новая папка 1 / 437107

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

, поэтому можем взять

f3 = (3, 5, 6) .

, поэтому можем взять

f3 = (3, 5, 6) .

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2023

Размер:

383.85 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ФУНКЦИИ ОТ МАТРИЦ

Учебное пособие для вузов

Составители: Т. Н. Глушакова, К. П. Лазарев

Воронеж Издательский дом ВГУ

2015

Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики ВГУ 5 ноября 2015 г., протокол № 3

Рецензент – доктор технических наук, доцент Ю. В. Бондаренко

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре вычислительной математики и прикладных информационных технологий факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов дневного отделения, изучающих дисциплины «Алгебра», «Линейная алгебра».

Для направлений: 01.03.02 – Прикладная математика и информатика, 01.03.03 – Механика и математическое моделирование, 01.05.01 – Фундаментальная математика и механика

	СОДЕРЖАНИЕ
1.	Собственные векторы и собственные значения оператора......................	4
	1.1. Основные понятия ...............................................................................	4
	1.2. Алгоритм нахождения собственного значения и собственного
	вектора оператора.......................................................................................	4
	1.3. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного
	значения.......................................................................................................	4
2.	Жорданова форма и жорданов базис матрицы оператора........................	5
	2.1. Жорданова форма матрицы ................................................................	5
	2.2. Алгоритм нахождения жорданова базиса для одной
	жордановой клетки.....................................................................................	5
	2.3. Алгоритм нахождения жордановой формы для матрицы
	3-го порядка.................................................................................................	6
3.	Примеры нахождения жордановой формы и жорданова
базиса для матриц 3-го порядка.......................................................................		8
4.	Функции от диагональных и клеточно-диагональных матриц................	18
Библиографический список .............................................................................		23

1.СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ

ИСОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОПЕРАТОРА

1.1. Основные понятия

Рассмотрим линейный оператор в пространстве E (dim E = n) и пусть

A – матрица этого оператора в некотором базисе {e }n				.
e			i i =1
Определение	1.	Многочлен	φ(λ) = det(Ae − λI )		называется

характеристическим многочленом матрицы Ae ( I – единичная матрица

порядка n ).

Определение 2. Ненулевой вектор x называется собственным вектором оператора A , если Ae x = λx , а λ – собственным значением

оператора A , соответствующим собственному вектору x .

Определение 3. Множество всех собственных значений {λi }ik=1 (k ≤ n) оператора A называется спектром оператора.

1.2.Алгоритм нахождения собственного значения

исобственного вектора оператора

1.Найдем все корни характеристического многочлена φ(λ) = det( Ae − λI ) ,

получим λ1, λ2,…, λk – спектр оператора A .

2. Подставим λ = λ1 в систему ( Ae − λI )x = 0 , решим ее и найдем все

собственные векторы, отвечающие собственному значению λ1, затем подставим λ2 и т.д.

1.3. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения

Определение 4. Кратность корня λi в характеристическом многочлене

φ(λ) называется алгебраической кратностью αi собственного значения λi.

Определение 5. Геометрической кратностью ki						собственного
значения	λi	называется	размерность	собственного	подпространства
L(λi ) = {x : Ae x = λi x} оператора A .
Утверждение. ki = n − rang( Ae − λi I ) , где n –					порядок матрицы
оператора A .
Теорема. Оператор			A в базисе	f1, f2 , , fn имеет диагональную
матрицу	Af	в том и только в том случае, когда базисные векторы fi
(i = 1, 2,..., n)		– собственные, то есть αi = ki		для всех i .

2. ЖОРДАНОВА ФОРМА И ЖОРДАНОВ БАЗИС МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА

2.1. Жорданова форма матрицы

Определение 6. Жордановой клеткой с собственным значением λi

называется клетка вида

λi		1	0		0
	0	λi	1		0
	0	λi	1		0		(2.1)
0		0	λi		0	.	(2.1)

					1
	0	0	0
	0	0	0	λi

Здесь на главной диагонали стоит собственное значение λi, над главной диагональю – единицы, а все остальные элементы – нули.

Теорема. Для произвольного оператора A : C n → C n существует базис

пространства C n , в котором матрица оператора имеет клеточнодиагональный вид, причем на главной диагонали стоят жордановы клетки вида (2.1).

Этот базис называется жордановым, а данный канонический вид матрицы называется жордановой формой.

Замечание. Жорданова форма определяется однозначно с точностью до порядка клеток (каждой клетке с λi соответствует один собственный вектор).

2.2. Алгоритм нахождения жорданова базиса для одной жордановой клетки

Рассмотрим жорданову клетку вида (2.1).

