760
.pdf
531 П58
СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
А.М. ПОПОВ, Л.С. МОЛОКОВ
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Практикум по решению задач при выполнении самостоятельной работы по курсу «Теоретическая механика»
НОВОСИБИРСК
2012
УДК 531(075)
П58
Попов А.М., Молоков Л.С. Кинетическая энергия материальной точки и механической системы: Практикум по реше-
нию задач при выполнении самостоятельной работы по курсу «Теоретическая механика». — Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2012. — 60 с.
Даны материалы для комплексной организации самостоятельной работы студентов дневной формы обучения по теоретической механике, в том числе 25 вариантов индивидуальных заданий и методические указания к решению задач.
Рассмотрен и рекомендован к изданию на заседании кафедры «Теоретическая механика».
Ответственный редактор д-р. техн. наук, проф. А.М.Попов
Р е ц е н з е н т завкафедрой математики СГУПСа д-р физ.-мат. наук
А.В. Пожидаев
канд. техн. наук, доц. кафедры «Строительная механика» СГУПСа В.В. Шушунов
Попов А.М., Молоков Л.С. , 2012
Сибирский государственный университет путей сообщения, 2012
ВВЕДЕНИЕ
Настоящее издание разработано для студентов очного обучения, изучающих предмет как в односеместровых потоках, так и в трехсеместровых. Прктикум включает краткие теоретические сведения по теме и 25 вариантов индивидуальных заданий. Каждое задание содержит 6 задач. Задачи в заданиях расположены по принципу возрастающей трудности, что позволяет применятьэтизаданиянавсехспециальностях,где предусмотрено изучение дисциплины «Теоретическая механика».
Задачи частично подобраны из существующих учебных пособий без изменений или с небольшими изменениями, частично разработаныавторами.Даютсярекомендациипорешению задач.
КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Наука начинается там, где есть мера измерения какого-либо явления. При изучении механического движения материальных тел одной из мер измерения является кинетическая энергия — ее скалярная составляющая, равная половине произведения массы
|
mv 2 |
|
точки на квадрат ее скорости, — |
|
. |
2 |
||
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех точек системы:
n |
2 |
|
|
|
T |
mkvk |
. |
(1) |
|
2 |
||||
k 1 |
|
|
Единицей измерения кинетической энергии в системе СИ является джоуль (1 Дж = 1 Н∙м).
Кинетическая энергия твердого тела при его поступательном движении определяется по формуле
3
T1 Mvc2, 2
где М — масса тела; vc — скорость центра масс тела. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси, вычисляется по формуле
T Jz |
2 |
|
||
|
, |
(2) |
||
2 |
||||
|
|
|
||
где Jz — момент инерции тела относительно оси вращения; — угловая скорость тела.
Кинетическая энергия твердого тела, движущегося плоскопараллельно, вычисляется по формуле
T |
1 |
Mvc2 Jcx |
2 |
, |
(3) |
|
2 |
||||
2 |
|
|
|
||
где М—массатела;vc —скорость центрамасстела;Jcx —момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения плоской фигуры; — угловая скорость тела.
Элементарная работа силы
Элементарная работа dA силы F на элементарном перемеще-
нии dS определяется выражением |
|
dA= F dS, |
(4) |
z 
Mo
r
k
i 
j
x Рис. 1
Рис. 1
M
F
V
F
M1
y
где F —проекциясилы F на направление скорости точки приложения силы на направление элементарного перемещения, которое совпадает с направлением скорости точки (рис. 1).
Элементарная сила является скалярной величиной.
F = Fcos . (5)
Тогда
dA = Fcos dS. (6)
В этой формуле знак элементарной работы определяется знаком cos :
4
> 0 — работа положительная,
< 0 — работа отрицательная.
Отметим частные случаи, которые можно получить из выражения (6):
при = 0° dA = FdS; = 90° dA = 0; = 180° dA= –FdS.
Полная работа силы
Полная работа силы на любом конечном перемещении М1М2 вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих элементарныхработ,т.е.равнавзятомувдольэтогоперемещения интегралу от элементарной работы.
