Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

новая папка 1 / 603898

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2023

Размер:

334 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» (ФГБОУ ВО «ВГУ»)

Е.П. Белоусова Т.И. Смагина

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Методические указания для вузов

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета

2016

Утверждено научно-методическим советом факультета ПММ 15 февраля 2016 г., протокол № 6.

Рецензент д-р т. наук, доцент кафедры ММИО ф-та ПММ Т.В. Азарнова.

Методические указания подготовлены на кафедре нелинейных колебаний факультета ПММ Воронежского государственного университета.

Рекомендуется для студентов третьего курса специальности «Механика и математическое моделирование» факультета ПММ.

Настоящие методические указания предназначены для организации практических занятий и самостоятельной работы студентов, изучающих курс функционального анализа, а также при подготовке к экзамену по этому курсу. В начале каждого раздела приводятся необходимые теоретические сведения, даются образцы решения задач, а затем предлагаются задания для самостоятельной работы. При подборке задач и упражнений использовалась приведенная ниже литература.

Литература

1.Треногин В.А. Функциональный анализ/ В.А. Треногин. – М.:

Физматлит, 2002. – 488 с.

2.Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Физматлит, 2004. - 570 с.

3.Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа/ В.И. Соболев. – М.: Наука, 1968. – 286 с.

4.Люстерник Л.А. Краткий курс функциональго анализа/ Л.А. Люстерник, В.И. Соболев. – М.: «Лань», 2009. – 272 с.

5.Треногин В.А. Задачи и упражнения по функциональному анализу/ В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева. – М.:

Физматлит, 2002. – 239 с.

6.Антоневич А.Б. Функциональный анализ и интегральные уравнения/ А.Б. Антоневич, Я.В. Радыно. – Минск: БГУ, 2003. – 430 с.

7.Ульянов П.Н. Действительный анализ в задачах/ П.Н. Ульянов и

[др.]. – М.: Физматлит, 2005.

xk k 1

1. Гильбертовы пространства. Ортогональность.

Основные определения. Векторное пространство H над полем комплексных чисел называется предгильбертовым (или пространством со скалярным произведением), если в нем введено скалярное произведение, т.

е.	x, y H определено	комплексное	число (x, y) , удовлетворяющее
аксиомам:
	1. (x, x) 0, (x, x) 0 x 0 ;

	2. (x, y) ( y, x) ;
	3. ( x, y) (x, y) ;
	4. (x z, y) (x, y) (z, y) ,
и,	кроме того, скалярное	произведение	порождает норму по формуле

x (x, x) 2 . Пространство Н называется гильбертовым, если оно является полным относительно указанной нормы.

Справедливо неравенство Коши-Буняковского-Шварца

(x, y)

Элементы x, y H называются

ортогональными,

если

(x, y) 0 .

Система

если любая ее конечная

векторов xk k 1 называется линейно независимой,

подсистема линейно независима. Система векторов

ek k 1 называется

ортогональной, если все ek 0

и (ek , en ) 0

при

k n .

Система

векторов

( fk , fn ) kn ,

где kn

- символ

fk k 1 называется ортонормированной, если

Кронекера. Оказывается, что по любой линейно независимой системе

							, а также ортонормированную
можно построить ортогональную систему ek k 1							, а также ортонормированную
	с помощью следующего						процесса ортогонализации
систему fk k 1	с помощью следующего						процесса ортогонализации
Шмидта
		k 1	(xk	, en )
	e1 x1 ,	ek xk	(xk	, en )		en (k 2,3,...) ,
	e1 x1 ,	ek xk	(e			en (k 2,3,...) ,
			(e	, e	)
		n 1	n	n

fk	ek	.
	ek

Пример 1. Доказать, что в неравенстве Шварца знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда x и y линейно зависимы, т.е. x y, R и

(x, x)( y, y)

(x, y)

2 .

(1)

Решение. Пусть x y, R . Тогда

(x, x)( y, y) ( y, y)( y, y) ( y, y)( y, y) =

( y, y)

(x, y)

2 .

Пусть теперь выполнено равенство (1). Покажем, что x y . Допустим

противное, что x y ни при каком R . Тогда

(x y, x y) 0

или

0 2 ( y, y) 2 (x, y) (x, x) .

Из положительности данного квадратного трехчлена при любом

следует

отрицательность его дискриминанта, т. е.

