МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Инженерная школа природных ресурсов
18.03.01 «Химическая технология»
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №3 Шифр– 90125
по дисциплине:
Механика 1.3
Исполнитель: |
|
|
|
студент группы |
2Д13 |
Чижова Анастасия Васильевна |
30.11.2022 |
Руководитель: |
|
|
|
преподаватель |
|
Джасем Мохамад Али |
|
Томск - 2022
ЗАДАЧА 3.1. ТЕМА: РАСТЯЖЕНИЕ-СЖАТИЕ.
Металлический ступенчатый стержень находится под действием сосредоточенных сил. Физико-механические характеристики материала стержня: = 2 * 105 МПа; [∆ ] = 80 * 10−4 м; [σ] = 160 МПа. Длину а, во всех вариантах принять равной 2м.
Для заданной схемы стержня требуется:
1.В масштабе изобразить длины стержня.
2.Определить реакцию опоры.
3.Составить аналитические выражения и построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, изменения абсолютной длины.
4.При превышении допускаемых значений (допускаемого напряжения [σ]) на любом из участков стержня, произвести перерасчет параметров стержня.
Дано:
А, |
мм |
2 |
Р3, кН |
Р2, кН |
Р1, кН |
|
|
30 |
25 |
17 |
|
220 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение
1.В масштабе изобразить длины стержня.
В масштабе 1:10 в соответствии с заданными параметрами изображена схема нагружения стержня, где размещено предположительное направление реакции опоры R.
2. Определить реакцию опоры
Для определения реакции опоры R составляется уравнение равновесия сил относительно оси стержня:
Σ = 0 =− + 1 + 2 + 3
= 1 + 2 + 3 = 17 + 25 + 30 = 72 кН
Значение положительное – направление реакции соответствует действительности.
3.Составить аналитические выражения и построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений, изменения абсолютной длины.
Применяем метод сечений, оставляя левую и отбрасывая правую часть бруса. Для определения продольных сил разделим стержень на три участка
1 участок
Σ = 01 − = 0 1 = = 72 кН
2 участок
Σ = 03 + 2 − = 0
2 = − 3 = 72 − 30 = 42 кН
3 участок
Σ = 03 + 2 + 3 − = 0
3 = − 2 − 3 = 72 − 30 − 25 = 17 кН
Определение нормальных напряжений Нормальные напряжения, действующие в сечениях каждого участка, определим из условия прочности:
σ1 = 2 1
σ2 = 3 2
σ3 = 3
=
=
=
72*103
2*220
42*103
3*220
17*103
220
=163 МПа
=63 МПа
=77 МПа
4. Перерасчет параметров, так как условие прочности не выполняется (σ > [σ]):
= [σ]1
σ1 = 2 1
σ2 = 3 2
σ3 = 3
=
=
=
=
72*103
2*160
72*103
2*225
42*103
3*225
17*103
225
=225 м
=160 МПа
=62, 2 МПа
=75, 6 МПа
По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений.
Определение деформации стержня
При растяжении (сжатии) бруса его поперечные сечения перемещаются в направлении сил. Перемещения являются следствием деформаций. Перемещение произвольного сечения бруса равно изменению длины участка, заключенного между этими сечениями и заделкой
λ = ∆ = ** = σ*
где Е – модуль продольной упругости или модуль упругости I-го рода. Для стали Е = (1,9…2,15)·105 МПа.
Примем = 2 * 105 МПа |
λ = ∑ ∆ |
Перемещение равно алгебраической сумме перемещений всех участков стержня.
λ = 0 |
= 0 + |
160*6*103 |
= 4. 8 мм |
|
||||
λ = λ + ∆ 1 |
|
2*105 |
|
|||||
λС = λ + ∆ 2 = 4. 8 + |
62.2*6*103 |
= 6. 67 мм |
||||||
|
2*105 |
|
||||||
λ = λ + ∆ 3 |
= 6. 67 + |
75.6*4*103 |
= 8. 18 м |
м |
||||
2*105 |
|
|
||||||
Проверка условия λ ≤ [∆ ]:
[∆ ] = 80 * 10−4 м = 8 мм λ = λ = 8. 18 мм
Условие жесткости не выполняется, рекомендуется увеличение площади сечения.
Изображение расчетной схемы стержня в масштабе.
ЗАДАЧА 3.2. КРУЧЕНИЕ
Металлический ступенчатый вал находится под действием сосредоточенных скручивающих моментов.
Для заданной схемы вала, требуется:
1.Составить аналитические выражения и построить эпюру крутящего момента.
2.В масштабе изобразить длины вала на каждом силовом участке и построить эпюры распределения максимальных касательных напряжений по длине.
3.Построить эпюру абсолютных углов закручивания по длине вала.
