585
.pdfВылегжанин Игорь Альбертович Пожидаев Александр Васильевич Остроменский Петр Иванович Шандаров Леонид Гаврилович
Практикум по высшей математике
для технических специальностей
Часть I
НОВОСИБИРСК : СГУПС
2011
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Высшая математика необходима студентам и будущим инженерам, в первую очередь, как эффективный инструмент исследования математических моделей технических объектов, соответствующих их будущей специальности. Метод математического моделирования является основным методом построения и изучения учебных дисциплин физико-математического цикла (физика, теоретическая механика, сопротивление материалов, теория автоматического управления и т.д.).
В практической инженерной деятельности этот метод, реализуемый в виде вычислительных экспериментов на компьютере с математическими моделями исследуемых объектов, является наиболее быстрым, эффективным и экономически выгодным средством получения новой информации об указанных объектах. Такая информация необходима для научно обоснованного принятия решений при проектировании новых объектов, при диагностике отказов, анализе и моделировании нештатных и аварийных ситуаций, возможных при эксплуатации объектов техники.
При обучении высшей математике будущих инженеров должны быть успешно решены две наиболее важные и взаимосвязанные учебные проблемы:
1)формирование устойчивых знаний, навыков и умений решения различных типов математических задач, широко используемых при изучении учебных дисциплин физико-математичес- кого цикла и в инженерных расчетах, основанных на математическом моделировании технических объектов, соответствующих будущей инженерной специальности;
2)развитие знаний, навыков и умений по технологии математического моделирования технических систем на примерах прикладных задач, адаптированных к уровню математических, физических и технических знаний студентов первого и второго курсов. При этом основное внимание должно быть уделено вычислительным аспектам метода математического моделирования.
На старших курсах при изучении большинства учебных инженерных дисциплин продолжается более полное и осознанное овладение методом математического моделирования инженерных задач с применением компьютеров. В дальнейшем искусство ма-
4
тематического моделирования должно совершенствоваться в течение всей активной инженерной деятельности.
Внастоящем сборнике все задачи делятся на «чисто» математические и прикладные.
Математические задачи предназначены для решения первой учебной проблемы. В настоящем сборнике такие задачи составляют около 80 % от общего числа задач. Для решения указанных задач необходимы и достаточны знания школьной математики, а также изученные и изучаемые разделы высшей математики.
К прикладным задачам относятся задачи, поставленные вне математики и решаемые средствами математики. Каждую такую задачу в общем случае необходимо предварительно формализовать и преобразовать в математическую, т.е. получить математическую модель реального объекта, описанного в постановке прикладной задачи на языке математики (см. приложение).
Вучебных прикладных задачах, приведенных в практикуме, использованы известные математические модели технических объектов, которые адаптированы для учебных целей и кратко описываются в качестве пояснений к задаче. Основное внимание уделено решению математической задачи, соответствующей математической модели инженерного объекта и цели исследования.
Вприложении к практикуму приведены исходные положения метода математического моделирования и пример решения реальной инженерной задачи указанным методом.
Практикум включает все разделы математики, которые соответствуют учебным рабочим программам по математике для инженеров технических специальностей по направлениям: строительство зданий, сооружений, железных и автомобильных дорог; эксплуатация подъемно-транспортных, строительных и дорожных машин, а также транспортного оборудования с общим объемом от 570 до 650 часов.
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
N — множество натуральных чисел
Z — множество целых чисел
Q — множество рациональных чисел
R — множество действительных чисел
5
C — множество комплексных чисел
r— алгебраический (арифметический) вектор
r, OA— геометрический вектор
Vn — векторное пространство размерности n
Rn — точечное координатное пространство размерности n M (a1,a2,a3) — точка с координатами a1,a2,a3
r= (a1,a2,a3) — вектор с координатами a1,a2,a3
—определитель
(A), A ,det A — определитель матрицы A
СЛАУ — система линейных алгебраических уравнений
— следует
— равносильно
≡ — тождественно равно— эквивалентно— включает
— включает или равно
— принадлежит
— не принадлежит
— объединение множеств ∩ — пересечение множеств
↑↑ — сонаправленность векторов ↑↓ — противоположная направленность коллинеарных век-
торов Σ — сумма
n! — факториал
= ... = — промежуточные вычисления в примере опущены и должны бытии восстановлены студентами при изучении примера самостоятельно
6
Цель расчетов – понимание, а не числа.
