724
.pdf
51 У76
СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Э.А. УСОВА
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Методические указания к выполнению индивидуальных заданий
НОВОСИБИРСК 2007
УДК 519.6:681.3
У76
У с о в а Э.А.Численныеметоды:Метод.указ. квыполнению индивидуальных заданий. — Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2007. — 24 с.
Содержат варианты индивидуальных заданий и задания по следующим разделам: интерполяция и экстраполяция с постоянным и произвольным шагами, итерационные и прямые методы решения систем линейных алгебраических уравнений, сглаживание исходных данных методом наименьших квадратов, многомерная оптимизация.
Рекомендованы для специальностей «Информационные системы и технологии».
Рассмотреныирекомендованык печатиназаседаниикафедры «Информационные технологии транспорта».
Ответственный редактор д-р техн. наук, проф. В.И. Хабаров
Р е ц е н з е н т д-р техн. наук, проф. кафедры «Системный анализ и
управление проектами» В.И. Котюков
Усова Э.А., 2007
Сибирский государственный университет путей сообщения, 2007
СПИСОК ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
1. Приближение функции многочленами.
1.1.Интерполяция по методу Эйткена.
1.2.Интерполяция функции двух переменных по трем, четырем и шести точкам.
1.3.Сплайны.
1.4.Интерполяционные формулы Гаусса.
1.5.Интерполяционная формула Стирлинга.
1.6.Квадратурная интерполяция по Бесселю.
1.7.Интерполяционный многочлен Лагранжа третьей степени.
1.8.Интерполяционный многочлен Лагранжа с равноотстоящими узлами третьей степени.
1.9.Интерполяционный многочлен Ньютонатретьей степени.
1.10.Интерполяционный многочлен Ньютона с равноотстоящими узлами третьей степени.
1.11.Многочлены Тейлора.
1.12.Интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени.
1.13.Интерполяционный многочлен Лагранжа с равноотстоящими узлами второй степени.
1.14.ИнтерполяционныймногочленНьютонавторой степени.
1.15.Интерполяционный многочлен Ньютона с равноотстоящими узлами второй степени.
2. Сглаживание наблюдений.
2.1.Метод наименьших квадратоввторого и третьего порядков.
2.2.Метод наименьших квадратов первого порядка. Метод выбранных точек. Метод средних.
2.3.Выбор вида эмпирической формулы с двумя параметрами. 3. Численное интегрирование.
3
3.1.Использование сплайнов.
3.2.Квадратурные формулы Гаусса. Усложненные квадратурные формулы.
3.3.Формула прямоугольников по левому концу. Формула трапеции. Метод Монте-Карло.
3.4.Формула Симпсона. Формула три восьмых.
3.5.Формула прямоугольников по правому концу. Метод Монте-Карло для вычисления кратных интегралов.
4. Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
4.1.Метод квадратного корня.
4.2.Метод вращения.
4.3.Метод релаксации.
4.4.Метод Холецкого.
4.5.Метод прогонки.
4.6.Метод наискорейшего спуска для решения СЛАУ.
4.7.Градиентный метод с минимальными невязками для решения СЛАУ.
4.8.Метод Гаусса—Зейделя.
4.9.Метод Крамера для решения СЛАУ третьего порядка (вычисление определителя производить разложением по первой строке).
4.10.Метод Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента (метод главных элементов).
4.11.Метод Гаусса.
4.12.Метод Жордана—Гаусса.
4.13.Метод Крамера для решения СЛАУ с матрицей системы 2 2.
4.14.Метод простых итераций. 5. Задачи линейной алгебры.
5.1.Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.
5.2.Нахождение максимального собственного значения мат-
рицы.
5.3.Нахождение действительных собственных значений симметричной матрицы методом скалярных произведений.
5.4.Нахождение собственных значений матрицы методом Якоби с преградами.
5.5.Вычисление определителя методом Жордана—Гаусса.
5.6.Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.
4
6. Методы решения нелинейных уравнений.
6.1.Метод деления отрезка пополам. Метод хорд. Метод Ньютона.
6.2.Метод секущих. Комбинированный метод секущих-хорд. Метод Эйткена—Стеффенсона.
7. Решение систем нелинейных уравнений.
7.1.Метод Ньютона.
7.2.Метод итераций.
8. Методы одномерной и многомерной оптимизаций.
8.1.Метод золотого сечения. Например, для функций вида:
F(x) = (Ax, x) – 2 (b, x).
