715

ПРЕДИСЛОВИЕ

Выпускники вуза по направлениям подготовки 270800 — «Строительство», 271101 — «Строительство уникальных зданий и сооружений» и 271501 — «Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей» должны уметь решать различные задачи в своей профессиональной деятельности. Одной из задач инженера является получение значений динамических характеристик и критических параметров искусственных сооружений. Эта задача характерна как для проектно-конструкторской, так и для производственно-технологической деятельности инженера.

Настоящее учебное пособие предназначено для самостоятельного изучения курса «Динамика и устойчивость искусственных сооружений» студентами строительных специальностей. Пособие подразделяется на четыре большие главы. Первые две посвящены теоретическому изложению основ расчета элементов строительных конструкций на динамическое воздействие (в основном вибрационными нагрузками) и на устойчивость. Особое внимание уделено расчету рам, круговых арок и другим строительным конструкциям. По этой причине предлагаемое издание может быть рассмотрено как третья часть строительной механики.

В третьей главе рассматриваются решения задач. Так как методы расчета требуют значительной математической культуры, в настоящем издании подробно излагаются решения задач. Приводятся все промежуточные выкладки. Это позволяет студентам восстановить навыки расчета и вспомнить разделы высшей математики, изучаемые на младших курсах.

Учебное пособие дополнено приложением (глава 4), в котором излагаются основы тех разделов высшей математики, которые следует знать при изучении настоящего курса. Студентам желательно иметь под рукой справочные материалы математики, которые они изучали на первом и втором курсах обучения (двумя-тремя годами ранее): понятия о комплексных числах, элементы линейной алгебры, в частности, решения систем линейных алгебраических уравнений, методы решения дифференциальных, трансцендентных уравнений. Такая структура издания позволяет самостоятельно освоить как теоретическую часть курса, так и методы решения основных задач, рассматриваемых на практических занятиях.

Пособие написано на основе курсов лекций, которые читались в Новосибирском институте инженеров железнодорожного траспорта проф. А.Я. Александровым и проф. И.Б. Лазаревым.

ГЛАВА 1. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ИСКУССТВЕННЫХ СООРУЖЕНИЙ

1.1. Введение в курс динамики сооружений

По характеру действия на конструкции все нагрузки можно подразделить на две группы:

–статические;

–динамические.

К статическим относятся силы, которые медленно меняют величину, направление или точку приложения. Отметим также, что любая конструкция обладает массой, поэтому меняющаяся во времени нагрузка приводит ее в движение. Это в свою очередь вызывает изменение скоростей, а, значит, и возникновение ускорений массивных элементов конструкции. А ускоренное движение масс порождает силы инерции. Если силы инерции соизмеримы с величинами внешних нагрузок, то нагружение считается динамическим. В противном случае (силы инерции столь незначительны, что ими можно пренебречь), нагружение считается статическим. Расчет конструкций на статическую нагрузку рассматривается в курсах сопротивления материалов и строительной механики.

Расчет конструкций на динамическую нагрузку состоит в определении напряженнодеформированного состояния сооружений, на которые действуют внешние статические (неизменные во времени) силы, возмущающие (переменные во времени) нагрузки и силы инерции. Если внешние силы известны по величине и направлению, то величину и направлению сил инерции следует предварительно рассчитать.

1.1.1. Виды динамических нагрузок

По характеру действия на сооружение динамические нагрузки можно подразделить на следующие категории:

3

1.Кратковременные нагрузки. Как правило, это — ударные (импульсные) нагрузки от действия взрывных волн, ударов копров, падения грузов, соударения вагонов при сортировке с горки и т.п. Расчет сооружений на действие ударных нагрузок рассматривается в курсе сопротивления материалов.

2.Ветровые нагрузки. Вызываются действием ветра на конструкции, обладающие большой парусностью (площадью боковой поверхности). Ветер, дующий с постоянной скоростью, вызывает статическое нагружение. Однако порывы, возникающие при ураганных ветрах, могут привести к значительным динамическим нагрузкам, которые необходимо учитывать при расчете такого рода сооружений. Отдельно стоит задача о расчете висячих и вантовых мостов на ветровую нагрузку, которая может привести к резонансным колебаниям типа флаттер.

3.Сейсмические нагрузки. Бывают естественного (в результате — землетрясений) или техногенного (например, воздействие от буро-взрывных работ) происхождения. Вызывают резкое смещение фундамента сооружения, после чего воздействие распространяется на все здание. Опасность состоит в том, что к эксплуатационному нагружению добавляются дополнительные силы, направление и величину которых на стадии проектирования узнать невозможно. Чтобы свести к минимуму последствия действия сейсмического нагружения, разработан комплекс мер, позволяющих прогнозировать величину сейсмического воздействия, и с заданной степенью вероятности безопасной работы рассчитать сооружения.

