билеты под шпоры
.docxЗакон распределения вероятностей двумерной дискретной с.в.
Рассмотрим дискретную двумерную с.в. (X,Y), которая может принимать значения . Тогда закон распределения вероятностей указывает совместную вероятность каждой возможной пары значений:
Причем
Доверительный интервал для параметра биноминального определения
Точечная оценка параметра:
Интервальная оценка:
16
Схема Бернулли
Схема Бернулли – это последовательность n однородных независимых испытаний, каждое из которых может иметь только два исхода: событие и причем
Наступление события A называется успехом в схеме Бернулли.
Например: подбрасывание игральной кости n раз, событие А={выпадение 3 очков}, событие
Медиана распределения
Медиана случайной величины X – есть такое ее значение , для которого одинаково вероятно, окажется ли с.в. X меньше или больше , т.е.
Совместная функция распределения многомерной с.в.
С.Ф.Р. двумерной с.в. ( X ,Y ) (или двумерной функцией распределения случайного вектора) называется функция:
Уровень значимости при интервальном оценивании
Перед проверкой гипотезы фиксируется некоторая малая вероятность ошибки первого рода α, называемая уровнем значимости критерия.
Уровень значимости α определяет «размер» критической области.
При интервальном оценивании указывается интервал, в который с заданной вероятностью попадает параметр.
Обычно
Этот интервал называется доверительным интервалом, а вероятность называется доверительной вероятностью, величина – уровнем значимости оценки.
14
Аксиоматическое определение вероятности
Числовая функция P(A), определенная на алгебре событий U называется вероятностью, если выполняются аксиомы:
1. Неотрицательность:
2. Нормированность:
3. Аддитивность:
4. Непрерывность: для любой убывающей последовательности событий такой, что выполняется:
Мода распределения
Мода д.с.в. X – это ее наиболее вероятное значение
Мода н.с.в. X с плотностью – это ее значение , при котором функция достигает максимума.
Дисперсия функции от случайной величины
Дискретная
где
Непрерывная
Метод максимального правдоподобия
Идея: найти максимум функции правдоподобия, т.е. подобрать такие значения параметров распределения, при которых выборка наиболее правдоподобна. Имеет вид:
где – выборка, – предлагаемая плотность или закон распределения с.в.
Ищем максимум функции правдоподобия:
13
Независимые события
P(A|B) = P(A) – события независимы, т.е. наступление одного не изменит вероятность наступления другого
Математическое ожидание дискретной с.в.
М.О.Д. с.в. X с законом распределения называется число
если этот ряд абсолютно сходится
Плотность распределения функции от случайной величины
Интервальное оценивание
При интервальном оценивании указывается интервал, в который с заданной вероятностью попадает параметр.
Обычно
Этот интервал называется доверительным интервалом, а вероятность называется доверительной вероятностью, величина – уровнем значимости оценки.
11
Свойства вероятности
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Функция распределения вероятностей
Функцией распределения вероятностей с.в. X называется функция
Функция распределения может быть построена как для дискретных, так и для непрерывных с.в. и полностью характеризует с.в. с вероятностной точки зрения.
Математическое ожидание функции от случайной величины
Для нахождения математического ожидания и дисперсии с.в. , можно воспользоваться формулами
Метод моментов
Идея: приравнивание теоретических и выборочных моментов.
Если необходимо оценить параметров получим систему:
Или можно рассматривать не центральные моменты:
9
Статистическое определение вероятности
Вероятностью случайного события A называется число, к которому стремиться относительная частота появления события в серии из n однородных независимых испытаний при бесконечно большом числе испытаний:
Непрерывная случайная величина
Непрерывная случайная величина – это случайная величина, множество возможных значений которой несчётно.
Если же множество значений с.в. X заполняет (непрерывно)конечный или бесконечный промежуток на числовой оси, то такая случайная величина называется непрерывной.
Дисперсия двумерной непрерывной с.в.
Если (X,Y) – система непрерывных случайных величин
Несмещенность точечной оценки
Оценка параметра называется несмещенной, если она в среднем совпадает с , т.е.
Если , то оценка называется смещенной.
Если , то оценка называется асимптотически несмещенной. Требование несмещенности важно при небольшом числе испытаний.