Р.В. Хемминг [8]
Тема 0: ВВЕДЕНИЕ В КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
0.10. Исходные положения теории множеств
Современная математика строится и изучается на основе теории множеств. Множество относится к первичным (исходным) математическим понятиям, которые формально не определяются. Под множеством подразумевают любую совокупность некоторых математических объектов, объединенных по определенному признаку.
Примеры: множество четных чисел, меньших 100; множество сторон многоугольника; множество точек на отрезке прямой
ит.п.
Вприкладных задачах синонимами понятия «множество» являются «совокупность», «собрание», «группа», «семейство» и т.д.
Объекты, из которых состоит множество, называют элементами и подмножествами. Элемент множества рассматривается как единое целое, неразложимое на более простые части. Подмножество – часть множества, включающая в себя некоторые (или все) элементы множества (подмножество может не включать в себя ни одного элемента множества, в этом случае оно называется пустым множеством и обозначается ).
Пример. Множество натуральных чисел N: 1, 2, 3, ... . Его подмножествами являются, например, множество четных чисел; множество чисел, не превосходящих 1000; множество, состоящее
из одного числа {1}, и т.п.
|
Множества и подмножества обычно обозначаются заглавны- |
|
ми |
(обычно латинскими) буквами (иногда с индексами) |
|
A, |
B, C,..., X , Y, Z |
или A1, A2 , A3, ..., а их элементы — малыми |
буквами a, b, c,... |
или a1, a2, a3,.... |
|
Для обозначения отношений между множествами и элементами используют следующие условные знаки:
B A множество B является подмножеством множества A (в частности, эти множества могут совпадать);
B A множество B является подмножеством множества A и при этом B не совпадает с A;
7
a A элемент a принадлежит множеству A;
a A элемент a не принадлежит множеству A. Множества можно задавать двумя способами:
1) перечислением всех элементов множества, например,
A= {a1, a2 , ..., an};
2)указанием характеристического свойства (признака, правила), позволяющего определить любые элементы множества:
A= {a | п ризн ак(п равило )} .
Примеры: 1) A = |
{ |
|
} |
|
|
a | a N, a <100 |
— множество нату- |
||
ральных чисел, меньших 100; |
|
|
||
2) X = {x | x R, x2 < 2, x ≠ 0} |
— множество, действительных |
|||
чисел, квадраты которых меньше двух и не равны нулю.
В примере 2) x — любой элемент из множества X. Такие элементы, которые могут принимать любое значение из заданного множества, называют переменными величинами.
Определение: переменная величина x — это математическая величина, которая может принимать любое значение из заданного множества X.
Переменная величина считается заданной, если задано множество всех ее возможных значений.
Если множество значений переменной величины содержит только один элемент, то такая величина называется постоянной.
Математические величины являются обобщением физических величин, которые, в свою очередь, являются результатами измерений физических объектов, однородных по измеряемому признаку. В качестве переменных величин в высшей математике используют числа, векторы и другие математические объекты.
Определение: между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества A соответствует только один элемент множества B и наоборот, каждому элементу множества B соответствует один элемент множества A.
Если между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие, то эти множества называют равномощными или эквивалентными и пишут A B.
Примеры: 1) A = {a, b, c, d} , B = {1, 2, 3, 4} , A B.
2) Множество действительных чисел равномощно множеству неотрицательных действительных чисел (т.е. своей части). Необ-
8
ходимое взаимно однозначное соответствие задается формулой y = 2x; x R .
0.1.10. Операции с множествами
Определение: Объединением множеств A и B называется множество A B = {x | x A èëè x B} .
