контрольная работаВ1
.pdf
B1
1.Установить, верно ли, что последовательность функций ( ) → 0 относительно:
а) метрики 0; б) метрики 1:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = |
( 2 ) |
|
|
на [0; π] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Решение |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
|
| |
( 2 ) |
| |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
а) |
|
lim |
|
|
0 |
|
= |
lim |
[0, π] |
( ) |
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
[0; π] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|| ( )|| |
|
[0, π]| |
|
|
| = |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 → ∞ |
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
0 |
| |
|
|
|
| |
||||||||
= |
lim |
|
= |
0 ( ) сходится к нулю относительно метрики |
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
→ ∞ |
|
lim |
|| ( )|| 1[0; π] |
= |
lim |
[0, π] |
( ) |
| |
+ [0, π] |
| |
'( ) |
|) |
= |
|
||||||||||||||||||||
|
б) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
→ ∞ |
( 2 ) |
| |
|
→ ∞ |
( |
2 ( 2|) |
| |
|
|
|
|
( |
|
1 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
lim |
[0, π]| |
|
|
| + [0, π]|− |
|
|
|
|
| = |
|
|
lim |
|
|
+ |
= ∞ ( ) не |
||||||||||||||||||
|
→ ∞ |
|
|
| |
|
|
| |
|
| |
|
1 |
. |
|
|
|
| |
) |
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
сходится( к нулю относительно метрики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: а) да; б) нет.
2. Найти вариацию функционала:
1
( ) = ∫ 3
0
Решение Найдем сначала вариацию функционала ( ), воспользовавшись первым
определением (слабую вариацию): |
|
1 |
|
||||||
δ ( , ) = |
|
( + )| =0 = |
|
|
∫ ( ( ) + ( ))3 | =0 = |
||||
|
( |
1 |
|
|
|
|
0 |
1 |
|
= |
|
|
|
|
) |
| =0 |
= ∫0 3 ( ) 2( ) ) |
||
|
∫0 3 ( )( ( ) + ( ))2 ( |
|
|||||||
Теперь воспользуемся вторым определением и найдем вариацию как линейную часть приращения функционала в точке (сильную вариацию). Зададим приращение аргумента функционала - произвольную непрерывно дифференцируемую функцию( ): (0) = (1) = 0, и вычислим приращение
|
|
1 |
1 |
|
∆ = ( + ) − ( ) = ∫ ( + )3 − ∫ 3 = |
||
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
||
= ∫ ( 3 + 3 2 + 3 2 + 3) − ∫ 3 = ∫ 3 2 + ∫ (3 2 + 3)
0 |
0 |
0 |
0 |
Линейная относительно часть приращения - первое слагаемое последнего равенства - и есть искомая (сильная) вариация
1
( , ) = ∫ 3 2( ) ( ) ,
0
которая в данном случае совпадает с полученной ранее (слабой) вариацией δ ( , ).
Ответ: ( , ) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
δ ( , ) = ∫ 3 2( ) ( ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. Найти экстремаль функционала: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = ∫( + ) , |
(0) = |
π2 |
, (1) = |
π4 |
|||||||||||||||
Решение |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , , ') = + , |
' = 0, |
=− + |
||||||||||||||||||
Уравнение Эйлера для функционала в исследуемой задаче имеет вид: |
||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
|
' =− + = 0 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение уравнения Эйлера: |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Проверим выполнение условий (0) = |
π2 |
, (1) = |
π4 |
: |
|
|
|
|||||||||||||
|
(0) = 0 |
= |
π2 |
, (1) |
= 1 = |
π4 |
− |
верно |
||||||||||||
Таким образом, функция ( ) |
= является экстремалью задачи. |
|||||||||||||||||||
Ответ: ( ) = . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Найти экстремаль функционала: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( , ) = ∫ |
2 − '2 |
, |
(0) = 0, |
(1) = |
51 |
, (0) = 2, (1) = 3, |
||||||||||||||
|
0 ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при условии ' − + 2 = 0. |
2 − '2, |
Ф( , , , ', ') = |
' |
− + 2 |
||||||||||||||||
Решение |
( , , , ', ') = |
|||||||||||||||||||
Введем вспомогательный функционал |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ( , , , ', ') + |
λ( )Ф( , , , ', ') = |
||||||||
( , ) = ∫ ( , , , ', ') , где ( , , , ', ') |
||||||||||||||||||||
0
|
|
|
|
|
|
= 2 − '2 + λ( ' − + 2) |
|
||||||||||
Система уравнений Эйлера будет иметь вид: |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
' |
= 2 − λ' = 0 |
|
||||||
− |
|
' =− λ − |
|
(− 2 ')' =− λ + |
2 '' = 0 |
||||||||||||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
+ 1, 1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
λ( ) = ∫ 2 = 2 |
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|||||||||
'' = |
2λ |
= |
2 |
+ , '( ) = ∫ |
2 |
+ = |
6 |
+ 1 + 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
( ) = ∫( |
|
63 |
+ 1 + 2) ( = |
24 |
)+ 1 2 + 2 + 3 |
||||||||||||
' − + 2 = 0 ( ) = ∫( − 2) = ∫(244 + 1 2 + 2 + 3 − 2) =
|
|
|
|
|
5 |
|
|
1 3 |
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
120 |
+ |
3 |
+ |
|
2 |
|
+ 3 − 2 + 4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Неопределенные константы найдем из условий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
(0) = 0, |
(1) |
= |
|
51 |
, |
|
(0) = 2, |
(1) = 3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) = 3 = 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) = 4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
(1) = |
241 |
+ 1 |
+ 2 + 2 = 3 |
|
[1] |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
(1) = |
1201 |
+ |
|
3 |
+ |
2 |
|
|
= |
|
51 |
|
[2] |
|
|
|
|
|
||||||||||
[1] − 2 · [2]: |
241 |
|
+ 1 |
+ 2 + 2 − |
601 |
|
− |
|
2 1 |
|
− 2 |
= 3 − |
52 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
3 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
72−5+2 |
|
|
|
|
69 |
|
|
23 |
|
|
|
|
69 |
|
|||||||||
3 |
= |
5 |
− |
24 |
+ |
60 |
= |
120 |
|
|
= |
|
|
120 |
= |
40 |
|
1 |
= |
40 |
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
23 |
|
|
69 |
|
|
|
115−207 |
|
92 |
|
23 |
|
|||||||||||
2 = 1 − |
24 |
− 1 |
= |
24 |
− |
40 |
|
= |
|
|
120 |
|
=− |
120 |
=− |
30 |
||||||||||||||||
Итого,
5
( ) = 120
|
1 3 |
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
2 |
|
|||||||
+ |
3 |
+ |
|
2 |
+ 3 −5 |
2 + 3 |
4 = |
1202 |
+ |
693·40 |
− |
232·30 |
+ 2 − 2 = |
||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
+ |
23 |
− |
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
120 |
40 |
|
460 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
( ) = |
24 |
+ 1 2 + 2 + 3 = |
24 |
+ |
6940 |
|
− |
2330 |
+ 2 |
||||||||||||||
Ответ: ( ) = |
5 |
+ |
|
3 |
− |
|
2 |
; |
( ) = |
4 |
+ |
|
2 |
− |
|
+ 2. |
120 |
2340 |
|
2360 |
|
24 |
6940 |
|
2330 |