Обязательно требуется соблюдать пропорции продольных размеров вала, размеров сечений при построении эпюр напряжений, а также, величин на эпюрах. Для стали
принять = 8 * 104 МПа. Длину а принять равной 2м.
Дано:
М1 и М3, Нм; |
М2 и М4, Нм |
d=h, мм |
d/D и h/b |
|
|
|
|
480 и 290 |
200 и 380 |
42 |
0,7 и 1,2 |
|
|
|
|
Решение
1.Составить аналитические выражения и построить эпюру крутящего момента.
Из уравнения равновесия, находим величину и направление реактивного момента в опоре Мк:
∑ = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
− + 1 − 2 + 3 + 4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
Нм |
|
|||||
= 1 − 2 + 3 + 4 = 480 − 200 + 290 + 380 = 950 |
|
|
|||||||||||
Определим геометрические размеры сечения вала: |
|
−3 |
|
|
−3 м |
||||||||
|
|
42*10 |
−3 |
−3 м |
|
|
42*10 |
|
|
||||
= |
0.7 |
= |
0.7 |
= 60 * 10 |
|
= |
1.2 |
= |
1.2 |
|
= 35 * 10 |
|
|
Построим эпюру внутренних крутящих моментов, для этого разобьем вал на силовые участки:
1 = = 950 Нм2 = − 1 = 950 − 480 = 470 Нм
3 = − 1 − 4 = 950 − 480 − 380 = 90 Нм4 = − 1 − 4 − 3 = 950 − 480 − 380 − 290 =− 200 Нм
Напряжения кручения находятся по формуле:
τ = , где Wρ – полярный момент сопротивления или момент сопротивления
сечения кручению.
Полярный момент сопротивления для прямоугольного сечения:
= *6 2 = 35*426 2 = 10290 мм3
Полярный момент сопротивления для кольцевого сечения:
|
|
π( 4− 4) |
3 |
|
|
4 |
|
3 |
|
4 |
|
3 |
|
|
= |
16 |
= 0, 2 |
(1 |
−( |
|
) |
) = 0. 2 * 60 |
|
* (1 − 0. 7 |
|
) = 32827. 7 мм |
|
Полярный момент сопротивления для сплошного круга:
|
3 |
|
|
|
= |
π16 |
= 0, 2 3 = 0. 2 * 423 = 14817, 6 мм3 |
τ1 |
= |
|
|
3 |
= 64, 1 МПа |
||
|
|||||||
|
= 950*1014817,6 |
||||||
τ2 |
= |
1 |
3 |
= 31, 7 МПа |
|||
|
|||||||
|
= 470*1014817,6 |
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|||
τ2' = |
|
= 470*1010290 |
= 45, 7 МПа |
||||
|
|
3 |
3 |
|
|||
τ3 |
= |
|
|
= 90*1010290 = 8, 75 МПа |
|||
|
|
3 |
3 |
|
|||
τ3' = |
|
= |
32827.790*10 |
= 2, 74 МПа |
|||
|
|
4 |
3 |
|
|||
τ4 |
= |
|
|
= |
−200*1032827.7 |
=− 6, 09 МПа |
|
Определим повороты сечения для каждой части стержня, где крутящие моменты и жесткости постоянны по длине:
* φ = *
эта формула действительна только для части стержня постоянного сечения по длине l
где = 8 * 104 МПа – модули упругости II – рода; - полярный момент инерции поперечного сечения стержня
Полярный момент инерции для прямоугольного сечения:
|
|
|
* |
3 |
4 |
3,5*4,2 |
3 |
4 |
|
2 |
* |
|
= * |
|
= 8 * 10 * |
|
= 172, 9 * 10 |
кН * см |
|
||
|
12 |
|
12 |
|
|
Полярный момент инерции для кольцевого сечения:
* = * 32π ( 4 − 4) = 8 * 104 * 3,1432 * (64 − 4. 24) = 773, 09 * 104 кН * см2
Полярный момент инерции для сплошного круга:
* |
|
= * |
|
π |
4 |
= 8 * 10 |
4 |
* |
3.14*6 |
4 |
= 1017, 36 * 10 |
4 |
кН * см |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
32 |
|
32 |
|
|
|
||||||||||
Поворот сечения B относительно A: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∆φ / = |
1* 200 |
|
= |
950*200 |
|
|
= 0, 019 рад |
|
|
|
||||||||
* |
|
|
1017,36*104 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поворот сечения С относительно B: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∆φ / = |
2* 400 |
|
= |
470*400 |
|
|
= 0. 018 рад |
|
|
|
||||||||
* |
|
|
1017.36*104 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поворот сечения D относительно C: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∆φ / = |
2* 200 |
|
= |
470*200 |
= 0. 054 рад |
|
|
|
||||||||||
* |
|
|
172,9*104 |
|
|
|
||||||||||||