По определению матрицы оператора в 1-м столбце стоит вектор Ae f1 ,

разложенный	по	базису f1, f2 , fk : Ae f1 = λi f1 + 0 f2					+ + 0 fk ,	поэтому
( Ae − λi I ) f1 = 0 .						Ae f2 , разложенный по
Во 2-м столбце матрицы находится вектор						Ae f2 , разложенный по
этому же базису, и т.д.				f1 находим как решение системы
Таким образом, собственный вектор				f1 находим как решение системы
( Ae − λi I )x = 0 ,	присоединенный		вектор	f2	–	как	решение	системы
( Ae − λi I )x = f1 . Очевидно, что ( Ae			− λi I )2 f2 = ( Ae	− λi I ) f1 = 0 .
Продолжая		аналогичные	рассуждения,		для вектора fk			получим
( Ae − λi I )k fk = 0 .

Определение 7. Вектор fk называется присоединенным вектором

высоты k − 1.

Определение 8. Присоединенный вектор высоты 1 называется просто

присоединенным вектором.

Жорданов базис состоит из собственных и присоединенных векторов. Утверждение. Алгебраическая кратность αi собственного значения λi равна сумме размеров жордановых клеток с этим собственным

значением (или числу собственных значений λi на главной диагонали). Утверждение. Геометрическая кратность ki собственного значения

λi равна числу клеток в жордановой форме с собственным значением λi

(или числу линейно независимых собственных векторов, соответствующих собственному значению λi).

2.3. Алгоритм нахождения жордановой формы для матрицы 3-го порядка

Пусть дана матрица 3-го порядка. Надо найти жорданову форму и
жорданов базис.
1. Пусть характеристический многочлен матрицы Ae имеет вид
φ(λ ) = (−1)3 (λ− λ1) (λ− λ2 ) (λ− λ3 ) , где λi			≠ λj	(i ≠ j) .
	λ1		0	0
Тогда жорданова форма матрицы имеет вид		0	λ2	0
	Af =				.
		0	0	λ3

Пусть характеристический многочлен матрицы Ae имеет вид

φ(λ) = (−1)3 (λ – λ1)2 (λ–λ2 ) , где λi ≠ λj

(i ≠ j) .

Возможны два случая:

а)

rang(Ae − λ1I ) = 1,

поэтому

k1 = 3 − rang( Ae − λ1I ) = 2

и,

следовательно,

α1 = k1 ,

поэтому жорданова

форма содержит две

жордановы клетки с

λ1

собственным значением λ1: Af

λ1

0 ;

λ2

б)

rang( Ae − λ1I ) = 2 ,

поэтому

k1 = 3 − rang( Ae − λ1I ) = 1

и,

следовательно,

жорданова форма

содержит одну

жорданову клетку

с собственным

λ1

значением λ1: Af =

0 .

λ2

3. Пусть характеристический многочлен матрицы Ae имеет вид

φ(λ) = (−1)3 (λ− λ1)3 .

Возможны два случая:
а) rang( Ae − λ1I ) = 1,				поэтому			k1 = 3 − rang( Ae − λ1I ) = 2			и,	следовательно,
жорданова	форма		содержит				две	жордановы	клетки	с	собственным
		λ1		1	0
значением λ1:			0	λ1	0
значением λ1:		Af =	0	λ1	0	;
			0	0	λ
					1
б) rang( Ae − λ1I ) = 2,				поэтому			k1 = 3 − rang( Ae − λ1I ) = 1			и,	следовательно,
жорданова	форма		содержит				одну	жорданову	клетку	с собственным
		λ1		1	0
значением λ1:			0	λ1	1
значением λ1:		Af =	0	λ1	1	.
			0	0	λ
					1

Замечание. Число единиц над главной диагональю в одной жордановой клетке равно числу присоединенных векторов.

3.ПРИМЕРЫ НАХОЖДЕНИЯ ЖОРДАНОВОЙ ФОРМЫ

ИЖОРДАНОВА БАЗИСА ДЛЯ МАТРИЦ 3-го ПОРЯДКА

Приведем примеры нахождения жордановой формы и жорданова базиса для каждого из рассмотренных выше случаев.

Пример 1.	Найти		жорданову форму и жорданов базис матрицы
	5	− 3	2
оператора Ae =	6	− 4	4	.
4		1	− 6

Решение

Вычислим

	5 − λ	−3	2	= − (λ −1) (λ − 2) (λ − 3) .
	5 − λ	−3	2
ϕ(λ) = det(Ae − λI) =	6	−4 − λ	4
	4	1	−6 − λ
Таким образом, получили три собственных значения λ1 = 1, λ2 = 2 , λ3 = 3.

Так как алгебраическая кратность каждого из них равна 1, то жорданова

форма имеет следующий вид: Af

0 .

Найдем

собственный

вектор

fc1 ,

соответствующий

собственному

значению

λ1 = 1.

Очевидно,

что

он

является

решением

уравнения

( Ae − I )x = θ и, следовательно,

− 1 − 3 4 − 3

4 − 3

− 3

A − I =

− 5

→

→ 0 −

1 2

−

→

4 − 4

0 −

1 2

3 0

− 2

4 0

− 4

1 0

− 1

→

− 2

x1 = x3

0 1

− 2

= (1, 2, 1).