4.Периодические нагрузки от вращения валов, роторов и т.п. в агрегатах, неподвижно закрепленных на конструкции (см. рис. 1.1). Причина возникновения периодических нагрузок — несовпадение

оси центра масс вращающихся элементов с осью вращения на расстояние ρ (рис. 1.1, а). Вследствие этого возникает центробежная сила Р0 = mpρθ2 , где mp — масса неуравновешенных частей двигате-

ля; θ — угловая частота вращения ротора двигателя. В произвольный момент времени центробежная сила Р0 наклонена к горизонтальной оси под углом ϕ = θt (рис. 1.1, б), и, таким образом, будет иметь проекции на горизонтальную и вертикальную оси, зависящие от времени t (рис. 1.1, в):

Py (t)= P0 sin(θt), Px (t)= P0 cos(θt).

Рис. 1.1. Действие возмущающей силы со стороны неуравновешенного ротора электродвигателя на балку:

а) исходная схема балки; б) расчетная схема балки; в) балка, нагруженная вибрационными нагрузками; г) закон изменения вертикальной вибрационной нагрузки; д) закон изменения горизонтальной вибрационной нагрузки

На рис. 1.1, в эти нагрузки показаны в виде специальных стрелок

4

Периодические нагрузки меняются по закону синуса (рис. 1.1, г) и косинуса (рис. 1.1, д). Поэтому они называются гармоническими, а чаще вибрационными.

5. Другие виды нагрузок:

–акустические;

–инерционные (за счет резкого торможения или разгона движущегося экипажа);

–движение по неровному или криволинейному пути

и т.п.

Из всех видов перечисленных воздействий в настоящем курсе, прежде всего, будут рассматриваться гармонические нагрузки (или вибрации), которые вызывают колебания конструкций. Поэтому курс называется теорией колебаний сооружений.

1.1.2. Виды механических колебаний

По характеру возникновения механические колебания подразделяются на четыре подгруппы:

1)собственные колебания;

2)вынужденные колебания;

3)параметрические колебания;

4)автоколебания.

Свободными (собственными) называются колебания, возникающие в изолированной системе вследствие однократного возбуждения (толчка), вызывающего у точек системы начальные отклонения от положения статического равновесия или начальные скорости, и продолжающиеся затем благодаря наличию внутренних упругих сил, восстанавливающих равновесие.

Типичным примером свободных колебаний упругой системы являются вертикальные колебания груза, подвешенного к концу пружины (рис. 1.2), если верхний конец пружины закреплен, а груз первоначально оттянут вниз на настояние y, а затем отпущен. При собственных колебаниях характер колебательного процесса определяется только внутренними силами системы. Необходимая энергия, обеспечивающая процесс колебаний, поступает извне в начальный момент возбуждения колебаний.

Вынужденными называются колебания упругой системы, происходящие при действии на систему заданных внешних периодически изменяющихся возмущающих сил, которые действуют непрерывно независимо от колебаний в системе.

Характер процесса при этом определяется не только свойствами системы, но так же существенно зависит от внешней силы. Примером вынужденных колебаний могут служить вибрации, вызванные электродвигателем, установленным на шарнирно опертую балку (рис. 1.1, а).

Параметрическими называют колебания упругой системы, в процессе которых периодически меняются физические параметры системы, то есть величины, характеризующие массу системы или ее жесткость.

Существенной особенностью параметрических колебаний является то обстоятельство, что внешние силы не влияют непосредственно на колебательное движение, а изменяются физические параметры системы.

Автоколебаниями упругой системы называют незатухающие колебания, поддерживаемые такими внешними силами, характер воздействия которых определяется самим колебательным процессом.

Автоколебания возникают в системе в отсутствии внешнего периодического воздействия. Источник энергии, покрывающий потери за счет трения, обычно составляет неотъемлемую часть системы и находится вне ее. В случае флаттера (от этого явления, в частности, произошла известная катастрофа Такомского моста, см. п. 1.9.3) таким источником является энергия воздушного потока, набегающего на вибрирующие части пролетного строения висячего моста.

1.1.3.Основные допущения

1.Рассматриваются конструкции из линейно деформируемого материала, для которых справедлива линейная связь между силами, действующими на сооружение и перемещениями точек сооружения.

2.Перемещения конструкции малы. Следовательно, справедлив принцип независимости действия сил — принцип суперпозиции.