8.2.Метод покоординатного спуска. Например, для функций вида: F(x) = (Ax, x) – 2 (b, x).
8.3.Метод градиентного спуска. Например, для функций вида: F(x) = (Ax, x) – 2 (b, x).
8.4.Метод Фибоначчи. Например, для функций вида:
F(x) = (Ax, x) – 2 (b, x).
8.5.Метод циклического покоординатного спуска ЗейделяГаусса. Например, для функций вида: F(x) = (Ax, x) – 2 (b, x).
8.6.Градиентный метод с переменным шагом. Например, для функций вида: F(x) = (Ax, x) – 2 (b, x).
8.7.Метод наискорейшего спуска Коши. Например, для функций вида: F(x) = (Ax, x) – 2 (b, x).
9. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
9.1.Решения ОДУ первого порядка. Метод Рунге—Кутта четвертого порядка. Метод Адамса.
9.2.Разностный метод. (+метод прогонки) для решения ОДУ второго порядка.
9.3.Метод Милна.
10. Методы решения краевой задачи для линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
10.1.Метод Галеркина.
10.2.Метод конечныхэлементов(пробныефункции—линей-
ные).
10.3.Метод наименьших квадратов.
10.4.Метод стрельбы.
5
11.Уравнения с частными производными первого и второго порядков.
11.1.Линейное уравнение переноса.
11.2.Смешанная задачадля двумерноголинейного уравнения переноса.
11.3.Волновое уравнение второго порядка. Решение с помощью явной разностной схемы.
11.4.Одномерное уравнение теплопроводности.
11.5.Решение смешанной задачи для двумерного уравнения теплопроводности.
11.6.Решение задачи Дирихле с использованием итерационного метода решения разностных уравнений.
12.Задачи математической статистики.
12.1.Корреляционный анализ. Линейный регрессионный
анализ.
12.2.Однофакторныйдисперсионныйанализс неодинаковым числом испытаний на различных уровнях.
12.3.Нахождение моды.
12.4.Нахождение медианы.
12.5.Нахождение значения асимметрии.
12.6.Нахождение значения эксцесса.
12.7.Нахождение математического ожидания.
12.8.Нахождение дисперсии.
13. Ряды. Степенные ряды Макларена.
13.1.Вычислить значение алгебраической функции (1 – x)m (m > 0) разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.2.Вычислить значение алгебраической функции (1 – x)1/4 разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.3.Вычислить значение алгебраической функции (1 – x)1/3 разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.4.Вычислить значение алгебраической функции (1 – x)1/2 разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.5.Вычислить значение алгебраической функции (1 – x) –m разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.6.Вычислить значение тригонометрической функции sin (x + a) разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.7.Вычислить значение тригонометрической функции cos (x + a) разложением в ряд с заранее заданной точностью.
6
13.8.Вычислить значение тригонометрической функции tgx разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.9.Вычислить значение тригонометрической функции ctgx разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.10.Вычислить значение показательной функции ex разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.11.Вычислить значение показательной функции ax разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.12.Вычислить значение логарифмической функции lnx (x > 0)разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.13.Вычислить значение логарифмической функции lnx (0 < x 2) разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.14.Вычислить значение логарифмической функции ln(1 + x) (–1 < x < 1) разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.15.Вычислить значение логарифмической функции ln(1 –x) (–1 < x < 1)разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.16.Вычислить значение обратной тригонометрической функции arcsin x (–1 < x < 1) разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.17.Вычислить значение обратной тригонометрической функции arccosх (–1 < x < 1) разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.18.Вычислить значение обратной тригонометрической функции arctgx (|x| > 1) разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.19.Вычислить значение обратной тригонометрической функции arcctgx (|x| > 1)разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.20.Вычислить значение гиперболической функции shx (|x| < )разложением в ряд с заранее заданной точностью.
13.21.Вычислить значение гиперболической функции chx (|x| < ) разложением в ряд с заранее заданной точностью.
7
РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА
1.Этап 1. Срок выполнения данного этапа: 6-я неделя текущего семестра.
1.1.Литературный обзор.
1.2.Описать предложенный численный метод.
1.3.Составить математическую модель, которую необходимо утвердить у преподавателя.
2.Этап 2. Срок выполнения данного этапа: 8-я неделя текущего семестра.
2.1.Составить алгоритм.
2.2.Разработать интерфейс программы.