8
Классическое и геометрическое определение вероятности
Классическое: Вероятностью случайного события A называется отношение числа m равновозможных исходов, благоприятствующих A к общему числу исходов n.
Геометрическое: Вероятностью случайного события A называется отношение меры области, благоприятствующей A , к мере пространства Ω :
mes(A) – длина, площадь, объем и т.д.
Правило «трех сигм»
Т.е. Все значения нормально распределенной с.в. лежат в интервале
Математическое ожидание двумерной дискретной с.в.
Выборочные квантили
15(6)
Правило умножения вероятностей
X – дискретная случайная величина,
Плотность распределения многомерной с.в.
Называется функция , т.ч.
Таким образом (НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО *наверное*)
Полигон частот
Графическое изображения статистического ряда – полигон частот.
27
Аксиоматическое определение вероятностей
Числовая функция P(A), определенная на алгебре событий U называется вероятностью, если выполняются аксиомы:
1. Неотрицательность:
2. Нормированность:
3. Аддитивность:
4. Непрерывность: для любой убывающей последовательности событий такой, что выполняется:
Экспоненциальное распределение
Моделирует время между двумя последовательными совершениями одного и того же события:
Свойства ковариации
Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения нормального рпспределения при неизвестном математическом ожидании
Где n – объем выборки, является квантилями - распределения, определяемые по таблице квантилей
5
Сумма, разность и произведение случайных событий.
Суммой событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одному из событий A или B (A+B).
Разностью событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих A, но не принадлежащих B (A|B).
Произведением событий A и B называется событие, состоящее из всех элементарных событий принадлежащих одновременно событиям A и B (AB).
Квантиль
Квантилью уровня с.в. X называется решение уравнения:
Если – не единственно, то
Независимость случайных величин
C.в. называются независимыми, если
Дискретные с.в. независимы тогда и только тогда, когда
Непрерывные с.в. независимы тогда и только тогда, когда
Статистическая оценка
Выборочные характеристики являются статистическими оценками теоретических числовых характеристик: выборочное среднее, выборочная дисперсия, несмещенная выборочная дисперсия, выборочное среднеквадратическое отклонение, выборочные квантили, выборочная ковариация, выборочный коэффицент корреляции, выборочная мода.
28
Неравенство Маркова
Если с.в. X принимает неотрицательные значения, то справедливо:
Или
Равномерное распределение
Если нет информации о наиболее или наименее вероятных значениях с.в., то она полагается равномерно распределенной с плотностью распределения:
Свойства коэффициента корреляции
Свойства
Если с.в. независимы, то
Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения нормального рпспределения при известном математическом ожидании
3
Пространство элементарных событий.
Множество всех возможных взаимоисключающих элементарных исходов данного пространством элементарных событий и обозначается возможных данного
взаимоисключающих опыта называется
ω Ω={ωi}
X – непрерывная случайная величина,
Закон распределения вероятностей двумерной дискретной с.в.
Рассмотрим дискретную двумерную с.в. (X,Y), которая может принимать значения . Тогда закон распределения вероятностей указывает совместную вероятность каждой возможной пары значений:
Причем
Эмпирическая функция распределения.
Это функция равная доле таких значений , что
Является оценкой теоретической функции распределения.
30
Неравенство Чебышева
Если с.в. имеет конечную дисперсию, то справедливо:
Или
Нормальное распределение
Функция распределения стандартного нормального закона имеет вид:
В общем случае:
Математическое ожидание двумерной с.в.
Эффективность оценки
Несмещенная оценка параметра называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок параметра .
Т.е. оценка эффективна, если ее дисперсия минимальна
Эффективную оценку можно найти в ряде случаев, используя неравенство Рао-Крамера:
2
Полная группа событий
Полной группой событий вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно и только одно из них. (пример: противоположные события, несовместные события, сумма вероятностей которых равна 1)
Плотность распределения вероятностей
П.Р.В. непрерывной случайной величины (X,Y) называется функция , т.ч.
или
Таким образом
Многомерная случайная величина
Многомерная случайная величина – число наступлений каждого из возможных исходов в данной схеме имеет полиномиальное
распределение с законом:
Выборочное среднее
Для группированных данных: