новая папка 1 / 241597

ÓÄÊ 514.7(07) Ì 71

Рецензент - канд. физ.-мат. наук О.Д. Дячкин

M 71 Мишачев, Н.М.

Дифференциальная геометрия и тензорный анализ; задания к типовому расчету/Н.М.Мишачев,В.М.Тюрин - Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2013. - 16 с.

Настоящие задания составлены в соответствии с ФГОС-3 и предназначены для студентов второго курса специальности 010800 - ¾Механика и математическое моделирование¿, изуча- ющих курс ¾Дифференциальная геометрия и топология¿.

°c ФГБОУ ВПО "Липецкий государственный технический университет", 2013

Задания типового расчета предназначены для самостоятельной работы студентов, изучающих курс Дифференциальная геометрия и топология .

Задание 1

Построить плоскую кривую, заданную параметрически.

Задание 2

Нарисовать распадающуюся плоскую кривую f(x; y) = 0 и кривые f(x; y) = §" при малых ".

1. (x2 + 2x + y2 ¡ 3)(x ¡ y) = 0 2. (x2 + y2 ¡ 1)(x2 + y2 ¡ 4)x = 0 3. (y ¡ x3 + 3x)(x ¡ y) = 0

4. (x2 + 4y2 ¡ 1)(4x2 + y2 ¡ 1) = 0

5. (x ¡ 1)(x ¡ 2)(y ¡ 1)(y ¡ 2) = 0 6. (x2 + 2x + y2 + 2y ¡ 2)(x ¡ y) = 0

7. (x2 + y2 ¡ 1)(x2 + y2 ¡ 4)(x + y) = 0 8. (y3 ¡ 3y ¡ x)(x ¡ y) = 0

9. (x2 + 9y2 ¡ 1)(9x2 + y2 ¡ 1) = 0

10. (x + 1)(x + 2)(y + 1)(y + 2) = 0 11. (x2 + 4x + y2 + 4y ¡ 1)(x ¡ y) = 0

3

12. (x2 + y2 ¡ 1)(x2 + y2 ¡ 4)xy = 0 13. (y ¡ x2 + 4)(y ¡ 1)(y ¡ 2) = 0 14. (x2 ¡ y2)(x2 + 4y2 ¡ 1) = 0

15. (x ¡ y ¡ 1)(x ¡ y + 1)(x + y ¡ 1)(x + y + 1) = 0 16. (x2 ¡ y2 ¡ 1)(x2 + y2 ¡ 9) = 0

Задание 3

Найти кривизну плоской кривой, заданной параметрически.

Задание 4

Для параметрически заданной пространственной кривой найти: a) кривизну и кручение;

b) репер Френе в точке t = 1.

4

Задание 5

Вычислить первую и вторую квадратичные формы поверхности, заданной уравнением z = f(x; y).

Задание 6

Найти особые точки и вычислить первую и вторую квадратич- ные формы поверхности, заданной параметрически.

1. x = u + 1; y = v2; z = u + v + uv 2. x = u2 + 2; y = v; z = u + v ¡ uv 3. x = u + 3; y = v3; z = u + v + uv 4. x = u3 + 4; y = v; z = u + v ¡ uv 5. x = u3 + 5; y = v2; z = u + v + uv 6. x = u2 + 6; y = v3; z = u + v ¡ uv 7. x = u; y = v2 + 1; z = u + v + uv 8. x = u2; y = v + 2; z = u + v ¡ uv 9. x = u; y = v3 + 3; z = u + v + uv 10. x = u3; y = v + 4; z = u + v ¡ uv 11. x = u3; y = v2 + 5; z = u + v + uv 12. x = u2; y = v3 + 6; z = u + v ¡ uv 13. x = u; y = v2; z = u + v + uv

14. x = u2; y = v; z = u + v ¡ uv

5

15. x = u; y = v3; z = u + v + uv 16. x = u3; y = v; z = u + v ¡ uv

Задание 7

Поверхность задана параметрически. Найти:

a) уравнение касательной плоскости и нормали в точке r(0; 0);

b) первую и вторую квадратичные формы; c) гауссову и среднюю кривизны.

