новая папка 1 / 673188

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Учебно-методическое пособие

Составитель П.В. Садчиков

Воронеж Издательский дом ВГУ

2017

Утверждено научно-методическим советом математического факультета

23 марта 2017 г., протокол № 0500-03

Рецензент – д-р физ.-мат. наук, профессор А.Д. Баев

Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедре уравнений в частных производных и теории вероятностей математического факультета Воронежского государственного университета.

Рекомендовано для студентов 1–4-го курсов математического факультета.

Для направлений: 01.03.01 – Математика, 01.04.01 – Математика

2

ВВЕДЕНИЕ

В данном пособии излагается суть метода характеристик решения уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными, дается подробный алгоритм приведения к каноническому виду уравнений второго порядка разных типов, рассматривается задача Коши для уравнения гиперболического типа. Пособие содержит краткое теоретическое обоснование, примеры решения задач и контрольные задания, используемые на практических занятиях.

3

ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Линейное уравнение в частных производных второго порядка с двумя

где a(x, y),b(x, y),c(x, y) – функции, имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно.

Уравнение (1) в точке (x, y) принадлежит гиперболическому типу, ес-

ли дискриминант b2 ac 0 ; эллиптическому типу, если b2 ac 0 ; пара-

болическому типу, если b2 ac 0 .

Чтобы привести уравнение (1) к каноническому виду, нужно соста-

вить уравнение характеристик

(x, y) c1 , (x, y) c2 уравнений (3) и (4) будут вещественными и различными; они определяют два различных семейства вещественных характеристик. Вводя вместо (x, y) новые независимые переменные ( , ) :(x, y), (x, y) , приведем уравнение (1) к каноническому виду. Причем предполагается, что якобиан преобразования (x, y), (x, y) от-

4

личен от нуля, т.е. x (x, y) y (x, y) y (x, y) x (x, y) 0 . Говорят, что уравнение (1) приведено в новых переменных ( , ) к каноническому виду, если оно имеет вид в гиперболическом случае

u ( , ) ( , ,u( , ),u ( , ),u ( , )) 0

или

u ( , ) u ( , ) ( , ,u( , ),u ( , ),u ( , )) 0 .

В случае уравнения эллиптического типа общие интегралы уравнений (3) и (4) – комплексно сопряженные; они определяют два семейства мнимых характеристик.

можно взять, вообще говоря, любую гладкую функцию (x, y) , обеспечивающую отличие от нуля якобиана преобразования (x, y), (x, y) . Говорят, что уравнение (1) приведено в новых переменных ( , ) к каноническому виду, если оно имеет вид в параболическом случае

u ( , ) ( , ,u( , ),u ( , ),u ( , )) 0

или

u ( , ) ( , ,u( , ),u ( , ),u ( , )) 0 .

5

ПРИМЕРЫ ПРИВЕДЕНИЯ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Пример 1. Привести к каноническому виду уравнение uxx 2cos xuxy (3 sin2 x)uyy yuy 0 .

Решение. Так как b2 ac cos2 x 3 sin2 x 4 , то исходное уравнение принадлежит гиперболическому типу. Составим уравнения характеристик:

ady (b b2 ac )dx dy ( cos x 2)dx 0

ady (b b2 ac )dx dy (cos x 2)dx 0 .

Проинтегрируем данные уравнения и получим

2x sin x y c1 , 2x sin x y c2 .

Введем новые независимые переменные

2x sin x y,2x sin x y.

Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение:

2cos xu (2 cos x)u .

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

6

uxx 2cos xuxy (3 sin2 x)uyy yuy (2 cos x)2 u

2(2 cos x)(2 cos x)u (2 cos x)2 u sin xu sin xu 2cos x( (2 cos x)u 2cos xu (2 cos x)u )

(3 sin2 x)(u 2u u ) y(u u )

16u (sin x y)u (sin x y)u 16u (sin x y)(u u ).

sin x y 2 . Следовательно, канонический вид исходного уравнения:

u (u u ) 0 . 32

Получим общий интеграл последнего уравнения: x2 y2 ix2 c . Таким образом, новые независимые переменные будут выглядеть сле-

дующим образом: x2 y2 , x2. Посчитаем частные производные:

ux u x u x 2xu 2xu ; uy u y u y 2 yu ;

7

ние принадлежит параболическому типу. Уравнение характеристик выглядит следующим образом:

8

uxx u x2 2u x x u x2 u xx u xx y2 cos2 xu y sin xu ;

u 2 2 u 0 .

МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК

Метод приведения уравнения второго порядка (1) к каноническому виду и решение полученного при этом уравнения носит название метода характеристик. Рассмотрим пример решения уравнения параболического типа.

Пример 4. Найти общее решение уравнения:

x2uxx 2xyuxy y 2u yy xux yuy 0 .

Решение. Заданное уравнение имеет параболический тип (так как

приводится к виду:

v v 0

или

9

( v ) 0 .

Проинтегрируем последнее равенство и получим

v 1 ( )

или

Вравенстве (6) вернемся к старым переменным, учитывая замену (5).

Врезультате получим общее решение заданного уравнения:

u(x, y) 1 (xy) ln x 2 (xy) ,

где 1 , 2 – произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

Задача Коши для уравнения (1) с условиями

состоит в следующем. Пусть в области D задано уравнение (1) гиперболического типа и на кривой , которая принадлежит области D или является частью границы области D , заданы функции u0 (x, y) , u1 (x, y) и направление l(x, y) . Требуется найти функцию u(x, y) , которая в области D является решением уравнения (1) и на кривой удовлетворяет условиям (7).

10