Курсовая
.pdf
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
2 |
|
− |
|
4 |
|
− |
и |
+ |
2 |
|
−и |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
{ 1 ( )} = |
|
и |
|
|
и |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
1( ) = |
2 |
− |
4 |
|
− |
и |
+ |
2 |
|
−и |
= |
|
2 |
|
(1 − 2 |
− |
и |
+ |
−и |
) |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Для |
полученияи |
спектральныхи и характеристики |
|
входного периодического |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
сигнала используем их связь со спектральными характеристиками входного одиночного импульса:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̇1 |
= |
2 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( )| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
где, |
|
|
|
|
|
|
; |
|
– |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
Фурье, используемых при |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
число гармоник |
|
|
|
ряда |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расчёте; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– частота первой гармоники. |
|
||||||||||||||||||||||
|
= 0,1,2 … , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 = 2 ⁄ = 2 ⁄12 = /6 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
− 2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
̇1 |
|
|
2 |
11 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= ( )|= |
6 |
= |
12 |
∙ |
(− |
2 |
|
|
|
|
[1 − 2 |
|
|
|
+ |
|
] = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
12 |
|
− |
|
|
|
|
|
36) |
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Амплитудный= |
|
дискретный2 2 [ спектр− 2 |
входного+ ] |
= |
периодического2 2 sin ( |
|
)сигнала. : |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
̇1 |
| |
= |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сигнала |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= | |
периодическогоsin ( ). |
|
|||||||||||||||||||||||||
Фазовый дискретный спектр входного |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Ф = − .
Учитывая, что = − 5 и применяя теорему о задержке, имеем следующее выражение для фазового спектра
11
Ф = Ф − |
|
∙ 5 = − |
|
. |
|
|
66
Запишем отрезок ряда Фурье, аппроксимирующий входное
периодическое воздействие при = 4: |
|
|||
1( ) ≈ 6 + 4,863 cos ( |
|
|
|
|
6 |
− 330°) + 0,54 cos ( |
2 |
− 630°). |
|
Графики амплитудного и фазового дискретных спектров приведены на рисунках 18 и 19 соответственно (штриховыми линиями показаны графики спектров одиночного импульса воздействия с учетом множителя 2/T).
Гришин И.Д. |
21 |
Рисунок 18 – Амплитудный дискретный спектр входного периодического сигнала
Рисунок 19 – Фазовый дискретный спектр входного периодического сигнала Ряд Фурье содержит постоянную составляющую (среднее значение – нулевую гармонику сигнала), значение которой можно проверить по графику
воздействия:
|
0 |
|
1 |
|
( ) = |
∆ |
|
12 ∙ 6 |
|
|
= ср = |
∫ 1 |
= |
= 6, |
|||||
2 |
|
|
0 |
22 |
12 |
||||
Гришин И.Д. |
|
|
|
|
|
|
|
||
где ∆ - площадь условного «первого импульса», а также содержит только нечетные гармоники, поскольку сигнал ( ) = 1( ) − ср , то есть без постоянной составляющей, обладает свойством ( ) = − ( ± /2).
На рисунке 20 приведены графики периодического воздействия
(штриховая линия) и его аппроксимация отрезком ряда Фурье (сплошная линия). Тонкими штриховыми линиями на обозначены составляющие,
соответствующие отдельным гармоникам отрезка ряда Фурье.
Рисунок 20 - Аппроксимация исходного сигнала отрезком ряда Фурье Сравнивая дискретный спектр с частотными характеристиками цепи
можно сделать вывод: постоянная составляющая сигнала пройдет на выход с коэффициентом 1/3 (поскольку АЧХ A(0) = 1/3) и в спектре реакции в полосу пропускания попадает только первая гармоника. Следовательно, искажения будут иметь место, но незначительные, так как мы ограничились лишь 4
гармониками, две из которых равны нулю, а амплитуды 1 и 3 гармоник отличаются примерно в 9 раз. Сигнал пройдет на выход с уменьшением амплитуды примерно в 3 раза.