2.3.Разработать тестовые примеры/пример.
3.Этап 3. Срок выполнения данного этапа: 11-я неделя текущего семестра.
3.1.Написать программу, реализующую данный численный
метод.
Примечания: 1. Если в алгоритме численного метода наложены ограничения на исходные данные, то необходимо осуществлять данную проверку в программе.
2.В программе обязательно должна присутствовать проверка на правильность ввода исходных данных пользователем, проверка деления на ноль, …
3.Программа должна быть написана на общий случай (например, если дано задание: найти решение СЛАУ методом Гаусса, то пользователь сам должен указать размерность матрицы в решении СЛАУ; использовать динамические массивы при описании массивов, векторов).
3.2. Отладить и протестировать данную программу. Проанализировать полученные результаты.
4.Этап 4. Срок выполнения данного этапа: 12-я неделя текущего семестра.
4.1.Написать пояснительную записку к данной программе.
4.2.Написать список используемой литературы и Интернетссылок.
4.3.Сдать преподавателю на проверку в распечатанном виде
ина дискете.
5.Этап 5. Срок выполнения данного этапа: 14-я неделя текущего семестра.
6.Защита разработанного численного метода.
8
Содержание пояснительной записки
1.Название численного метода.
2.Изложение численного метода.
3.Тестовый пример и анализ результатов.
4.Программный код.
5.Список литературы.
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
ИЗ 1. Интерполяция с произвольным шагом (прил. А).
1.Построить интерполяционный многочлен Лагранжа степени n = 2, используя интерполяцию вперед.
2.Вычислить приближенное значение функции в точке x0.
3.Записать многочлен в виде алгебраического многочлена. Вычислить приближенное значение функции в точке x0.
4.Построить интерполяционный многочлен Ньютона степени n = 2 и найти приближенное значение функции в точке x0.
5.Найти значения остаточного члена интерполяционного многочлена Ньютона.
ИЗ 2. Интерполяция с постоянным шагом (прил. Б).
1.Построить интерполяционный многочлен Лагранжа степени n = 2, используя интерполяцию вперед.
2.Вычислить приближенное значение функции в точке x0.
3.Записать многочлен в виде алгебраического многочлена. Вычислить приближенное значение функции в точке x0.
4.Построить интерполяционный многочлен Ньютона степени n = 2 и найти приближенное значение функции в точке x0.
5.Найти значения остаточного члена интерполяционного многочлена Ньютона.
ИЗ 3. Итерационные методы решения СЛАУ (прил. В)
1.Методом Гаусса—Зейделя решить систему алгебраических уравнений с точностью до тысячных.
2.Вычислить собственные числа матриц A и A–1.
3.Вычислить число обусловленности матрицы и системы.
9
ИЗ 4. Итерационные методы решения СЛАУ (прил. В)
1.Методомпростыхитерацийрешитьсистему алгебраических уравнений с точностью до тысячных.
2.Вычислить собственные числа матриц A и A–1.
3.Вычислить число обусловленности матрицы и системы.
ИЗ 5. Итерационные методы решения СЛАУ (прил. Г)
1.Методом Гаусса и методом вращения решить систему алгебраических уравнений.
2.Вычислить собственные числа матриц A и A–1.
ИЗ 6. Сглаживание исходных данных методом наименьших квадратов (прил. Д)
Построить линейную модель y = a0 + a1xметодом наименьших квадратов. Предсказать значение у в точке x0 и в точке x = 10.
ИЗ 7. Многомерная оптимизация (прил. Е)
Дана кривая второго порядка вида: f = a11x2+ a12xy + a22y2 +
+a13x + a23y + a33.
1.Определить вид кривой второго порядка и аналитически
найти точку минимума.
2. Методом градиентного спуска с точностью до тысячных найти минимальное значение функции. В качестве начальной точки взять (x0, y0) (делать до пяти итераций).
ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ»
1.Этапы решения задач на ЭВМ. Понятие математической модели.
2.Устойчивость численного метода. Корректность задачи. Сходимость численного метода.
3.Приближенные числа и действия над ними. Абсолютная и относительная погрешность. Погрешность функции. Источники погрешностей. Способы уменьшения погрешностей.
4.Аппроксимация функции. Интерполяция и экстраполяция.
5.Интерполяционный многочлен Лагранжа. Погрешность в точке и наотрезке при использовании интерполяционных многочленов Лагранжа.
1 0