4(x, y)2 4(x, x)( y, y) 0 ,

что противоречит условию (1). Следовательно, наше предположение неверно

и (x, x)( y, y) (x, y) 2 .

Примерами гильбертовых пространств являются пространство R2n со скалярным произведением

(x, y) 2 xk yk

ипространство L2 [a,b] со скалярным произведением

(x, y) b x(t) y(t) dt .

Задания для самостоятельного решения

1.Доказать непрерывность скалярного произведения.

2.Доказать, что в пространстве со скалярным произведением имеют место:

а) тождество параллелограмма

x y 2 x y 2 2(x 2 y 2 ) ;

б) тождество Апполония

z x

z y

x y

2 2

x y

2 .

в L2 [ 1,1] и

3. Провести процесс ортогонализации для функций 1, t, t 2 ,...

показать,

что

e1 (t) 1,

e2 (t) t,

e3 (t) t 2 1 ,

e4 (t) t 3

Эти

многочлены называются многочленами Лежандра.

2. Расстояние от точки до подпространства. Ряд Фурье

Пусть L

подпространство в

гильбертовом

пространстве H , x H ,

но

x L . Расстоянием от точки до подпространства L называется число

(x, L) inf

x u

Теорема

u L

Существует

единственный

элемент y L ,

реализующий

расстояние от точки x до подпространства L H

(x, L)

x y

при этом элемент x y

ортогонален пространству L .

Замечание.

Элемент

y L

называется

ортогональной

проекцией

элемента x на подпространство L .

Пусть

x H

k k 1

ортогональная

система

H .

Числа

(x, k )

(k 1,2,...)

называются коэффициентами

Фурье,

ряд

называется рядом Фурье элемента x по ортогональной системе k kn 1 .

ck k

k 1

Многочлен n

ck k называется многочленом Фурье элемента x .

k 1

Теорема

Пусть

система

k kn 1

ортогональна

H ,

подпространство, натянутое на функции 1 , 2 ,..., n . Тогда dn

(x, Ln ), x H ,

задается следующими формулами

x ck k

k 1

dn2

2 n

2 ,

k 1

где ck (k 1,2,...) - коэффициенты Фурье элемента x

по системе k k 1 .

Ортогональная система векторов k k 1 H называется полной, если ряд

Фурье, составленный для любого x H , сходится к x .

Полная ортогональная система называется ортогональным базисом пространства H .

Пример. Для функции et найти многочлены pn (t) степени n 0,1,2 такие, что норма et pn (t) минимальна в пространстве L2 [ 1,1] .

Решение. Согласно теореме 2 надо построить многочлены Фурье степени 0, 1, 2 для функции x(t) et . Вычислим коэффициенты Фурье функции x(t) ,

взяв в	качестве ортогональной системы			многочлены Лежандра
1 (t) 1, 2	(t) t, 3 (t) t 2	1	, которые ортогональны. Имеем p0 (t) c0 1 (t) , где
		3

				(x, )			1 1	1	(e e 1 ) .
		c0				1	2 1et dt
					1	2		2
					1	2		2
Следовательно,	p0 (t)	1	(e e 1 ) .				Построим
		2

Непосредственным вычислением находим, что

Таким образом,

p2 (t) c0 1 c1 t c2 (t 2 13)

c			(et , t)			3 1 t et			dt 3 .
c						3 1 t et			dt 3 .
1				(t, t)			2 1		e
				(t, t)			2 1		e
p1	(t) 1				(e e 1 ) 3 t .					Для
	2								e
вычислим c2 . Имеем
		(et , t 2					1)	15
c2							3		(e 7e 1 ) .
c2							2		(e 7e 1 ) .
				t 2	1		4
					3

p1 (t) c0 1 c1 t .

построения

Следовательно, p2 (t) 3 (e 10e 1 )	3 t	15 (e 7e 1 )t 2 .
4	e	4
Задания для самостоятельного решения
1. Показать, что в пространстве	R 2	расстояние от элемента x0 (1,0) до

подпространства L (0, ), R имеет вид U (0, ), [ 1,1] .

2.В пространстве R12 найти расстояние от элемента x0 (0,2) до подпространства L ( , ), R .

Найти,

при

каких значениях параметра

расстояние

от элемента

( ,1) до

подпространства

L (0, ), R в пространстве R32

не

превосходит ln 3 .

