новая папка 1 / 231726

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»

Кафедра сопротивления материалов и теоретической механики

Г.В. Куча, И.И. Мосалева

КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» в качестве методических указаний для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования по техническим направлениям подготовки

Оренбург

2013

Содержание

3

Введение

Настоящие методические указания содержат основные определения и расчетные формулы по теме «Кинематика материальной точки», общие рекомендации к решению типовых задач по этой теме, а также вопросы для самоконтроля, на которые необходимо ответить прежде, чем приступать к выполнению лабораторной работы.

Методические указания включают содержание лабораторной работы, цель работы; варианты числовых данных. Кроме того, подробно рассмотрен пример выполнения работы.

Методические указания разработаны для студентов очной и заочной форм обучения.

4

1 Кинематика точки

1.1 Общие сведения

В кинематике изучается механическое движение тел без учета причин,

вызывающих это движение. Кинематика точки рассматривает движение простейшего объекта – точки.

Существуют две основные задачи кинематики:

1)определение способов задания движения (уравнений движения);

2)нахождение кинематических характеристик (траектории, скорости,

ускорения точки) при известных уравнениях движения.

Рассмотрим решение первой задачи.

1.2 Способы задания движения точки

В кинематике точки принимается три способа задания движения:

1)векторный;

2)координатный;

3)естественный.

При векторном способе положение точки определяется ее радиус-

вектором r , относительно неподвижного центра О (рисунок 1).

Рисунок 1

5

Геометрическое место концов вектора r , т. е. годограф этого вектора определяет траекторию движущейся точки.

Зависимость радиуса-вектора точки от времени, называется уравнением движения точки

r = r(t).

При координатном способе положение точки по отношению к данной системе координат Oxyz можно определить её декартовыми координатами x, y, z

(рисунок 2).

Рисунок 2

Чтобы знать положение точки в пространстве в любой момент времени,

надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т. е. знать зависимости

где x, y, z – координаты движущейся точки.

Уравнения (1) представляют собой уравнения движения точки в

декартовых прямоугольных координатах или уравнения траектории точки в параметрической форме, где роль параметра играет время t. Чтобы получить уравнение траектории в координатной форме, надо из уравнений движения (1)

исключить время t.

Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траекторией

6

является прямая линия, движение точки называется прямолинейным, а если кривая – криволинейным.

Естественный способ предполагает, что траектория точки задана. Тогда положение точки на траектории определяется ее дуговой (или криволинейной)

координатой S, которая равна расстоянию от точки О до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком (рисунок 3).

Рисунок 3

Зависимость S = f(t) представляет собой закон движения точки вдоль траектории.

Чтобы задать движение точки естественным способом, надо знать:

1)траекторию точки;

2)начало отсчета на траектории с указанием положительного и отрицательного направления отсчета;

3)закон движения точки вдоль траектории в виде S = f(t).

Рассмотрим далее вторую задачу кинематики.

Определим основные кинематические характеристики движения точки

(скорость, ускорение, траекторию) при различных способах движения.

7

1.3 Векторный способ

Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной по времени от радиус-вектора точки

dt

Вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории в сторону движения точки. Скорость характеризует быстроту и направление движения.

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной по времени от вектора скорости или второй производной по времени от радиус-вектора точки

которой движется точка. Если траекторией точки является плоская кривая, то вектор ускорения a лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону её вогнутости. В общем случае, если траектория не является плоской кривой, вектор ускорения a лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой. Для пространственной кривой в каждой точке кривой будет своя соприкасающаяся плоскость. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью этой кривой и является общей для всех её точек.

8

Проекции ускорения на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости или вторым производным по времени от соответствующих координат точки.

Модуль ускорения а находится по формуле:

Направление вектора a определяется направляющими косинусами

возрастания координаты S (рисунок 4);

9

точки.

Рисунок 4

Численная величина скорости точки в данный момент времени равна

0, то – в обратном направлении (рисунок 5).

Рисунок 5

При естественном способе задания движения вектор a определяют по его проекциям на оси Мτnb, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею

(рисунок 6).

10