новая папка 1 / 241566

б) анализ полученного решения; в) анализ эффективности программной реализации используемых методов.

Контрольные вопросы

1.Метод Гаусса-Ньютона.

2.Метод Левенберга-Марквардта.

3.Методы квазиньютоновского типа.

4.BFGS.

5.DFP.

Задание выдается студентам в электронной форме.

Лабораторная работа №5. Методы условной оптимизации

Задание для лабораторной работы

1.Для вариантов задач № 1, 3 и 4 нарисовать область допустимых значений. Для задачи № 2: принять x3 = 1.0 и нарисовать область допустимых значений задачи в проекции на оси x1 и x2.

2.Решить задачу методом Бокса.

3.Решить задачу методом Фиакко – Маккормика с различными функциями штрафов: квадрат срезки, бесконечный барьер, логарифмический штраф, обратный штраф. Для каждого вида штрафов написать оптимизируемую функцию.

4.Результаты расчета представить в таблице.

5.Сделать выводы о влиянии вида функции штрафом на решение задачи.

6.Сравнить решение, полученное методом Бокса, и лучшее решение, полученное методом Фиакко – Маккормика.

Контрольные вопросы

1.Метод Бокса.

2.Методы поиска начальной точки: случайный поиск, прямая минимизации невязок, последовательная минимизация невязок.

3.Основные типы штрафов.

11

4. Метод Фиакко-Маккормика.

Задание выдается студентам в электронной форме.

Лабораторная работа №6 Расчет алгоритмов стабилизации непрерывных систем (первая часть)

1. Требуется рассчитать алгоритм управления

uˆ Kxˆ ,

при котором замкнутая система

x Ax Buˆ

устойчива. Основные допущения:

;

А, В, С – заданные матрицы, система вполне управляема, показатель качества не учитывается. Для определения матрицы К можно использовать метод из

[16]. Для определения оценки xˆ состояния x данной системы по известным измерениям y следует сформировать систему асимптотической оценки:

xˆ Axˆ Bu L(y Cxˆ ), xˆ 0 x0

2. Для определения матрицы L можно использовать метод из [16] с заменой

A AT , B CT , K LT ,

задавшись собственными числами

ˆ , 1,...,n ,

удовлетворяющими условию Re ˆ 0 (с учетом полной наблюдаемости ис-

ходной системы). Оценка xˆ ищется как решение системы xˆ (A BК LC)xˆ Ly, xˆ 0 x0

по заданным А, В, С, x0, измеренными y и найденными К, L. 3. Оптимальная стабилизация по состояниям

Основные допущения:

12

котором замкнутая система x Ax Bu устойчива и показатель качества достигает минимума. Для определения матрицы K* использовать соотношение

К R 1BTP* , где положительно определенная матрица P* является решени-

ем матричного квадратного уравнения

ATP PA PBR 1BTP Q 0 ,

причем минимум показателя качества равен

J1min xT0 P*x0 .

4. Оптимальная стабилизация по состояниям при наличии случайных возмущений Основные допущения:

w(t) 0 скалярно, M{w(t)} 0, Rw (t) (t), s(t) 0; y(t) x(t) ,

А, В – заданные матрицы, система вполне управляема,

M{x0} 0, M{x0w(t)} 0, M{x0xT0 } D0 ,

показатель качества учитывается в виде J2.

Требуется рассчитать алгоритм управления с обратной связью u K x ,

при котором замкнутая система x Ax Buˆ устойчива и показатель качества достигает минимума. Для определения матрицы K* можно использовать тот же

метод, что и в (3,4); минимум показателя качества равен J2 m in GTP*G .

5. Оптимальная стабилизация по измерениям при наличии случайных возмущений и случайных ошибок измерений. Основные допущения:

w(t) 0,M{w(t)} 0, Rw (t) W (t), s(t) 0, M{s(t)} 0;Rs (t) S (t) ;

(W,S – заданные положительно определенные матрицы).

