612

531 З-635

СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

В.Б. ЗИНОВЬЕВ

СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

НОВОСИБИРСК 2010

ВВЕДЕНИЕ

Настоящий сборник предназначен для самостоятельной работы студентовСГУПСа, изучающих курсы«Техническая механика» или «Основы теории конструирования».

В сборнике содержатся многовариантные задачи по разделам теоретическоймеханики исопротивления материалови примеры их решения. В приложении приведен сортамент стального проката, необходимый для решения задач.

Номера задач и порядок их выполнения сообщает преподаватель. Исходные данные к задачам студент выбирает самостоятельно, при этом во всех задачах по последней цифре шифра выбирается номер рисунка, а номер условия в таблице — по предпоследней. Например, если шифр заканчивается цифрами 54, то выбирают четвертый рисунок и пятое условие из таблицы.

Задача 1. Равновесие плоской системы сил

Постановка задачи. Жесткая рама закреплена как показано на рис. 1. На раму действует пара сил с моментом М = 50 кН∙м, распределенная нагрузка интенсивностью q = 5 кН/м и две силы, направление и точки приложения которых указаны в табл. 1. Кроме того, к раме прикреплен трос, переброшенный через блок, с грузом Р = 8 кН на другом конце.

Приняв a = 0,5 м, определить реакции связей.

3

Пример решения задачи. Дано: рама, приведенная на рис. 2;

F = 20 кН; P = 25 кН; = 60; = 60; q = 10 кН/м; М = 40 кН∙м.

Определить реакции опор.

Рис. 2

Решение. Выбираем в качестве объекта равновесия раму. К объекту равновесия прикладываем активные силы. Действие распределенной нагрузки заменяем на равнодействующую, приложенную в середине участка, величина которой равна Q = q∙2a = 20 кН. Отбрасываем наложенные на объект связи (шарнирнуюнеподвижнуюопорувточкеB,шарнирнуюподвиж-

5

ную опору в точке А, трос в точке С) и заменяем их действия реакциями, натяжение троса по модулю равно P. К раме приложена произвольная плоская система сил. Записываем уравнения равновесия:

Fkx = 0; –RA – Fcos – Tsin + XB = 0;

Fky = 0; –Fsin + Tcos – Q + YB = 0;

mB(Fk) 0;

–RB3a – Fcos a + Fsin 3a – Tcos 3a + Q2a + M = 0.

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции:

R = 41,5 кН; X = 73,1 кН; Y = 24,8 кН.

Задача 2. Определение реакций опор и усилий в стержнях плоской фермы

Постановказадачи.Наплоскуюферму(рис.3)действуютдве силы, величина которых указана в табл. 2.

Стержни фермы считаются невесомыми. Требуется определить опорные реакции и усилия в стержнях фермы и по условию прочности подобрать швеллер (ГОСТ 8240–72). Расчетное сопротивление принять равным 200 МПа, для сжатых стерней коэффициент понижения допустимых напряжений условно при-

нять равным 0,5. Примечание. Если площади одного швеллера недостаточно, следует взять два или три швеллера.

Примечание. Знак «–» обозначает, что направление силы противоположно указанному на рис. 3.

6

Пример решения задачи. Дано: схема фермы (рис. 4),

F1 = 100 кН; F2 = 200 кН; = 30°.

Определить: опорные реакции и усилия в стержнях фермы.

XB

Рис. 4. Расчетная схема

Решение:

Выбираем в качестве объекта равновесия всю ферму в целом, считая нижний левый горизонтальный стержень опорным (связью). Отбрасываем наложенные на объект связи (опорный стержень и шарнирную неподвижную опору в точке B) и заменяем их действия реакциями. К ферме приложена произвольная плоская система сил. Записываем уравнения равновесия:

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции:

RA = –406,3 кН; XB = –406,3 кН; YB = 300 кН.

Выбираем последовательно в качестве объекта равновесия узлы фермы так, чтобы для каждого объекта было не более двух неизвестных усилий (реакций стержней).

Рассмотрим равновесие узла 6. К узлу приложена сходящаяся система сил. Запишем уравнения равновесия:

Fkx = 0; –S65 – S63sin = 0;

8

Fky = 0; –F2 + S63cos = 0.

Решивзаписаннуюсистемууравнений,получимS63 =231,1 кН;

S65 = –116,1кН.

Далее вырезаем узел 3. К нему также приложена сходящаяся система сил. Запишем уравнения равновесия:

Fkx = 0; –S32 + S36sin = 0;

Fky = 0; –S35 – S36cos = 0.

Учитывая, что согласно аксиоме о действии и противодействии S36 = S63, получим S32 = 116,1 кН; S35 = –200 кН.

Далее, поочередно вырезая узлы 5, 2, 4, вычислим усилия в оставшихся стержнях.

Условие прочности при растяжении имеет вид N R, отсюда

нормальное усилие, в нашем случае N = S; R — расчетное сопротивление; — коэффициент понижения допустимых напряжений, принимаемый равным 0,5.

Таким образом:

9

Задача 3. Плоский поперечный изгиб

Постановка задачи. Для балки на двух опорах (рис. 5) с заданной нагрузкой (табл. 4) подобрать сечение из прокатного профиля — двутавра. Сделать проверку прочности балки по нормальным и касательным напряжениям.

Примечание. Знак «–» обозначает, что направление силы противоположно указанному на рис. 5.

Пример решения задачи. Дано: Для балки на двух опорах (рис. 6) определить опорные реакции; построить эпюры Q и М; подобрать сечениеиз прокатных двутавров (поГОСТ 8239–89").

Решение. Найдем опорные реакции из уравнений равновесия:

mB(F) = 0; P∙12 – A∙10 + g∙10∙7 – m = 0.

A 12P 70g m 12 20 70 20 160 148 кН. 10 10

mA(F) = 0; B∙10 + P∙2 – m – g∙10∙3 = 0.

Сделаемпроверкуправильностиопределенияопорныхреакций:

Fky = 0; –P – 10g + A + B = 0. –20 – 10∙20 + 148 + 72 = 0.

Так как горизонтальных сил на балке нет, то из уравненияFky = 0 горизонтальная реакция в точке А равна нулю.

Построение эпюр. Балку разделим натри участка. Напервом и втором участках построение эпюр ведем от сил слева, а на третьем — от сил справа.

10