Гришин И.Д. |
23 |
8. Вычисление ряда Фурье периодического выходного сигнала
и оценка прогноза
Запишем выражения для амплитудного и фазового дискретных спектров реакции при периодическом воздействии:
Полученные |
|
= |
∙ ( ); Ф = Ф |
+ Ф( ). |
|
в таблице 4. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
значения2 |
|
|
отсчётов1 |
дискретных1 2 |
спектров1 |
приведены1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
Ф( ), град |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф |
|
, град |
|
|
2 |
|
|
Ф |
, град |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
0 |
|
0 |
|
|
0.333 |
|
|
|
0 |
|
|
12 |
|
|
|
|
0 |
|
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
⁄6 |
|
|
0.295 |
|
|
|
-27.6 |
|
|
4.863 |
|
|
|
-330 |
|
|
1.436 |
|
|
-357.6 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
⁄3 |
|
|
0.23 |
|
|
|
-46.3 |
|
|
0 |
|
|
|
-300 |
|
|
0 |
|
|
-346.3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
⁄2 |
|
|
0.179 |
|
|
|
-57.5 |
|
|
0.54 |
|
|
|
-630 |
|
|
0.097 |
|
|
-687.5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0.144 |
|
|
|
-64.5 |
|
|
0 |
|
|
|
-600 |
|
|
0 |
|
|
-664.5 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отрезок ряда Фурье, аппроксимирующий реакцию, |
имеет вид: |
||||
4 2 ⁄3 |
|
||||
5( ) = 2 + 1,436 cos ( |
|
|
|
|
|
6 |
− 357,6°) + 0,097 cos ( |
2 |
− 687,5°). |
||
Графики амплитудного и фазового дискретных спектров реакции на периодическое воздействие приведены на рисунках 21 и 22 соответственно.
Рисунок 21 – Амплитудный дискретный спектр выходного периодического сигнала
Гришин И.Д. |
24 |
Рисунок 22 – Фазовый дискретный спектр выходного периодического сигнала
График реакции цепи при периодическом воздействии,
аппроксимированном отрезком ряда Фурье, приведён на рисунке 23.
Рисунок 23 - Аппроксимация выходного периодического сигнала отрезком ряда Фурье.
Штриховой линией на рисунке 23 обозначено периодическое воздействие, уменьшенное по амплитуде в 3 раза, сплошной линией – реакция,
Гришин И.Д. |
25 |
аппроксимированная отрезком ряда Фурье. Анализ приведенных на рисунке
23 графика подтверждает правильность прогнозов, сделанных в пп. 6,7, –
сигнал на выход проходит с искажениями.
Гришин И.Д. |
26 |
Заключение
Проделав курсовую работу, мы осуществили практическое освоение и сравнение различных методов расчёта цепей, прогноз ожидаемых реакций и оценку ожидаемых результатов.
Мы определили передаточную функцию цепи, частотные и временные характеристики цепи, исследовали реакцию цепи при воздействии одиночного импульса, исследовали установившуюся реакцию цепи при воздействии периодической последовательности.
По передаточной функции цепи мы определили, что имеем дело с фильтром нижних частот. Длительность переходных процессов составляет 3.
Частота среза фильтра равна 1.
Ширина спектра импульсного входного сигнала, определённая по 10%-
му критерию, ∆ [0; 99,5] . Сопоставляя спектры входного сигнала с частотными характеристиками цепи, можно установить, что большая часть амплитудного спектра входного сигнала укладывается в полосу интегрирования. Значит следует ожидать серьёзного искажения входного сигнала (сигнал проходит на выход с эффектом интегрирования).
Сравнивая дискретный спектр с частотными характеристиками цепи можно сделать вывод: постоянная составляющая сигнала пройдет на выход с коэффициентом 1/3 и в спектре реакции в полосу пропускания попадает только первая гармоника. Следовательно, искажения будут иметь место, но незначительные. Сигнал пройдет на выход с уменьшением амплитуды примерно в 3 раза.
Гришин И.Д. |
27 |
Список литературы
1.Бычков Ю.А., Золотницкий В.М., Чернышев Э.П. Основы теории электрических цепей: Учебник для вузов. СПб.: Лань, 2002.
2.Бычков Ю.А., Золотницкий В.М., Чернышев Э.П. Сборник задач и практикум по основам теории электрических цепей. 2-е изд.- СПб.: Питер,
2007.
3. Барков А.П., Бычков Ю.А., Дегтярев С.А. и др. Анализ электрических цепей. Учебное пособие к курсовой работе по электротехнике. СПб.:
СПбГЭТУ «ЛЭТИ».2011. – 176 с.
Гришин И.Д. |
28 |