M{w(t)sT (t)} 0, y(t) x(t) ; А, В, G, C – заданные матрицы, система вполне

13

управляема и вполне наблюдаема, показатель качества учитывается в виде J2. Требуется рассчитать алгоритм управления

матрицы К можно использовать тот же метод, что и в (3,4). Для определения оценки xˆ состояния x по измерениям y следует сформировать систему оптимальной асимптотической оценки

xˆ Axˆ Bu L (y Cxˆ ) .

Для определения матрицы L можно использовать соотношение

L D CTS 1 ,

где положительно определенная матрица D является решением матричного квадратного уравнения

AD DA T DCTS 1CD GWGT 0

Лабораторная работа №6. Расчет алгоритмов стабилизации дискретных

систем (вторая часть)

Задачи для дискретных систем формулируются аналогично (см. [11,16]). Задание выдается студентам в электронной форме.

Библиографический список

1.Алексеев, В.М., Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи./ В.М. Алексеев, Э.М. Галлеев, В.М. Тихомиров. – М.: Физматлит, 2005. – 256 c.

2.Васильев, Ф.П. Методы оптимизации./ Ф.П. Васильев.– М.: Факториал Пресс,

2002. – 824 с.

3.Галеев, Э.М. Оптимизация: теория, примеры, задачи./ Э.М. Галеев.– М.:

Едиториал УРСС, 2002. – 304 c.

4. Измайлов, А.Ф. Численные методы оптимизации./ А.Ф. Измайлов, М.В. Солодов. – М.: Физматлит, 2003. – 304 c.

14

5.Письменный, Д.Т., Конспект лекций по высшей математике. 2 часть [Текст]/ Д.Т. Письменный. - М.:Айрис-пресс, 2005.– 288 с.

6.Мирошник, И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы./ И.В. Мирошник.– СПб: ПИТЕР, 2005. – 345 с.

7.Сухарев, А.Г. Курс методов оптимизации./ А.Г. Сухарев, А.В. Тимохов, В.В

Федоров.– М.: Физматлит, 2005. – 368 с.

8.Черноруцкий, И.Г. Методы оптимизации в теории управления./ И.Г. Черноруцкий.– СПб.: Питер, 2004. – 256 c.

9.Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического управления./ В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – СПб: ПРОФЕССИЯ, 2004. – 789 с.

10.Блюмин, С.Л. Нелинейный метод наименьших квадратов и псевдообращение: Учебное пособие./ С.Л. Блюмин, С.П. Миловидов, А.К. Погодаев. – Липецк: ЛипПИ, 1992.

11.Блюмин, С.Л. Основы прикладной математики. Оптимизационная математика: Учебное пособие./ С.Л. Блюмин, С.П. Миловидов, А.К. Погодаев. – Ли-

пецк: ЛЭГИ, 2004. – 72 с.

12.Деннис, Д. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений./ Д. Деннис, Р. Шнабель.– М.:Мир, 1988. – 440 с.

13.Васильев, Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач./ Ф.П. Васильев.–М.:Наука, 1988. – 549 с.

14.Пантелеев, А.В. Теория управления в примерах и задачах./ А.В. Пантелеев, А.С. Бортаковский.– М.: Высшая школа, 2003. – 583 с.

15.Погодаев, А.К.. Адаптация и оптимизация в системах автоматизации и управления./ А.К. Погодаев, С.Л. Блюмин.– Липецк: ЛЭГИ, 2003. – 128 с.

Интернет-ресурсы

11. http://www.exponenta.ru/ – посвящен решению задач при помощи математи-

ческих пакетов, таких как Mathematica, Mathcad, MATLAB, Maple.

2.2. http://www.elibrary.ru – научная электронная библиотека. Один из наиболее полезных источников информации.

15

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ И ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к самостоятельной работе по дисциплине «Методы оптимизации», «Мате-

матические методы теории управления» Составитель Денисенко Юрий Иванович

Ризография. Печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ Издательство Липецкого государственного технического университета. Полиграфическое подразделение издательства ЛГТУ.

398600 Липецк, ул. Московская, 30.

16