Решение уравнений в частных производных гиперболического типа
..pdf
11
Условие (3') описывает начальную форму струны, условие (3") - исходное распределение скоростей. Функция G(x, t ) описывает внешнюю нагрузку, действующую на струну во время колебательного процесса.
Рассмотрим численное решение уравнения (1) методом конечных разностей, хотя при применении этого метода могут возникнуть проблемы с устойчивостью используемой разностной схемы. Зададим число точек
разбиения n для отрезка [0; l] и m для отрезка [0; tmax]. Тогда длины отрезков разбиения равны (h = l/(n - l) и ( τ= tmax/(m-l). Вторые производные
в уравнении (1) аппроксимируем по формуле центрированной разности
и |
|
|
|
(4,) |
|
|
|
|
|
u |
xx |
(x,t) = u(x + h,t) −2u(x,t) +u(x −h,t) |
+O(h2 ) |
(4,,) |
|
h2 |
|
|
Подставляя полученные выражения в уравнение (1), получим разностное уравнение
ui, j+1 −2ui, j +ui, j−1 |
= c2 |
ui+1, j +ui−1, j |
|
τ 2 |
h2 |
||
|
Обозначив r=cx / h, приводим это уравнение к виду
(5)
Вычислительная схема (5) устойчива при выполнении условия r ≤l . Существуют неявные схемы, более сложные, но устойчивые при любых значениях r [2].
Чтобы проводить расчет по уравнению (5), необходимо знать два начальных ряда, соответствующих t= 0 и t= τ. Ряд, соответствующий начальному моменту, задается с использованием функции
Ряд для t= τ задается с использованием функции
по формуле
(6)
Здесь s 1 =l - r 2 , r22= r2/ 2 . Формула (6) следует из разложения функции u(x,t) в ряд Тейлора с точностью до квадратичного члена в точке t = τ. Вторая производная аппроксимируется по формуле (4'). После вычисления первых двух рядов значения функции u(x,t) вычисляются по формуле (5).
12
3.2 Задание
Задание 1. Решить численно задачу (1) - (3) на единичном отрезке со следующими данными:
1. |
f (x) =(1/15)sin(11πx / 2)cos(4πx / 2), g(x) = 0 |
|||||||||||
Аналитическое решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
f (x) = (1/ 8)sin(3πx), g(x) = 0 |
|
|
|
|
|
||||||
Аналитическое решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
f (x) = 0, g(x) = (1/ 3)sin(5πx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналитическое решение: u(x,t) = (1/(15π))sin(5πt) cos(5πx) |
||||||||||||
4. |
f (x) = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналитическое решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1, |
|
x - |
|
|
|
|
p |
|
|
|
, |
|
3 |
|
|
2h |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5. |
f (x) = 0, g(x) = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0, |
|
x - |
|
|
|
f |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2h |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
Аналитическое решение: 
Задание 2. Сравнить с аналитическим решением. Ряды аппроксимировать конечной суммой.
Задание 3. Определить максимальное значение шага, при котором вычислительная схема устойчива.
Задание 4. Убедиться |
в неустойчивости схемы при задании |
шага больше максимального |
|
В файле hyperbolic |
приведен пример решения задачи. |
Также проведено сравнение полученного решения с точным теоретическим решением
3.3 Содержание отчета
По предложенной лабораторных работе необходимо составить отчет, который должен содержать:
− титульный лист;
14
−цель работы;
−краткие сведения из теории, содержащие расчетные формулы;
−результаты расчетов и экспериментов в виде таблиц и графиков;
−выводы по проведенной работе.
Список литературы
1.Джон Г.Мэтьюз, Куртис Д.Финк. Численные методы. Использование MATLAB. - М.: Вильямс, 2001. - 568 с
2.Самарский А.А., Гулин А.В.. Численные методы: учебное пособие для вузов. - М.: Наука, 1989.
3.Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. - СПб.: Изд-во
"Лань", 2009. - 688 с. 6-е изд., испр ISBN: 978-5-8114-0572-5 http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1 cid=25&pl1 id=281
4.Ушаков В. М. Методы математической физики: Курс лекций / В. М. Ушаков, Ю. В. Гриняев, С. В. Тимченко, Л. Л. Миньков. - 1-е изд. -
Томск : ТМЦ ДО, 2003. - 144 с.
5.Будак Б. М. Сборник задач по математической физике: Учебное пособие для вузов / Б. М. Будак, А. А. Самарский, А. Н. Тихонов.
4-е изд., испр. - М.: Физматлит, |
2004. |
- 688 с. |
http://e.lanbook.com/books/ element.php?pl1 cid=25&pl1 id=2122
6.Ильин А. М. Уравнения математической физики: Учебное пособие для вузов / А. М. Ильин. - 1-е изд. - М. : Физматлит, 2009. -192 с. - URL: http://e.lanbook.com/books/ element.php?pl1 cid=25&pl1 id=2181
7.Магазинников Л.И. Высшая математика III. Функции комплексного переменного. Ряды. Интегральные преобразования: Учебное пособие / Л. И. Магазинников. - 2-е изд. - Томск: ТМЦ ДО, 2002. URL: http://edu.tusur.ru/training/publications/2258
8.Емельянов В. М. Уравнения математической физики. Практикум по решению задач / Емельянов В. М., Рыбакина Е. А. - 1-е изд.
-М.: Лань, 2008. - 224 с. http://e.lanbook.com/books/element.php?pl1 cid=25&pl1 id=140
15
Учебное пособие
Гейко Павел Пантелеевич
Решение уравнений в частных производных гиперболического типа
Методические указания к лабораторной работе по дисциплине «Методы математической физики»
Усл. печ. л. ______Препринт Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г.Томск, пр.Ленина, 40