы

Пусть в результате анализа динамики какого-либо звена получилось дифференциальное уравнение второго порядка:

В уравнении (4) оператор при выходной величине y называют собственным оператором, а оператор при входном воздействии u – оператором воздействия.

Отношение оператора воздействия к собственному оператору называют передаточной функцией. Передаточная функция звена, описываемого уравнением (4), будет иметь вид

В общем случае передаточная функция звена имеет вид, показанный на рис. 1:

Типы звеньев систем автоматического управления различаются по виду их передаточной функции (или дифференциального уравнения), определяющей

4

все их динамические свойства и характеристики. Основные типы звеньев делятся на три группы: позиционные, дифференцирующие и интегрирующие.

Впозиционном (или усилительном) звене линейной зависимостью y = k1u связаны входная и выходная величины в установившемся режиме. k1 – коэффициент усиления звена.

Винтегрирующих звеньях линейной зависимостью dydt k1u связаны

производная выходной величины и входная величина в установившемся режиме, или y k1 udt .

В дифференцирующих звеньях линейной зависимостью y k1 dudt связаны

в установившемся режиме выходная величина и производная входной величины.

Передаточные функции рассмотренных функций имеют вид:

‒ для позиционного (усилительного) звена W ( p) k1 ;

k

‒ для интегрального звена W ( p) p1 ;

‒ для дифференциального звена W ( p) k1 p .

В данной лабораторной работе рассматриваются временные характеристики основных видов динамических звеньев.

К временным характеристикам относятся переходная и импульсная

переходная характеристики.

Переходной функцией звена (системы) h(t) называют функцию, описывающую изменение выходной величины системы (звена), когда на ее вход подается единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях.

Аналитически единичное ступенчатое воздействие описывается:

5

График переходной функции – кривую зависимости функции h(t) от времени t – называют переходной характеристикой.

Импульсной переходной (или весовой) функцией системы (звена) w(t) называют функцию, описывающую изменение выходной величины системы (звена) при воздействии на входе δ-функции (единичное импульсное воздействие) при нулевых начальных условиях.

Аналитически δ-функция описывается [3]:

График импульсной переходной функции называют импульсной переходной характеристикой.

Между весовой и переходной функциями звена имеет место следующее соотношение

Сложные системы управления, как правило, состоят из элементарных и типовых звеньев.

1. Идеальное усилительное (безинерционное или позиционное) звено Уравнение и передаточная функция звена:

гидравлические передачи, электронный усилитель сигналов на низких частотах, гироскоп и некоторые другие измерительные датчики.

2. Апериодическое (инерционное) звено Уравнение и передаточная функция звена:

6

Переходная функция согласно решению уравнения звена при u 1(t) и

нулевых начальных условиях имеет вид

Вид данных функций представлен на рис. 2.

Рис. 2. Графики функций h(t) и w(t) для апериодического звена

Постоянная времени T1 определяет наклон касательной в начале кривой, следовательно, величина T1 характеризует степень инерционности звена, т.е. длительность переходного процесса.

Практически с точностью до 5% переходный процесс считается затухшим за время tn = 3T1.

Примером апериодического звена является электродвигатель, если u – управляющее напряжение, а y – угловая скорость вала.

3. Апериодическое звено второго порядка Уравнение и передаточная функция звена:

причем T1 2T2 .

Передаточная и весовая функции соответственно имеют вид

7

Вид данных функций представлен на рис. 3.

Рис. 3. Графики функций h(t) и w(t)

для апериодического звена второго порядка

Примерами такого звена являются двигатель постоянного тока при учете инерционности цепи якоря и электромашинный усилитель.

4. Колебательное звено Уравнение звена имеет вид

становится апериодическим второго порядка.

Передаточная и весовая функции соответственно имеют вид

8

Рис. 4. Графики функций h(t) и w(t) для колебательного звена

Огибающая на рис. 4 и частота колебаний соответственно определяются формулами

Поэтому аналогично инерционному звену длительность переходного процесса можно оценить практически в виде

tn 3 T .

Примером колебательного звена может служить колебательный RLC- контур.

5. Идеальное интегрирующее звено Уравнение и передаточная функция звена имеют вид

py k1u ; W ( p) kp1 .

Переходная и весовая функции имеют вид

9