ЧМ_2023
.pdf
28. Численное интегрирование. Априорная и апостериорная оценка погрешности. Правило Рунге оценки погрешностей.
Вычисление интеграла с заданной точностью по приведенным квадратурным формулам требует либо предварительного определения числа частичных интервалов, либо возможности оценки достигнутой точности (апостериорная оценка) при произвольном числе разбиений отрезка. Полученные выражения остаточных члоенв квадратных формул содержат производные подынтегральной функции в некоторых неизвестных точках отрезка интегрирования. С их помощью получают априорные оценки погрешности интегрирования вида: ( ) ≤ · · .
Определения шага на основании такой априорной оценки погрешности интегрирования часто оказывается невозможным из-за трудностей определения максимума производных подынтегральной функции. На практике применяют апостериорные оценки погрешности по правилу Рунге. Для этого априорные оценки погрешностей квадратурных формул
записывают, выделив явно главную часть погрешности, в виде ( ) = + ( +1), где A – коэффициент, зависящий от метода интегрирования и вида подынтегральной функции, p
– порядок метода. Вычисляют интеграл по одной и той же формуле дважды – с шагом h и kh (обычно k = 2).
приравнивают= + |
|
+ ( |
+1 |
), |
= + ( ) |
|
+ (( ) |
+1 |
) |
|||||||||||||
|
|
правые части соотношений и определяют главную часть погрешности по |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
первой формуле Рунге: |
|
− |
. Это – апостериорная оценка погрешности и, согласно |
|||||||||||||||||||
ей, |
ошибка |
более |
|
|
−1 |
|
|
|
|
раз меньше |
разности |
между двумя |
||||||||||
|
|
|
точного приближения в |
|
|
|||||||||||||||||
приближениями. Уточненное (уточненное по |
|
Ричардсону) значение интеграла определяется |
||||||||||||||||||||
|
− 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= + |
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
по |
второй |
формуле |
Рунге: |
|
|
|
|
|
− |
. |
Возможность |
апостериорно оценить |
||||||||||
погрешность позволяет вычислять интеграл с заданной точностью путем автоматического выбора шага интегрирования. Если на каком-то частичном отрезке не выполняется
|
| |
|
| |
неравенство: |
| |
0,5 ,− , |
| ≤ |
|
2 −1 |
||
|
| |
|
| |
ε
, то шаг на этом отрезке надо измельчить ещё в два раза и
−
снова оценить погрешность. Применение такого подхода приводит к адаптивным квадратурам, в которых уменьшается количество вычислений функции в узлах по сравнению с формулами с постоянным шагом за счёт выбора различного шага интегрирования в разных частях интервала в зависимости от поведения функции.
21
29. Постановка задачи численного дифференцирования. Простейшие формулы численного дифференцирования.
Задача численного дифференцирования состоит в приближенном вычислении значения производной функции = ( ) в некоторой точке *, по заданным в конечном числе точек (узлах сетки) значениям этой функции = ( ).
Рассмотрим несколько частных случаев интерполяционных многочленов степени n = 1, 2, 3.
На основе линейной – |
|
|
|
∆0 |
для ( 0 − δ, 1 + δ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
квадратичной – |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
на основе |
|
'( ) ≈ |
(∆ 0 + |
|
|
|
|
2 |
0) |
для |
( 0 |
− δ, 2 |
+ δ |
) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
'( ) ≈ |
|
|
2 ∆ |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 −1 |
|
2 |
|
|
|
|
−6 +2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
на основе кубической – |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
для |
|
|
|
) |
||||
'( ) ≈ |
(∆ 0 + |
|
|
|
|
0 |
+ |
|
|
6 |
|
|
0) |
( 0 |
− δ, 3 |
+ δ |
|||||||||||||
|
|
|
|
2 ∆ |
|
|
|
|
∆ |
|
|
||||||||||||||||||
В дальнейшем особый интерес представляют частные случаи формул, связывающие приближенные значения производной функции '( ) в узлах 0, 1, 2, 3 с узловыми
значениями этой самой функции.
