Лабораторные / Метрология 2

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Тольяттинский государственный университет»

Институт химии и энергетики

Кафедра «Электроснабжение и электротехника»

13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника»

«Основы электромеханики»

«Метрология»

Отчет по лабораторной работе № 2

«Определение доверительного интервала с доверительной вероятностью»

Группа: ЭЭТб-1901а

Студент: Назаров М.О.

Преподаватель: Федяй О.В.

Тольятти 2021

Содержание

Цель работы 3

Краткие теоретические сведения 3

Решение задач 6

Вывод 9

Цель работы

Изучить алгоритмы обработки многократных измерений. Научиться оценивать истинное значение измеряемой величины при многократном измерении с помощью интервалов.

Краткие теоретические сведения

В настоящее время большое распространение получила оценка с помощью интервалов. Смысл оценки параметров с помощью интервалов заключается в нахождении интервалов, называемых доверительными, между границами которых с определенными вероятностями (доверительными) находятся истинные значения оцениваемых параметров.

Половина длины доверительного интервала называется доверительной границей δ_Р случайного отклонения результатов наблюдений, соответствующей доверительной вероятности Р. Для определения доверительной границы задаются доверительной вероятностью и вычисляют соответствующее значение δ_р по формулам: при известном среднеквадратичном отклонении (СКО) результатов наблюдений,

где σ_х – СКО;

или при известной точечной оценке СКО результатов наблюдений

где S_x - точечная оценка СКО; t - коэффициент (или дробь) Стьюдента.

Плотность распределения дроби Стьюдента, впервые предсказанного Госсетом, писавшим под псевдонимом Стьюдент, выражается следующим уравнением:

где S(t,k) - плотность распределения Стьюдента. Величина к называется числом степеней свободы и равна п-1. Вероятность того, что дробь Стьюдента в результате выполненных наблюдений примет некоторое значение в интервале (-t_p, +t_p), согласно выражению, вычисляется по формуле:

или, поскольку S(t,k) является четной функцией аргумента t,

Подставив вместо дроби Стьюдента t_p ее выражение через истинное значение результата, точечные оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения результатов наблюдений, получим окончательно

Величины t_p, вычисленные по этим формулам, были табулированы Фишером для различных значений доверительной вероятности Р в пределах 0,10-0,99 при к=п-1=1,2,... ,30. В таблице 1 приведены значения коэффициента Стьюдента t_p для наиболее часто употребляемых доверительных вероятностей Р.

Итог измерений при оценке с помощью интервалов записывается в виде

В тех случаях, когда распределение случайных погрешностей не является нормальным, все же часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвестной.

Таблица 1 - Коэффициент Стьюдента

k	Р
	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99
2	3,08	6,31	12,71	31,8	63,7
3	1,89	2,92	4,30	6,96	9,92
4	1,64	2,35	3,18	4,54	5,84
5	1,53	2,13	2,77	3,75	4,60
6	1,48	2,02	2,57	3,36	4,03
7	1,44	1,94	2,45	3,14	4,71
8	1,42	1,90	2,36	3,00	3,50
9	1,40	1,86	2,31	2,90	3,36
10	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25
И	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17
12	1,363	1,80	2,20	2,72	3,11
13	1,36	1,78	2,18	2,68	3,06
14	1,35	1,77	2,16	2,65	3,01
15	1,35	1,76	2,14	2,62	2,98
16	1,34	1,75	2,13	2,60	2,95
17	1,34	1,75	2,12	2,58	2,92
18	1.33	1,74	2,11	2,57	2,90
19	1,33	1,73	2,10	2,55	2,88
20	1,33	1,73	2,09	2,54	2,86
21	1,38	1,73	2,09	2,53	2,85
22	1,32	1,72	2,08	2,52	2,83
23	1,32	1,72	2,07	2,51	2,82
24	1,32	1,71	2,07	2,50	2,81
25	1,32	1,71	2,06	2,49	2,80
26	1,32	1,71	2,06	2,49	2,79
27	1,32	1,71	2,06	2,48	2,78
28	1,31	1,70	2,05	2,47	2,77
29	1,31	1,70	2,05	2,47	2,76
30	1,31	1,69	2,05	2,46	2,76
40	1,30	1,68	2,02	2,42	2,70
60	1,30	1,67	2,00	2,39	2,66
120	1,29	1,66	1,98	2,36	2,62
>120	1,28	1,65	1,96	2,33	2,58

Если эксперимент состоит в многократном измерении одной и той же величины постоянного размера, то результатом измерения является группа из п независимых показаний (измерений), составляющих массив экспериментальных данных. Главной особенностью измерительного эксперимента, проводимого с использованием статистической обработки полученных данных, является получение и использование большого объема апостериорной измерительной информации.

Таким образом, при практической обработке результатов измерений необходимо последовательно выполнить следующие операции:

1. Задаться значением доверительной вероятности Р;

2. Определить коэффициент Стьюдента t_p(n) для выбранной вероятности Р и числа проведенных измерений n;

3. Найти границы доверительного интервала: ;

4. Записать окончательный результат:

Решение задач

Задача 1

Значение доверительной вероятности найдем по табличным данным для и : .

Окончательный результат:

Задача 2

Значение коэффициента Стьюдента найдем по табличным данным для и : .

Окончательный результат:

Задача 3

Истинное значение температуры при исключении систематической погрешности:

Определим по табличным данным число степеней свободы для и :

Окончательный результат:

Задача 4

Определим по табличным данным число степеней свободы для и :

Истинное значение усилия при исключении погрешности градуировки:

Окончательный результат:

Задача 5

Значение коэффициента Стьюдента найдем по табличным данным для и : .

Таблица 2 – Результаты вычислений

№	, м	, м
1	18,124	0,001	0,000001
2	18,127	-0,002	0,000004
3	18,121	0,004	0,000016
4	18,122	0,003	0,000009
5	18,131	-0,006	0,000036

Окончательный результат:

Задача 6

Значение коэффициента Стьюдента найдем по табличным данным для и : .

Истинное значение диаметра при исключении систематической погрешности:

Окончательный результат:

Задача 7

Определим по табличным данным число степеней свободы для и :

Окончательный результат:

Вывод:

Благодаря данной лабораторной работе я изучил алгоритмы обработки многократных измерений и научился оценивать истинное значение измеряемой величины при многократном измерении с помощью интервалов.