Мат. анализ, 1 часть; 1 семестр(1)

2

3

x2

2x 3

1

1

x

x2

.

lim

lim

1

1

x 2x2 x 1

x

2

2

x

x2

1

0 и

1

0 при x

x2

x

Пусть lim f (x) a 0. Положим

|a|

.

x *

2

|a|

( ):

( )

| f (x) a|

По определению предела, u

x u

2

Раскрывая модуль, получим:

a

|a|

f (x) a

|a|

2

2

Следствие. Если f (x) 0

( ) и существует

в некоторой окрестности u

lim f (x) a , то a 0.

x *

которой f (x) 0, что противоречит условию

следовало бы, что u 1(*), внутри

(существованию окрестности, в которой

f (x) 0).

Рис. 3 иллюстрирует данное следствие для случая x0 .

Теорема (о переходе к пределу в неравенстве). Пусть в некоторой окрестности

f (x) g(x), и пусть существуют пределы функций f (x)

u ( ) выполняется неравенство

и g(x) при x *: lim f (x) a ,

limg(x) b.

x *

x *

1

n

Пример. Известно, что lim 1

e отсюда следует, что

n

n

1 kn

k

1 n

lim 1

e

. При этом роль внутренней функции играет y f (n) 1

, а роль

n

n

n

внешней функции

–

g(y) yk .

Теорема о пределе сложной функции

позволяет

использовать при вычислении пределов метод, называемый заменой переменной:

1 kn

lim y

k

e

k

,

lim 1

n

n

y e

где y

1 n

, при n y e.

1

n

x 0

т.к. внутренняя функция y

1

при

x 0 , а внешняя функция

g(y) 2y 0

x

x 0

x

Доказательство. Т.к. функция

y

sin x

четная,

то

достаточно ограничиться случаем, когда

x

(x 0).

x 0

Очевидно, что характер стремления y

при

x 0 тот

же

S

AOB

1

OA BC

1

sin x

2

2

S

сектораAOB

1

R2x

1

x

2

2

S

AOD

1

OA AD

1

tgx,

2

2

1

x

1

, т.е. cosx

sin x

1.

sin x

cosx

x

Т.к.

limcosx 1 и lim1 1, то на основании теоремы о пределе промежуточной функции

x 0

x 0

заключаем, что

lim

sin x

1.

x

x 0

x 0

x

называется первым замечательным пределом.

Рассмотрим ряд следствий доказанной теоремы.

Следствие 1. Предел lim

sin(ax)

a.

x 0

x

y 0), получим:

Действительно, выполнив замену переменной y ax (при x 0

lim

sin(ax)

alim

sin y

a,

x

x 0

y 0

y

Следствие 2. Предел lim

tgx

1.

x 0

x

Действительно, lim

tgx

lim

sin x

lim

sin x

lim

1

1

xcosx

x 0

x

x 0

x 0 x

x 0 cosx

x 0

x

переменной y arcsin x (при

y 0),

Действительно,

после

замены

x 0

рассматриваемый предел преобразуется к виду

arcsin x

y

1

lim1

lim

lim

lim

y 0

1

sin y

x 0

x

y 0 sin y

y 0 sin y

lim

y

y 0

y

x 2

x

x

1 cosx

2

sin

sin

sin

1

1

1

2

lim

lim

2lim

2

lim

2

2

.

x2

x

x

x 0 x2

x 0

x 0

x 0

2

2

2

1

n

e 2.718. Это равенство

Как известно, предел последовательности lim 1

n

n

Теорема (о втором замечательном пределе). Предел

1 x

lim 1

e.

x

x

1

x

Предел lim 1

e называют вторым замечательным пределом.

x

x

Докажем ряд следствий сформулированной теоремы.

1

Следствие 1. Предел lim 1 x

e .

x

x 0

Действительно, после замены переменной y

1

(x

1

, при x 0 y ),

x

y

рассматриваемый предел преобразуется ко второму замечательному:

1

1

)y

lim(1 x)

x lim(1

e.

x 0

y

y

Отметим, что предел lim(1 x)

1

также называют вторым замечательным пределом.

x

x 0

Следствие 2. Предел lim

ln(1 x)

1.

