1 семестр / Funkcii_dvuh_i_treh__peremennyh_dlja_tipovogo__vveden_ostatochnyj_chlen_dlja_sajta1
.pdf
Решением системы являются стационарные точки
2. Вычисляем частные производные второго порядка в каждой из найденных
стационарных точек |
|
. Выражение для дифференциала второго |
|||||||||||
порядка функции |
|
имеет вид: |
|
|
|
||||||||
( ) |
|
|
( ) |
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
( |
) |
|
|
( ) |
|
|
( ) |
||||
|
|
|
|
||||||||||
Составляем матрицу
( )
с главными минорами
и |
| |
| |
|
|
|
|
( |
|
) и |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
3. Определяем является ли стационарная точка |
точкой максимума или |
||
минимума функции u=f(x,y,z). |
|
|
|
а) если |
, то |
- точка локального минимума. |
|
б) если |
, то |
|
- точка локального |
максимума. |
|
|
|
31
в) в остальных случаях стационарная точка |
- не является точкой |
|
экстремума, если |
|
. |
г) если |
, то необходимы дополнительные |
|
исследования. |
|
|
Пример 7. Найти и исследовать точки экстремума функции
1. Используя необходимые условия экстремума, находим стационарные точки :
{
{
Решением системы является стационарная точка
2. Вычисляем частные производные второго порядка в найденной стационарной точке
.
Выражение для второго дифференциала функции |
имеет вид: |
|
( |
) |
|
или |
( ) |
|
|
32 |
|
Составляем матрицу |
( |
) |
главными минорами, которой являются
и |
| |
| |
и |
| |
3. Определяем, является ли стационарная точка
точкой локального экстремума ( точкой максимума или минимума) функции u=f(x,y,z).
Так как |
|
|
|
, то |
- точка локального минимума. |
||
Ответ: точка |
|
|
|
|
|
|
является точкой минимума |
|
|
|
|
|
|
||
функции |
|
|
|
|
|
|
. |
33
34