При n = 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
'( 0) ≈ '0 |
= |
1− 0 |
– правая разностная производная функция |
( ) |
в точке |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
2) |
'( 1) ≈ '1 |
= |
1− 0 |
– левая разностная производная функция |
( ) |
в точке |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
При n = 2 получаем три формулы:
1)'( 0) ≈ '0 = 21 (− 3 0 + 4 1 − 2)
2)'( 1) ≈ '1 = 21 (− 0 + 2) – центральная разностная производная
3)'( 2) ≈ '3 = 21 ( 0 + 4 1 + 3 2)
При n = 3 получаем четыре формулы для вычисления первой производной:
1)'( 0) ≈ '0 = 61 (− 11 0 + 18 1 − 9 2 + 2 3)
2)'( 1) ≈ '1 = 61 (− 2 0 − 3 1 + 6 2 − 3)
3)'( 2) ≈ '2 = 61 ( 0 − 6 1 + 3 2 + 2 3)
4)'( 3) ≈ '3 = 61 (2 0 − 9 1 + 18 2 − 11 3)
Наиболее часто используется в приближениях простейшая аппроксимация второй
производной с |
помощью конечной |
разности второго |
порядка |
|
∆2 0 |
на |
промежутке |
||||
( 0 − δ, 2 + δ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
), |
получающийся при n |
= 2. В частности, |
в точке |
имеем приближенное |
|||||||
|
|
0−2 1+ 2 |
. Эти формулы |
|
|
|
|
|
|||
равенство |
|
|
используются |
при |
построении |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
конечно разностных методов решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных |
|
''( 1) ≈ ''1 = |
|
уравнений второго порядка.
22
30. Численное дифференцирование - формулы численного дифференцирования второго порядка точности.
Простейшая симметричная разностная производная. Запишем представление функции ( )
по формулам Тейлора в окрестности точки :
( ) = ( ) + '( )( − ) + 12 ''( )( − )2 + 16 '''(ξ)( − )3
Из этого разложения при = −1 и = +1 получаем соответственно:
( +1) = ( ) + '( ) + 12 ''( ) 2 + 16 '''(ξ +1) 3 и( −1) = ( ) − '( ) + 12 ''( ) 2 − 16 '''(ξ −1) 3
Выполнив почленное вычитание этих равенств, получаем:
− = 2 '( ) + 3 [( (ξ ) + (ξ )]
+1 6 +1 −1
откуда с помощью теоремы о среднем, примененной к сумме третьих производных в квадратных скобках, приходим к формуле симметричной аппроксимации '( ) с остаточным
членом:
+1− 2
где |
|
|
– некоторая точка из |
интервала ( |
2 |
. Эта формула означает, что аппроксимация |
|||||||
ξ |
|
'( ) = |
− |
6 |
(ξ ) |
|
|
|
|||||
|
|
|
−1, +1) |
|
|
|
|
|
+1− |
имеет |
|||
первой производной функции симметричной разностной производной |
|
|
|
||||||||||
'( ) ≈ 2 |
|
||||||||||||
второй порядок точности относительно шага |
− (2) |
. |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
31. Функции MATHEMATICA для интегрирования и символьного дифференцирования функций: Integrate [….], NIntegrate [….], D[….], f’[x].
1) Integrate[f, x] – дает неопределенный интеграл ∫
Integrate[f, {x, a, b}] – дает определенный интеграл ∫
Integrate[f, {x, a, b}, {y, c, d}] – дает кратный интеграл ∫ ∫ ...
2) NIntegrate[f, {x, a, b}] – даёт численное приближение к ∫
NIntegrate[f, {x, a, b}, {y, c, d}, …] – дает численное приближение к ∫ ∫ ...
3)D[f, x] – дает частную производную ∂ /∂
D[f, {x, n}] – дает кратную производную ∂ /∂
23
D[f, x, y, …] – дает частную производную (∂/∂ )(∂/∂ )
D[f, {x, n}, {y, m}, …] – даёт кратную частную производную (∂ /∂ )(∂ /∂ ) 4) f’ – производная функции одного аргумента
32. Численные методы решения задачи Коши для ОДУ. Основные характеристики: явность/неявность, многошаговость.
Рассмотрим задачу Коши для ОДУ первого порядка: требуется найти решение
дифференциального уравнения |
( ) |
= ( , ), [ 0, ] |
, удовлетворяющее начальному |
условию ( 0) = 0. |
|
|
В большинстве случаев интегрирование таких уравнений невозможно не только в элементарных функциях, но и в специальных. Рассмотрим численные методы, позволяющие вместо точного решения получить приближенное.
Введем по переменному X равномерную сетку ω с шагом h (h > 0), т.е. рассмотрим множество точек = 0 + , = 1, 2,..., . Точки называются узлами сетки. Введем сеточные функции = ( ), = ( ), = ( , ), определенные в узлах сетки ω . Функции , = ( , ) соответствует численному решению разностной задачи, а ( ) – решению дифференциальной.