Пределы интеграла соответствуют значениям переменных интегрирования в точках М1 и М2:
A lim |
n |
dA |
M2 |
dA |
M2 |
F dS |
M2 |
(F dx F dy F dz). |
|
|||
|
|
|
|
(7) |
||||||||
n |
k |
|
|
x |
y |
z |
||||||
|
k 1 |
|
M1 |
|
M1 |
|
M1 |
|
|
|
|
|
Работа постоянной силы
F
|
S |
Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении вычисляется как скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения точки (рис. 2):
A |
|
|
|
|
(8) |
F |
FS Fcos S. |
||||
Итак, работа силы на прямолинейном перемещении точки ее приложения равна алгебраическому значению произведения проекции силы на направление перемещения.
Работа силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси
Элементарная работы силы, приложенной к телу, вращающемусявокругнеподвижнойоси,равнапроизведениюмоментаэтой силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота:
|
|
|
|
dA Mz(F)d . |
(9) |
||
Полная работа равна интегралу от элементарной работы:
1 |
|
A Mz(F)d . |
(10) |
0
Если момент силы относительно оси остается величиной постоянной, то полнаяработаравнапроизведению моментасилы на угол поворота:
5
А = Мz . |
(11) |
Аналогичным образом вычисляется работа пары сил, прило-
женной к вращающемуся телу: |
|
A F1F2 Mz F1F2 . |
(12) |
Работа силы тяжести
Силу тяжести P материальной точки массой m вблизи повер-
хности земли можно считать посто- |
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
янной (рис. 3), равной по величине |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
mg и направленной по вертикали |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 |
|
|
|||||||||
вниз. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При перемещенииточки из поло- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M2 |
||||||
жения М1 в положение М2 работа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
силы тяжести будет равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A( |
|
) = P(Z2 – Z1) = Ph. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
x1 z2 |
x2 |
|
||||||||||
В общем случае можно записать: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
A(mg) = ±mgh. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Работа силы тяжести не зависит |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
от формы траектории, а зависит только от разности высот.
Работа упругой силы пружины
На рис. 4 изображена пружина в ненапряженном состоянии ( 0 = 0) и она же растянута на величину 1. Работа силы упругости на перемещении 1 вычисляется по формуле
A Fупр с 21 , где с — коэффициент упругости (жесткости) |
||||
2 |
|
|
|
|
пружины. |
а) |
б) |
в) |
|
Затем пружина возвращается в |
||||
недеформированное состояние, и |
|
|
|
|
работасилы упругости будет равна: |
|
|
|
|
A Fупр с 22 , |
M0 |
Fупр |
M |
Fупр |
2 |
|
2 |
||
|
|
|
||
т.е. работа силы упругости опреде- |
|
1 |
|
2 |
ляется выражением: |
|
|
||
A Fупр с 2 . |
|
M1 |
|
M1 |
2 |
|
|
||
Рис. 4
6
Если начальная деформация пружины 0 0, то работа упругой силы вычисляется по формуле
A Fупр с 20 2 , 2
где — перемещение пружины.
Следовательно, работа упругой силы равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального 0 и конечного удлинений (или сжатий) пружины.
Работа равнодействующей
Есликдвижущейсяточкеприложенонесколькосил, торабота равнодействующей этой системы сил на каком-либо перемещении точки равна алгебраической сумме работ каждой силы на этом перемещении:
n
A R A(Fk) A F1 A F2 A Fk A Fn ,
k 1
где Fk — силы, приложенные к точке; R Fk — равнодействующая сходящейся системы сил.
Работа силы на конечном перемещении
Если точка приложения постоянной силы P получила ряд последова-
тельных перемещений Sk, то работа силы на результирующем перемеще-
нии S равна алгебраической сумме работ силы на каждом перемещении:
|
|
|
|
|
|
M1 |
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
S |
|||||||||
M0 |
|
|
S1 |
M2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sk |
||||
|
S |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
M n |
|
|
|
|
|
|
|
Mk |
|||
|
|
n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
S |
|
|
|||||||||
Рис. 5
A P P S P S1 P S2 P Sk P SnP S1 S2 Sk Sn .
Работа внутренних сил неизменяемой механической системы
Простейшей механической системой является твердое тело. Силы взаимодействия между частицами тела (системы) попарно равны и противоположно направлены. Следовательно, сумма работ внутренних сил неизменяемой механической системы равна нулю на любом перемещении системы.