то есть x

2x , поэтому можем взять f1

Найдем

собственный

вектор

fc2 ,

соответствующий

собственному

значению

λ2 = 2 .

Очевидно,

что

он

удовлетворяет

уравнению

( Ae − 2I )x = θ, поэтому

			− 4			3		− 3		2			x1			x2	x3				x1		x3 x2
			− 4			3		− 3		2		3		− 3			2			3 2			− 3
	A − 2I =					6		− 6 4				3		− 3			2		→	3 2			− 3		→
	A − 2I =					6		− 6 4				→							→				0		→
			3 4					− 4		3		0 0					1			0 1			0
			3 4					− 4		3
									x1	x3		x2				x1		x3	x2
						→		3 0			−3 : 3			→	1		0 −1				,
						→				1				→			1		0		,
откуда следует, что x1 = x2								0		1		0			0		1		0
откуда следует, что x1 = x2								, поэтому можем взять											fc2		= (1, 1, 0) .
			x		= 0
			3
Найдем	собственный							вектор				fc3 , соответствующий собственному
значению λ	= 3. Так как он является решением уравнения ( Ae − 3I )x = θ, то
3
			−2 −3 2						−3 2			2		−3			2					2	−3	2
Ae − 3I =							6		−7 4				0 2				−2					2	−3	2
Ae − 3I =							6		−7 4			→	0 2				−2	: 2 →				0			→
							4		−4 2				0 2				−2				3	0	1 −1
							4		−4 2				0 2				−2
							→		2 0		−1 : 2			→		1	0 − 1
							→			1				→					2
									0	1	−1					0	1		−1
				1												0	1		−1
				1
и, следовательно,			x1 =	2 x3 ,					поэтому можем взять										fc3 = (1, 2, 2) .

			x2 = x3
Векторы fc1, fс2 , fс3					образуют жорданов базис матрицы.
Пример	2.	Найти			жорданову							форму				и жорданов							базис		матрицы
		7	− 12				6
			− 19				10
оператора Ae = 10			− 19				10		.
			− 24				13
	12		− 24				13

Решение

Вычислим

φ(λ) = det( A	− λI ) =	7 − λ	−12	6	= − (λ−1)2 (λ+ 1) .
		7 − λ	−12	6
		10	−19 − λ	10
e
		12	−24	13 − λ
Таким образом, λ1 = 1, α1 = 2 ,			λ2 = −1, α2 = 1.

Так как алгебраическая кратность собственного значения λ1 = 1 равна 2, нужно найти его геометрическую кратность k1 . Для этого вычислим ранг матрицы

	6	− 12	6
A − I =	10	− 20	10	→ (1 − 2 1).
e
		− 24	12
	12	− 24	12

Очевидно, что rang( Ae − I ) = 1, поэтому

k1 = 3 − 1 = 2

и, следовательно,

жорданова форма имеет следующий вид

− 1

Найдем собственные векторы

f1,

f2 , соответствующие собственному

значению

λ1 = 1. Очевидно,

что

они

являются решением

уравнения

− 12

( A − I )x = θ, поэтому 10

− 20

→ (1

− 2

1), откуда x −

+ x = 0

− 24

или x1 = 2x2 − x3 .

Для

нахождения

фундаментальной

системы

решений

(ФСР)

собственного подпространства

L(1)

построим

таблицу

0 . Во

− 1

второй строке данной таблицы стоят координаты первого собственного вектора, а в третьей строке – второго. Их мы и возьмем в качестве векторов

f1 = (2,1, 0) ,	f2 = (−1, 0,1) .
Найдем	собственный вектор fc−1 , соответствующий собственному

значению λ2 = −1. Очевидно, что он удовлетворяет уравнению ( Ae + I )x = θ, поэтому

8	− 12 6		− 3 − 5 4		− 6 3			4		− 6 3
10	− 18 10	→		4 5	− 9 5		→		0	− 6 5 →
12	− 24 14		2	6	− 12 7			0		− 6 5
								1	0	−	1
	4 − 6	3		4 0	− 2 : 4			1	0	−
	4 − 6	3		4 0	− 2 : 4	→					2 ,
	→			→		→					2 ,
		−									5
	0 6	−	5	0 6	− 5 : 6			0	1	−	5
								0	1	−	6
											6

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке новая папка 1

#
26.02.2023318.02 Кб0437016.pdf
#
26.02.2023458.6 Кб0437022.pdf
#
26.02.2023263.4 Кб0437023.pdf
#
26.02.2023304.41 Кб0437026.pdf
#
26.02.2023417.72 Кб0437106.pdf
#
26.02.2023383.85 Кб0437107.pdf
#
26.02.2023242.1 Кб1437109.pdf
#
26.02.2023411.56 Кб0446498.pdf
#
26.02.2023329.48 Кб0463680.pdf
#
26.02.2023189.74 Кб0465830.pdf
#
26.02.2023184.39 Кб0465831.pdf