Численное решение задачи состоит в построении таблицы значений 1, 2, ..., решения уравнения ( ) в точках 1, 2, ..., . С этой целью дифференциальное уравнение заменяют некоторым разностным +1 = Ф( , +1, ,..., −+1), которое необходимо решить на каждом шаге для нахождения +1. Выбор функции Ф определяет метод численного решения дифференциального уравнения. Если она не зависит от +1, то получают явный метод и в противном случае - неявный.
Метод, дающий формулу для вычисления |
|
по М-предыдущим значениям |
||
|
, называется M-шаговым. |
Существует+1 |
две группы численных методов |
|
, −1,..., −+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решения задачи Коши: одношаговые (или методы Рунге-Кутта) и многошаговые разностные методы.
33. Метод Эйлера, метод Эйлера-Коши численного решения задачи Коши для ОДУ первого порядка.
Вычисление +1 явным образом по рекуррентной формуле +1 = + · ( , )
называется методом Эйлера для решения задачи Коши для ОДУ – одношаговый метод, явная схема, неустойчив, первый порядок точности.
24
Метод Эйлера - Коши. В этом методе первую половину шага совершают с тангенсом угла наклона касательном в предыдущей точке, а вторую половину шага - с тангенсом угла наклона в последующей точке.
= + ( ( , ) + ( , )).
+1 2 +1 +1
Метод Эйлера-Коши является неявным.
34. Методы Рунге-Кутты численного решения задачи Коши для ОДУ первого порядка.
Идея методов основана на вычислении приближенного решения +1 в узле +1 в виде линейной комбинации с постоянными коэффициентами , β , γ значений функции в промежуточных точках:
+1 = + [ 1 ( , ) + 2 ( + β1 , + β2 1) + 3 ( + γ1 , + γ2 2) +...]
1 = ( , ), 2 = ( + β1 , + β2 1), 3 = ( + γ1 , + γ2 2),...
Коэффициенты подбирают таким образом, чтобы достичь максимального совпадения с
разложением решения в ряд Тейлора по степеням h. В зависимости от старшей степени , с которой учитываются члены ряда, получают разностные схемы разных порядков точности.
Метод Эйлера соответствует случаю p=1. Наиболее известные методы второго порядка (p=2)
– метод Эйлера – Коши и модифицированный метод Эйлера.
35. Многошаговые методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка.
Многошаговый метод Адамса (4-шаговый) - для расчета последующей точки необходимо знать координаты четырех предыдущих точек:
+1 = + |
24 |
(55 ( , ) − 59 ( −1, −1) + 37 ( −2, −2) − 9 ( −3, −3)) |
В задаче Коши известна только одна начальная точка. Поэтому три последующие точки вычисляются с помощью одношаговых методов, а затем используется 4-шаговых метод Адамса. Данный метод является явным, имеет 4-ый порядок точности.
36. Численные методы решения задачи Коши для ОДУ высших порядков.
Любое дифференциального уравнение высшего порядка можно привести к системе дифференциальных уравнений 1-ого порядка путем замены переменных. Рассмотрим дифференциальное уравнение 2-ого порядка ( , , ', '') = 0. Заданы начальные условия0, 0, '0. Разрешим уравнение относительно старшей производной: '' = ( , , '). Заменим
первую производную y’ функцией z. Тогда y’’ = z’, а '0 = 0. Получаем систему и решаем её известными методами.
25
37. Численные методы решения задачи Коши для систем ОДУ.
Рассмотрим систему из двух дифференциальных уравнений 1-ого порядка:
С известными начальными условиями 0, 0, 0. Оба уравнения необходимо разрешить относительно старшей производной:
Теперь систему можно решить любым методом применимым для решения ОДУ первого порядка (метод Эйлера (слева), Эйлера-Коши (справа)).
38. Функции MATHEMATICA для решения задачи Коши для ОДУ: DSolve[….], DSolve[….], NDSolve[….]
1)DSolve[eqn, y, x] – решает ДУ с функцией y и независимой переменной x;
2)DSolve[eqn, y, {x, x1, x2}] – то же при x в интервале от x1 до x2.
3)NDSolve[eqn, y, {x, x1, x2}] – находит численное решение ДУ при x в интервале [x1, x2]
26