3.Деформациями растяжения (сжатия) по сравнению с деформациями изгиба пренебрегаем. Эта гипотеза позволяет значительно упростить расчеты. Для строительных конструкций, у кото-

5

рых опасной и поэтому расчетной является низшая собственная частота, которая связана с изгибом, это допущение приемлемо. Однако следует иметь в виду, что при этом исключается возможность существования собственных частот (а значит резонансных воздействий), связанных с деформацией растяжения-сжатия. По этой причине, если возможна эксплуатация конструкций в зарезонансной (с точки зрения изгибных деформаций) зоне, к этой гипотезе следует относиться критически.

1.1.4. Понятие числа степеней свободы

Для составления уравнений движения масс конструкции необходимо установить, чему равно количество независимых координат, при помощи которых описывается положение всей системы в любой момент времени.

Количество независимых координат, определяющих положение всех материальных точек сооружения, обладающих массой, в любой момент времени, называется числом степеней свободы.

Число степеней свободы не следует путать со степенью свободы, определяемой в курсе строительной механики при кинематическом анализе сооружений:

W = 3Д – 2Ш – С0.

Эта степень свободы характеризует способность системы изменять форму конструкции при условии недеформируемости элементов системы. В динамике сооружений число степеней свободы характеризует способность деформироваться и перемещаться массам упругой конструкции. Можно считать, что число степеней свободы равно минимальному количеству связей, которые следует наложить на сооружение, чтобы полностью устранить перемещение всех материальных точек, обладающих массой. По числу степеней свободы все сооружения подразделяются на три группы

–системы с одной степенью свободы, n = 1;

–системы с конечным числом степеней свободы, 1 < n < ∞;

–системы с бесконечным числом степеней свободы, n = ∞.

Приведем примеры сооружений обладающих разным числом степеней свободы.

Конструкции с одной степенью свободы

Конструкции с двумя степенями свободы

Конструкция с бесконечным числом степеней свободы

Рис. 1.9. Тяжелая шарнирно опертая балка:

ρ— плотность материала балки;

А— площадь поперечного сечения балки

6

1.1.5. Нагрузки, действующие на движущуюся массу

Силы инерции. Присутствие этого вида нагрузок привело к выделению курса динамики сооружений в самостоятельный раздел строительной механики. Сила инерции известна из курсов физики, теоретической механики. Она появляется при ускоренном движении массы и всегда направлена в сторону, противоположную ускорению:

где I — сила инерции; m — масса движущегося материального объекта; &y&(t)= d 2 y — вторая про- dt2

изводная координаты, которая описывает положение массы по времени.

В этом заключается суть принципа Даламбера: уравнение движения можно получить путем составления обычного уравнения равновесия, если в него включить силы инерции.

Сила упругого сопротивления конструкции (возвращающая сила). В процессе совершения колебаний масса движется относительно положения статического равновесия — положения, которое бы она занимала при отсутствии внешних возмущающих сил. Если масса будет испытывать внешнее возмущение, то она придет в движение, и на нее кроме сил инерции будет сказываться воздействие, стремящееся вернуть массу в исходное состояние — в положение статического равновесия. Эта сила (обозначим ее буквой S) зависит от времени и всегда направлена в сторону положения статического равновесия. Ее величина пропорциональна отклонению массы от положения статического равновесия — координаты y:

где r11 — жесткость системы, которая может быть интерпретирована как величина силы упругого сопротивления конструкции при ее единичном отклонении от положения статического равновесия; δ11 — податливость системы, которая равна перемещению массы относительно положения статического равновесия, в случае, когда на массу действует единичная сила S(t) = 1.

Внешние нагрузки. Эти нагрузки можно подразделить на две группы:

–статические нагрузки (силы постоянные во времени);

–нагрузки переменные во времени.

От постоянных нагрузок конструкция будет деформироваться и займет положение, которое будем называть состоянием (положением) статического равновесия (рис. 1.11, а). Если при этом на систему будет воздействовать переменная (гармоническая) нагрузка, сооружение будет совершать колебательные движения относительно этого положения (рис. 1.11, а). Поскольку рассматриваются малые колебания, чтобы не затенять чертеж, при изучении колебаний конструкции используем принцип суперпозиции. Разделим нагрузки на постоянные и переменные. Действие постоянных нагрузок изучено в курсах сопротивления материалов и строительной механики и поэтому в рассматриваемом курсе не учитывается. Сооружение и массы, находящиеся на нем, считаются невесомыми. Тогда исходное состояние системы будет совпадать с положением статического равновесия, которое в отсутствии постоянно действующих сил, является недеформированным, чаще — прямолинейным (рис. 1.11, б). При динамическом расчете недеформированное состояние конструкции загружается гармонической нагрузкой

Под действием P(t) система будет совершать гармонические колебания. Ее максимальные отклонения от положения статического равновесия будем называть амплитудным положением (рис. 1.11).