1. x = (1 + 4 cos u) cos v; y = (1 + 4 cos u) sin v; z = 4 sin u 2. x = (2 + 3 cos u) cos v; y = (2 + 3 cos u) sin v; z = 3 sin u 3. x = (1 + 2 cos u) cos v; y = (1 + 2 cos u) sin v; z = 2 sin u 4. x = (1 + 5 cos u) cos v; y = (1 + 5 cos u) sin v; z = 5 sin u 5. x = (3 + 2 cos u) cos v; y = (3 + 2 cos u) sin v; z = 2 sin u 6. x = (4 + 3 cos u) cos v; y = (4 + 3 cos u) sin v; z = 3 sin u 7. x = (5 + 2 cos u) cos v; y = (5 + 2 cos u) sin v; z = 4 sin u 8. x = (5 + 4 cos u) cos v; y = (5 + 4 cos u) sin v; z = 4 sin u 9. x = (1 ¡ 4 cos u) cos v; y = (1 ¡ 4 cos u) sin v; z = 4 sin u 10. x = (2 ¡ 3 cos u) cos v; y = (2 ¡ 3 cos u) sin v; z = 3 sin u 11. x = (1 ¡ 2 cos u) cos v; y = (1 ¡ 2 cos u) sin v; z = 2 sin u 12. x = (1 ¡ 5 cos u) cos v; y = (1 ¡ 5 cos u) sin v; z = 5 sin u 13. x = (3 ¡ 2 cos u) cos v; y = (3 ¡ 2 cos u) sin v; z = 2 sin u 14. x = (4 ¡ 3 cos u) cos v; y = (4 ¡ 3 cos u) sin v; z = 3 sin u 15. x = (5 ¡ 2 cos u) cos v; y = (5 ¡ 2 cos u) sin v; z = 4 sin u 16. x = (5 ¡ 4 cos u) cos v; y = (5 ¡ 4 cos u) sin v; z = 4 sin u

Задание 8

В базисе ~ej заданы векторы ~e10; ~e20; ~e30: Проверить, что они об- разуют базис в R3, найти координаты двойственного базиса ко-

векторов и найти координаты вектора x = (1; 2; 3)T в базисе ei0.

6

1. ~e10 = (1; 2; 3)T ;~e20 = (2; ¡2; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 2. ~e10 = (1; 1; 3)T ;~e20 = (3; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 3. ~e10 = (1; 1; 4)T ;~e20 = (4; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 4. ~e10 = (1; 1; 3)T ;~e20 = (3; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 5. ~e10 = (1; 1; 4)T ;~e20 = (4; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 6. ~e10 = (1; 1; 5)T ;~e20 = (4; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 7. ~e10 = (1; 1; 4)T ;~e20 = (5; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 8. ~e10 = (1; 1; 6)T ;~e20 = (5; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 9. ~e10 = (1; 1; 5)T ;~e20 = (6; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 10. ~e10 = (1; 1; 7)T ;~e20 = (6; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 11. ~e10 = (1; 1; 6)T ;~e20 = (7; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 12. ~e10 = (1; 1; 8)T ;~e20 = (7; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T :

13. ~e10 = (1; 1; ¡1)T ;~e20 = (2; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 14. ~e10 = (1; 1; 2)T ;~e20 = (¡1; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 15. ~e10 = (1; 1; ¡2)T ;~e20 = (2; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T : 16. ~e10 = (1; 1; 2)T ;~e20 = (¡2; ¡1; 0)T ;~e30 = (¡1; 1; 1)T :

7

Задание 10

Найти координаты тензора (векторы ~e1;~e2;~e3;~e4 образуют базис пространства R4).

1. (~e1 + ~e2) - (~e1 ¡ ~e2) :

2. (~e1 + ~e2) - (~e1 + ~e2 + ~e3) :

3. ~e1 - ~e3 + (~e1 + 2~e2) - (~e1 + ~e3) ¡ (~e1 ¡ ~e2) - (~e1 + ~e2) : 4. (~e1 ¡ ~e2) - (~e1 + 2~e2 ¡ ~e3) + (~e1 - ~e1) :

5. (~e1 ¡ ~e2) - (~e3 + ~e4) ¡ 2 (~e1 - ~e3) :

6. (~e1 + 2~e2) - (~e3 + ~e4) ¡ (~e1 ¡ 2~e2) - (~e3 ¡ ~e4) : 7. (~e1 ¡ ~e2) - (~e1 + 2~e2) + (~e1 ¡ ~e4) - ~e1:

8. (~e1 ¡ ~e2) - (2~e1 ¡ ~e2) + ~e3 - ~e4:

9. (2~e1 + 3~e2) - (~e1 ¡ ~e3) ¡ (~e1 ¡ ~e4) - ~e3:

10. ~e1 - ~e3 + (~e1 - ~e2) ¡ (~e1 ¡ 3~e4) - (~e3 + ~e4) : 11. ~e1 - ~e4 + (~e1 + 3~e4) - (~e1 ¡ ~e3) :

12. ~e1 - ~e3 ¡ (~e1 + 2~e2) - (~e1 + ~e2 ¡ ~e4) :

13. (~e1 ¡ ~e4) - (~e2 + 2~e3) ¡ (~e1 + ~e2) - (~e1 + ~e2) : 14. (~e1 ¡ 2~e3) - (~e2 ¡ ~e4) + 2 (~e1 - ~e4) :

8

15. (~e2 + 2~e3) - (~e1 ¡ 2~e2) ¡ (~e1 ¡ 3~e2) - (~e3 + 2~e4) : 16. ~e1 - ~e2 ¡ (~e1 + 2~e4) - (~e1 + ~e2 ¡ ~e4) :

9