пространстве

C[0,1]

найти

расстояние

от

элемента

x(t) 1

до

подпространства

L y(t) C[0,1] : y(0) 0 .

Описать

множество

элементов наилучшего приближения.

В пространстве C[0,1] найти расстояние:

а)

от

элемента

x(t) t

до подпространства

многочленов нулевой

степени;

б)

от

элемента

x(t) t 2

до подпространства многочленов степени не

более 1.

В подпространствах а)

L2 [0,1] ;

б) L2 [ 1,1]

найти проекцию элемента

x(t) t 3

на подпространство многочленов

степени не более n , если

n 0,1,2 .

3. Линейные ограниченные операторы. Норма оператора


Пусть X и	Y -	линейные нормированные пространства. Отображение
A : D( A) X Y	называется линейным оператором,		если	D( A) - линейное
многообразие в пространстве X и для всех x, y D( A)			и скаляров , имеет
место соотношение		A( x y) Ax Ay . Множество		D( A)	называют
областью определения, а R( A) y Y :( x D( A))[y Ax])				-	множество

значений оператора A .

Оператор A : X Y называется непрерывным в точке x0 , если из того что

xn x0

X 0 при

n следует, что

Axn Ax0

Y 0 .

Если линейный

оператор непрерывен в любой точке пространства, то он

называется просто

непрерывным.

Линейный оператор A : X Y называется ограниченным, если существует

такая константа M 0 , что для всех

x X

X .

(1)

Теорема. Линейный оператор A : X Y непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

Нормой A оператора A называют наименьшую из констант, для которых выполнено условие (1).

Имеют место равенства

sup

x 0

X 1

замечание

Пример 1. Пусть - непрерывная на отрезке [a, b] функция. Рассмотрим отображение A : C[a, b] C[a, b] , определяемое соотношением

( Ax)(t) (t)x(t) .

Доказать, что A - линейный ограниченный оператор и найти его норму.

Решение. Линейность следует из соотношения

( A( x y))(t) (t)( x(t) y(t)) ( Ax)(t) ( Ay)(t) .

Покажем , что A - ограниченный оператор. Имеем

max

( Ax)(t)

max

(t)x(t)

C ,

t [a,b]

поэтому

C .

Рассмотрим функцию

x0 (t) 1. Очевидно, что

Докажем,

что

C 1 и

Ax0

C max

(t)

C . Таким образом,

C .

t [a,b]

Пример 2. Показать, что оператор A : l2 l2 , задаваемый для вектора x (x1 , x2 , x3 ,...) l2 соотношением

Ax ( x21 , 23x2 ,..., kkxk1 ,...)

линеен, ограничен в пространстве l2 , и найти его норму.

Решение. Линейность вытекает из правила сложения и умножения на число в пространстве l2 . Для доказательства ограниченности покажем оценку

(1), когда X Y l2 . Имеем

(

( Ax)k

)

l2 .

(2)

k 1

Следовательно,

1. Из

анализа

знака

неравенства видно,

что найти

элемент, на котором бы в (2) достигался знак равенства, не удается. Однако,

для любого 0 можно указать

такое n , что

1 . Тогда для

n 1

en (0,...,0,1,0,...) l2 имеем

Aen

(1 )

Поэтому A 1 .

Пример 3. Доказать непрерывность и найти норму оператора

	( Ax)(t) 1 t 2 sx(s)ds
		0
для	а) A : C[0,1] C[0,1] ,	б) A : L2 [0,1] C[0,1] .

Решение. Так как оператор линеен, то для доказательства непрерывности достаточно проверить его ограниченность.

В случае а) имеем оценку

max

t 2

sx(s)ds

x(s)

t [0,1]

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке новая папка 1

#
26.02.2023477.32 Кб1603886.pdf
#
26.02.2023334.47 Кб3603889.pdf
#
26.02.2023397.48 Кб0603891.pdf
#
26.02.2023610.59 Кб0603896.pdf
#
26.02.2023580.06 Кб0603897.pdf
#
26.02.2023334 Кб0603898.pdf
#
26.02.2023236.08 Кб0603899.pdf
#
26.02.2023282.33 Кб2603984.pdf
#
26.02.2023201.77 Кб1603985.pdf
#
26.02.2023347.4 Кб0604086.pdf
#
26.02.2023336.6 Кб0604087.pdf