Действительно,

x 0

x

1

ln(1 x)

1

lim

lim

ln(1 x) limln(1 x)

x

limln y lne 1.

x 0

x

x 0 x

x 0

y e

Следствие 4. Предел

a x

e

a

.

lim 1

x

x

a

a

Действительно, введя замену переменной y

(x

, при x 0

y 0),

x

y

a x

a

1

a

a

lim 1

lim 1 y y

lim

1 y y

e

,

x

x

y 0

y 0

Пусть две б.м. (две б.б.) функции f

(x) и g(x) определены в окрестности u (*), и

пусть существует конечный или бесконечный предел lim

f (x)

.

f (x)

x *

g(x)

Опр. Если lim

0, говорят,

что б.м. f (x)

имеет высший порядок малости

x * g(x)

g(x)

при x (б.б. g(x)имеет высший порядок роста

(в.п.м.) по сравнению с б.м.

(в.п.р.) по сравнению с б.б.

f (x)

при

x ). При

этом используется следующее

обозначение:

(sin x)2

sin x

lim

lim

sin x 0,

x 0 x

x 0

x

Замечание. Если lim

f (x)

, очевидно,

это означает, что

lim

g(x)

0 (по

x * g(x)

g(x) o(f (x)),

x .

x * f (x)

теореме о связи между б.м. и б.б.), т.е.

Опр. Если существует конечный lim

f (x)

a 0, то f (x) и g(x)

называются б.м.

x * g(x)

(б.б.) одного порядка малости (роста) при x *.

Примеры.

Функции y shx и y ex

имеют одинаковый порядок ростапри x .

Действительно,

lim

shx

lim

ex e x

1

lim

1 e

2x

1

0

2

x ex

x 2ex

2 x

(здесь использовано то, что e 2x

0 при x ).

Функции y ex 1 и y sin2x

имеют одинаковый порядок малости при x 0

f (x)~g(x) при x *.

Примеры.

sinx ~x при

x 0, в силу теоремы о первом замечательном пределе.

tgx~x при

x 0, в силу следствия из теоремы о первом замечательном пределе

(lim

tgx

1).

x 0 x

Многочлен

3x3

x2 5x

1

5

lim

lim 1

1,

3x

3

2

x

x

3x x

lim

f (x)

a 0, где k 0,

gk (x)

x *

f (x) относительно g(x) при x *.

число k называется порядком малости (роста)

Пример. Сравним функции f (x) sin x2 ,

g(x) x3 при x 0.

f (x)

sin x2

sinx2

1

.

lim

lim

lim

x3k 2

x 0 gk (x)

x 0 x3k

x 0 x2

sin x2

sint

lim

lim

1,

x 0 x2

t 0

t

где t x2 .

3

3

Таким образом, порядок малости б.м.

f (x) относительно б.м. g(x) при x 0 равен

k

2

.

3

эквивалентен старшей степени при x и младшей степени (если

a0 0) при

x 0

(см. последние два примера к определению эквивалентности):

a

a x ... a

xn ~a xn

при x .

0

1

n

n

a x ... a

xn ~a x при

x 0.

1

n

1

Теорема. Если при x *

f (x)~ (x) и g(x)~ (x), то

f (x)~g(x).

Доказательство.

lim

f (x)

lim

f (x)

(x)

lim

f (x)

lim

(x)

1 1 1,

x g(x)

x (x) g(x)

x (x) x g(x)

следовательно

f (x)~g(x)

при x *.

Теорема доказана.

Теорема. Разность 2-х эквивалентных б.м. функций

f (x) и g(x) имеет высший

порядок малости по сравнению с каждой из них.

Доказательство. Пусть f (x)~g(x) при x *. Покажем, что

f (x) g(x) o(g(x))

при x *.

f (x) g(x)

f (x)

f (x)

1 1 1 0.

lim

lim

1

lim

g(x)

x *

g(x)

x *

x * g(x)

Следовательно,

f (x) g(x) o(g(x))

при x *.

Поскольку же

f (x)~g(x), то, очевидно также, что f (x) g(x) o(g(x)).

Теорема доказана.

Теорема. Если разность двух функций f (x) g(x) есть бесконечно малая функция

по сравнению с одной из них при x *, то эти функции эквивалентны:

Доказательство. Пусть,

для

определенности, f (x) g(x) o(g(x)) при

x *.

Тогда

f (x) g(x)

f (x)

f (x)

lim

lim

1

lim

1 0

g(x)

x *

g(x)

x *

x * g(x)