Силы сопротивления (трения). К ним относятся:

–силы вязкого трения окружающей среды (воздуха, воды);

–силы сухого трения элементов конструкции друг о друга;

7

– силы внутреннего трения.

Рис. 1.11. Деформированное состояние балки под действием внешней нагрузки:

а — деформированное состояние системы от действия постоянных и переменных во времени нагрузок; б — деформированное

состояние системы от действия переменных во времени нагрузок

Отметим, что ни при каких обстоятельствах избавиться от сил трения невозможно. Можно лишь в зависимости от инженерных целей либо уменьшить их значение, вводя в систему смазку, либо, напротив, их увеличить, устанавливая специальные устройства — демпферы. Между тем, представляет определенный теоретический интерес частный случай колебания систем, лишенных сил трения. Пренебрегая силами сухого и внутреннего трения, силу сопротивления среды движению массы часто записывают, используя гипотезу Фойгта: сила трения пропорциональна скорости движения массы

где β — коэффициент, зависящий от вязких свойств среды, в которой происходят колебания. Гипотеза Фойгта справедлива для малых колебаний. При больших скоростях ближе к действитель-

ности следующая запись:

R(t)= βy& 2 (t).

Таким образом, на колеблющуюся массу в общем случае действуют четыре силы, зависящие от времени:

–сила инерции — I(t),

–сила упругости или возвращающая сила — S(t),

–возмущающая сила — P(t)

–сила трения — R(t).

Направление этих нагрузок показано на рис. 1.12. Здесь пунктиром отмечено положение статического равновесия упругой системы (начальное положение в момент времени t = 0); сплошной линией — положение, которое она занимает в произвольный момент времени t; у — расстояние, на которое сместилась масса m в этот момент времени.

При динамическом расчете определяются величина и направление сил инерции. Ими загружается рассматриваемая конструкция. Затем к силам инерции добавляются постоянные и переменные внешние силы. От этих нагрузок строится динамическая эпюра изгибающих моментов.

1.1.6. Методы решения динамических задач

Наиболее общими являются методы, основанные на применении вариационного принципа Гамильтона или уравнений Лагранжа II-го рода, которые излагаются в курсе теоретической механики, и в предлагаемом курсе

использоваться не будут. Обычно в инженерных курсах используются следующие методы.

1.Статический метод. Суть метода состоит в том, что рассматривается условие равновесия движущихся масс с учетом сил инерции. Этот метод основан на использовании принципа Даламбера.

2.Кинематический метод. Состоит в том, что записываются перемещения точек конструкции и присоединенных к ней масс с учетом всех сил, действующих на систему и на конкретную массу.

8

3. Энергетический метод. Основан на законе сохранения энергии консервативной системы, в которой отсутствует подкачка или потеря энергии. Для такой системы можно записать, что сумма кинетической (К) и потенциальной (U) энергий в любой момент времени есть величина постоянная.

K + U = const.

В процессе колебаний происходит постоянное периодическое превращение потенциальной энергии в кинетическую и обратно. Сумма же этих энергий не меняется и остается равной той энергии, которая была задана системе при ее возмущении.

1.2. Расчет систем с одной степенью свободы

Расчетная схема системы, обладающей одной степенью свободы, представлена на рис. 1.13. Задачу будем решать статическим методом. Для этого проецируем все силы, действующие на движущую массу (см. п. 1.1.5), на ось y:

∑Fy = 0, I(t)−R(t)+ P(t)− S(t)= 0.

Рис. 1.13. Расчетная схема балки, имеющая одну степень свободы

Подставив в последнее выражение значения сил (соотношения (1.1)–(1.4)), получаем дифференциальное уравнение движения массы:

1.2.1.Свободные колебания систем

содной степенью свободы

При свободных колебаниях отсутствует возмущающая сила P(t). Конечно, при любых обстоятельствах в колеблющейся системе присутствуют силы трения различной природы (R(t) ≠ 0). Эти силы вызывают потери энергии, переданной конструкции в момент начального толчка. По этой причине со временем амплитуда свободных колебаний будет постепенно уменьшаться, пока не станет равной нулю. Такие колебания будем называть затухающими. Вместе с тем определенный теоретический интерес представляет идеальный случай свободных колебаний, когда трение в колеблющейся системе равно нулю (R(t) = 0). В этом случае колебания имеют постоянную амплитуду и затухать не будут.

Рассмотрим первоначально незатухающие свободные колебания системы с одной степенью свободы. В этом частном случае сила инерции равна по величине силе упругого противодействия и противоположна ей по направлению, а уравнение (1.5) приобретает вид:

m&y& + r11 y = 0 ,

получаем дифференциальное уравнение свободных колебаний системы с одной степенью свободы:

которое можно классифицировать как однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение известно из курса высшей математики:

9