Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого

Институт компьютерных наук и технологий

Высшая школа киберфизических систем и управления

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

Управление электроэнергетической системой

по дисциплине «Теория автоматического управления»

Выполнил

студент гр. <номер группы> И. О. Фамилия

Руководитель

доцент И. О. Фамилия

«___» __________ 202_г.

Санкт-Петербург

202_

СОДЕРЖАНИЕ

Задание 3

Составление уравнений 5

Модель «вход-состояние-выход» 8

Анализ качественных свойств объекта 10

Вывод 13

Задание

Структурная схема электроэнергетической системы, состоящей из тепловых станций с промежуточным перегревом пара, приведена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Схема электроэнергетической системы

Все переменные, представленные на схеме, отражают отклонения соответствующих величин в относительных единицах к их значениям в установившемся базовом режиме:

 – отклонение частоты в управляемой энергосистеме (выходная переменная);

– изменение активной нагрузки;

u – изменение задающего воздействия на регуляторы турбин (управляющее воздействие).

Параметры системы:

– постоянная времени первичных регуляторов турбин;

– постоянная времени, определяемая паровым объемом между паровпускными клапанами и первым рядом сопл турбины;

– постоянная времени промежуточного пароперегревателя;

c – доля мощности, соответствующая части высокого давления;

– постоянная инерции эквивалентного агрегата;

– коэффициент, определяющий регулирующий эффект нагрузки;

– статизм первичных регуляторов турбин.

Величины параметров определяются в соответствии с вариантом 3.

Составление уравнений

Чтобы составить уравнение сигналов, необходимо первым делом обозначить выходы блоков, содержащие переменную «p». Каждый выход будет обозначен буквой «x» с соответствующим индексом. Таким образом была получена схема, отображенная на рисунке 2.

Рисунок 2 – Обозначение выходов блоков

Далее по обозначенным выходам блоков необходимо составить уравнение сигналов. На схеме присутствует элемент, который называется «Сумматор» и обозначается кругом с крестом внутри. Данный элемент складывает все, поступающие в него, сигналы. Также, требуется знать, что входные сигналы умножаются на содержимое блока. Таким образом, была получена система уравнений, приведенная ниже:

Следующим шагом необходимо перенести все части уравнения, содержащие в себе переменную «p», в левую сторону. В результате чего получаем следующую систему уравнений:

После переноса в левой части образовались скобки. Раскроим их и получим такую систему уравнений:

Далее оставим в левой части переменную «p» и все, что на нее умножается. Результат такой операции стала система уравнений, приведенная ниже:

На данный момент в левой части уравнения находится произведение трех переменных «T», «p» и «x». Для дальнейшего перехода из области Лапласа во временную область, требуется оставить в левой части уравнения только 2 переменные: «p» и «x». Таким образом была получена следующая система уравнений:

Как упоминалось в предыдущем шаге, необходимо перейти из области Лапласа во временную область. Текущая система уравнений подходит для выполнения такой операции. Для понимания того, как будет осуществляться переход из одной области в другую, ниже приведена формула преобразования:

Выполним такое преобразование для получившийся системы уравнения. Также добавим все отсутствующие переменные «x» и входные сигналы, чтобы было проще в дальнейшем построить модель «вход-состояние-выход». В результате была получена следующая система уравнений:

Помимо вышеописанной системы уравнения, в схеме присутствует выходной сигнал, который также необходимо подробно описать:

Модель «вход-состояние-выход»

Модель «вход-состояние-выход» описывается следующей системой уравнений:

Ранее система уравнений была преобразована из области Лапласа во временную область, благодаря чему появляется возможность построить модель «вход-состояние-выход». Для начала обозначим вектора состояния для всех сигналов системы. В результате получим следующие вектора:

где – вектор управляющих воздействий

– вектор управляемой величины

– вектор состояний

Далее подставляем значения из выведенной ранее системы уравнений в модель. В результате получаем следующее уравнение матриц:

Таким образом были найдены матрицы «A», «B» и «C», которые приведены ниже:

Анализ качественных свойств объекта

Для того чтобы выполнить анализ качественных свойств, рассмотрим однородное матричное дифференциальное уравнение:

Из этого следует, что производная функции от момента времени будет равна экспоненте, возведенная в степень произведения матрицы на время, то есть будет действительна следующая формула:

где Е – это единичная матрица.

Чтобы было проще вычислять и анализировать значения матрицы, воспользуемся Жордановой формой матрицы. Такую матрицу принято обозначать буквой «J». Выглядит она следующим образом:

Стоит отметить, что Жорданова матрица является диагональной матрицей, на которой расположены значения, обозначаемые как « ». Именно эти значения являются собственными числами рассматриваемой матрицы «А». Проанализировав свойства Жордановой формы матриц, приводим экспоненту к следующему виду:

Такая матрица примет следующий вид:

Отсюда следует, что если все значения Жордановой матрицы являются отрицательными, то все экспоненты сходятся к нулю. Поэтому матрица и, следовательно, матрица будут стремиться к нулевой матрице. Для такой системы можно сделать вывод, что она является устойчивой.

Иначе, если хотя бы одна лямбда имеет положительное значение, то, соответствующая этому числу, экспонента будет стремиться к бесконечности. Следовательно, для такой системы можно сделать вывод, что она является неустойчивой.

Теперь найдем собственные числа матрицы «А», чтобы проанализировать электроэнергетическую систему, описанную ранее в задание. Для этого подставим величины параметров, в соответствии с вариантом 3. В результате получаем следующую матрицу «А»:

Для нахождения собственных чисел матрицы «А» воспользуемся сторонним приложением. Был выбран сайт wolframalpha. В результате получаем следующий вектор:

После того как были найдены собственные числа матрицы «А», выполним анализ качественных свойств. Так как среди найденных значений все числа меньше нуля, можно сделать вывод что система является устойчивой, потому что все экспоненты будут стремиться к нулю. Также стоит отметить, что найденные значения являются комплексными числами, следовательно в системе имеются колебания.

Вывод

В ходе выполнения курсовой работы была достигнута поставленная цель, а именно решение полученного задания, путем достижения следующих задач:

1. Проанализирована схема электроэнергетической системы;

2. Составлена система уравнений в области Лапласа;

3. Преобразована система уравнений во временную область;

4. Построена модель «вход-состояние-выход»

5. Найдены матрицы A, B и C;

6. Найдены собственные числа матрицы A;

7. Выполнен анализ качественных свойств объекта.

Можно сделать вывод, что рассматриваемая система является устойчивой, а также имеет колебания.

13