7
Теорема об изменении кинетической энергии точки
Изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно сумме работ всех сил, приложенных к точке, на том же перемещении:
2 |
2 |
n |
||||
mv2 |
|
mv1 |
A( |
|
), |
|
Fk |
||||||
2 |
|
|||||
2 |
k 1 |
|||||
где v1 — скорость точки в началь- M1 
ном положении; v2 — скорость точки в конечном положении.
v1
M
M2
v
F3 
F2 F1
2
Рис. 6
Теорема об изменении кинетической энергии механической системы
Изменение кинетической энергии механической системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на материальные точки системы, на том же перемещении:
T2 T1 A Fke A Fki ,
где T1 —кинетическая энергия системы вначальном положении; T2 — кинетическая энергия системы в конечном положении;
Fke — внешние силы; Fki — внутренние силы.
Частный случай. Для неизменяемой механической системы
A Fki 0 и теорема принимает вид:
T2 T1 A Fke .
Пример 1. Брусок массой m (рис. 7) соскальзывает без начальной скорости по наклонной плоскости, составляющей с
горизонтом угол . Определить |
S |
|
максимальную деформацию |
||
пружины,есликоэффициенттре- |
|
|
ния на наклонной плоскости f. |
|
|
Пружина в начальный момент |
|
|
времени не деформирована, ее |
||
|
||
коэффициент жесткости — c. |
Рис. 7 |
|
Расстояние от начального поло- |
|
|
жения бруска до пружины — S. |
|
m = 5 кг, S = 2 м, = 30°, f = 0,2, c = 50 Н/м.
8
Решение |
|
Принимаем брусок |
M1 |
за материальную точку |
|
и рассмотрим его дви- |
|
жениенадвухучастках |
|
(рис. 8): |
|
1) M0M1 = S — до |
|
соприкосновенияспру- |
|
жиной; |
|
2) M1M = — до остановки бруска.
N
M |
Fтр M |
0 |
v |
h |
|
|
|
G
Рис. 8
На участке M0M1 на брусок действуют сила тяжести G,
нормальнаяреакцияповерхности N исилатренияскольжения Fтр .
Для решения задачи применяем теорему об изменении кинетической энергии материальной точки:
mv12 mvo2 A(Fk), 2 2
где A(Fk) A(G) A(N) A(Fтр ).
Так как по условию задачи v0 = 0, то теорема принимает вид
mv2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
A(G) A(N) A(Fтр). |
(а) |
|||||||
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определяем работы сил, действующих на брусок на перемещении S, и подставляем их в уравнение (а):
A(G) mgh, h = Ssin , A(G) mgSsin ,
A(N) 0, так как N S,
A(Fтр) FтрS,
Fтр = fN, N = P cos , N = mg cos , Fтр = fmg cos ,
A(Fтр) fmg cos S.
mv12 mgS sin fmgcos S. 2
Подставляем заданные величины и вычисляем v1 (здесь и далее g 10 м/с2).
9
|
mv2 |
mgS(sin f cos ), |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
v2 |
2gS(sin f cos ), |
||||||
2 |
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
v1 |
|
2 10 2(sin 30 0,2 cos 30 ) |
13,04 |
3,61 м/с. |
|||||
Для второго участка M1M (рис. 9) начальная скорость v1, а
конечная — v2 = 0. |
|
|
|
||||
На этом участке на |
|
|
|||||
брусок действует сила |
|
N |
|
|
|||
тяжести |
G, |
нормаль- |
|
|
|
||
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
M |
|
ная реакция поверхно- |
M2 |
v |
|
Fтр F |
|||
сти N, сила |
трения |
|
|
||||
|
M |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
скольжения |
Fтр |
и уп- |
|
|
|
G |
|
ругая сила F. |
|
|
Рис. 9 |
||||
Для определения величины максимального сжатия пружины (участок M1M2) воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки:
mv2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
A(G) A(N) A(Fтр) A(F). |
(б) |
|||||||||
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычислим работы сил, действующих на брусок на перемещении:
A(G) mgh, h1 = sin , A(G) mg sin ,
A(N) 0, так как N ,
A(Fтр ) Fтр ,
Fтр = fN, N = G cos , N = mg cos ,
c 2
Fтр = fmg cos , A(Fтр ) fmg cos , A(F) 2 .
Уравнение (б) принимает вид:
|
mv12 |
mg sin fmgcos |
c 2 |
. |
|
|
|||
2 |
2 |
|
||
Преобразуя выражение, получаем квадратное уравнение относительно
c 2 2g( sin f cos ) v12 0. m
10