2 курс ОАУ(ТАУ) [препод. Петунин В.И.] / Лекции / 5 (1)

основе известных соотношений. Например, если случайные процессы

где ki (t) – импульсные переходные характеристики.

Зная корреляционную функцию Rx (τ) , можно определить

следующие статистические характеристики случайной регулируемой величины:

среднее значение регулируемой величины

среднее квадратическое отклонение регулируемой величины

корреляция отсутствует, то

После того как будет определена, например, спектральная плотность Sx (ω) регулируемой величины, среднее значение квадрата

регулируемой величины может быть найдено по формуле

117

При расчетах систем автоматического управления часто интересуются динамической точностью системы, которая при стационарных случайных воздействиях определяется средним значением квадрата случайной ошибки системы, равной

Разумеется, статистические характеристики случайной ошибки

используя формулы, аналогичные (5.1) – (5.4), однако в практических расчетах чаще всего пользуются формулой (5.7), которая быстрее и проще приводит к цели. Входящую в (5.7) спектральную плотность

коррелированных полезном сигнале и помехе вычисляют по формуле

118

части разомкнутой системы между точкой приложения помехи и выходом системы.

При отсутствии корреляции между полезным сигналом и помехой их взаимные спектральные плотности равны нулю и выражение для спектральной плотности ошибки упрощается:

состоит из отдельных составляющих, определяемых слагаемыми

(5.9), т. е.

затем суммируют все составляющие ошибки в соответствии с (5.11). В частном случае, когда помеха действует на входе в месте

приложения управляющего воздействия (рис. 5.4) и корреляция между полезным сигналом и помехой отсутствует, (5.10) можно записать в виде

Рис. 5.4

Заметим, что (5.9), (5.10) и (5.12) для спектральной плотности ошибки Sε (ω) могут быть легко переписаны для спектральной

плотности регулируемой величины Sx (ω) , если в них заменить

119

Чтобы найти среднее значение квадрата ошибки системы при случайных воздействиях, необходимо, зная спектральную плотность

интеграла довольно сложно, поэтому на практике его выполняют двояко: либо аналитическим методом с помощью табличных интегралов, либо методом графоаналитического интегрирования.

5.4. Статистическая линеаризация нелинейных элементов

Нелинейные элементы в общем случае вызывают искажение входного случайного сигнала. В нелинейных системах принцип суперпозиции неприменим, поэтому при одновременном воздействии на систему, например, полезного регулярного сигнала и случайной помехи из-за нелинейного преобразования этих сигналов помеха может значительно уменьшить эффект действия полезного сигнала.

Исследование нелинейных систем, находящихся под воздействием случайных процессов, значительно сложнее, чем линейных систем. Общих точных методов исследования подобных систем нет, и для изучения систем в этом случае обычно используют приближенные методы.

Наибольшее распространение в практике расчета нелинейных систем при случайных воздействиях получил приближенный метод,

называемый методом статистической линеаризации. Этот метод был разработан в 1954 г. одновременно И. Е. Казаковым в СССР и Р. Бутоном в США.

Идея метода основана на приближенной замене нелинейных преобразований процессов, происходящих в системе, статистически эквивалентными им линейными преобразованиями, при этом нелинейный элемент заменяется статистически эквивалентным линейным элементом. В результате такой замены система в целом линеаризуется и для ее исследования можно применять аппарат линейной теории.

Возможны различные критерии статистической эквивалентности, которые могут быть положены в основу метода статистической линеаризации. В тех случаях, когда линеаризуют

120

безынерционный нелинейный элемент, у которого нелинейная зависимость между входным y(t) и выходным x(t) сигналами имеет

применяют следующие два критерия:

1.Критерий равенства математического ожидания и дисперсии случайного процесса на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного элемента.

2.Критерий минимума математического ожидания квадрата разности случайных процессов на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного элемента.

Познакомимся с этими критериями, ограничиваясь рассмотрением только однозначных нелинейных характеристик, которые могут быть либо нечетными, либо четными.

Напомним, что для нечетных и четных характеристик соответственно справедливы соотношения

составляющие процессов на входе и выходе нелинейного элемента соответственно.

Заметим, что для четных нелинейных характеристик, обладающих выпрямляющими свойствами, математическое ожидание mx (t) отлично от нуля даже при my (t) = 0.

В общем случае для однозначной нелинейной функции ( y)

121

случайной центрированной составляющей.

Таким образом, в общем случае нелинейный безынерционный элемент (рис. 5.5, а) заменяют двумя безынерционными элементами: нелинейным по математическому ожиданию и линейным по случайной центрированной составляющей (рис. 5.5, б).

Рис. 5.5

Рис. 5.6

В частном случае, когда нелинейный безынерционный элемент

где k0 – эквивалентный статистический коэффициент усиления

нелинейного элемента по математическому ожиданию (по средней составляющей).

122

В этом случае нелинейный элемент можно эквивалентно заменить двумя линейными элементами с коэффициентами усиления

заданной нелинейной зависимости определяются значениями

математического ожидания и дисперсии случайного сигнала на входе нелинейного элемента.

случае статистической линеаризации, основанной на первом критерии статистической эквивалентности, состоящем в выполнении равенства математического ожидания и дисперсии случайного процесса на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейного элемента, т. е. когда

выразить через нелинейную зависимость и плотность вероятности w( y) случайного сигнала Y (t) на входе нелинейного элемента:

123

Второй критерий статистической эквивалентности требует выполнения условия минимума математического ожидания квадрата разности процессов на выходе нелинейного элемента и эквивалентного линейного элемента, т. е.

После выполнения операции возведения в квадрат и вычисления математического ожидания имеем

приравняем нулю частные производные функции ε 2 по параметрам

(5.19) получаем следующее выражение для коэффициента k0 :

124

определенное из второго критерия по (5.32), – несколько заниженным, поэтому при расчетах рекомендуется брать их среднеарифметическое значение, т. е.

Сравнивая полученные выражения, видим, что коэффициенты0 и k0 получаются одинаковыми при статистической линеаризации

как по первому критерию, так и по второму.

Из (5.25), (5.26), (9.27) и (5.33) видно, что статистически эквивалентные коэффициенты усиления зависят не только от вида

При использовании метода статистической линеаризации приближенно полагают, что закон распределения случайного процесса является нормальным. Такое предположение можно сделать потому, что при прохождении случайного сигнала с любым законом распределения через линейные инерционные звенья на выходе

125

последних закон распределения случайного сигнала оказывается близким к нормальному. При этом, чем инерционнее система, тем закон распределения случайного сигнала на ее выходе ближе к нормальному. Наличие нелинейного элемента в системе нарушает это, однако при достаточно узкой полосе пропускания линейной части системы имеется тенденция к восстановлению нормального закона распределения.

При нормальном законе распределения плотность вероятности однозначно определяется математическим ожиданием и дисперсией случайного процесса, поэтому в этом случае коэффициенты k0 и k1

будут лишь функциями математического ожидания my и дисперсии Dy входного сигнала, т. е.

пунктирными линиями.

Формулы (5.25), (5.26), (9.27) и (5.33) при нормальном законе распределения будут иметь вид:

полученное выражение с (5.39), то можно убедиться в выполнении следующего равенства:

126