Определение: Пересечением множеств A и B называется
множество A∩ B = |
{ |
|
} |
|
|
|
|
x | x A è x B . |
|
|
|||
Замечание: Если требуется записать, что объединяются или пересека- |
||||||
ются n множеств X1, X2 ,..., Xn , то это обозначается |
n |
или, соответ- |
||||
U Xi |
||||||
n |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ственно, I Xi . |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
Определение: Разностью |
множеств A |
и B |
называется |
|||
множество A \ B = |
{ |
|
|
} |
|
|
|
x | x A è x B . |
|
|
|||
Определение: Декартовым (или прямым) произведением |
||||||
множества A на |
|
множество B |
называется |
множество пар: |
||
A B = {(x, y) | x A è y B} . |
|
|
|
|||
Для наглядного изображения пересечения, объединения и разности множеств используют круги Эйлера (рис. 1):
Рис. 1. Операции с множеством
9
{ |
} |
|
{ |
|
} |
Пример. Даны множества A = 1; 2; 3; 4; 5 и B = |
|
4; 5; 6 . |
|||
а) Перечислить все элементы множеств |
A B, |
A∩ B, |
A \ B, |
||
B \ A; |
|
|
|
|
|
б) Перечислить все элементы множества A× B. |
|
|
|
|
|
Решение: а) По определению объединения множеств |
A B, |
||||
оно содержит те и только те элементы, которые содержатся хотя
бы |
в одном |
из множеств A или B, значит, A B = |
||
= |
{ |
1; 2; 3; 4; |
5; |
} |
|
6 . |
|||
По определению пересечения множеств A∩ B, оно содержит те и только те элементы, которые содержатся как во множестве A, так и во множестве B, значит, A ∩ B = {4; 5} .
По определению разности множеств A \ B, оно содержит те и только те элементы, которые содержатся во множестве A и не содержатся во множестве B, значит, A \ B = {1; 2; 3}. Аналогично,
B \ A = {6} .
б) Декартово произведение A× B состоит из всевозможных пар, первые элементы которых являются элементами множества A, а вторые – элементами множества B: A× B = {(1; 4),(1; 5),(1; 6),
(2; 4), (2; 5),(2; 6),(3; 4),(3; 5),(3; 6),(4; 4),(4; 5),(4, 6),(5; 4),
(5; 5),(5; 6)}.
Задачи к разделу 0.10
0.1.1. С помощью определений элемента множества или подмножества доказать, что множества A и B не равны
а) A = {{1; 2}; {3; 4}}, B = {1; 2; 3; 4};
б) A = {{1; 2; 3}; 4}, B = {1; 2; 3; 4};
в) A = {{1; 2; 3}; 4}, B = {{1; 2}; {3; 4}}.
0.1.2. Доказать равномощность множеств а) A = {1; 2; 3; 4} и B = {a; b; c, d} ;
б) множество целых чисел от 1 до 33 и множество букв русского алфавита;
в) множество натуральных чисел и множество четных чисел;
10
г) множество чисел отрезков [0;1] и [2; 10];
д) множество действительных чисел и интервал − π ; π .2 2
0.1.3. Даны множества A = |
{ |
} |
|
{ |
} |
1; 2; 3; 4 и B = |
|
3; 4; 5 . |
|||
а) Перечислить все элементы множеств |
A B, A∩ B, A \ B, |
||||
B \ A;
б) Перечислить все элементы множеств A× B, B × A, A× A. 0.1.4. Даны множества A = {a; b} и B = {×; ; &}.
а) Перечислить все элементы множеств A× B, B × A, A× A; б) Перечислить все элементы множеств A× A× A, A× B× A. 0.1.5. Сколько различных подмножеств содержит множество а) состоящее из четырех элементов; б) состоящее из пяти элементов; в) состоящее из шести элементов.
Догадайтесь, сколько различных подмножеств содержит множество, состоящее из n элементов.
0.1.6. Для множеств A и B найти A B, A ∩ B, A \ B, B \ A
а) A = |
[ |
] |
B = |
[ |
2; 5 |
] |
; |
|
б) A = |
( |
|
) |
, |
B = |
( |
2; 5 |
) |
; |
|||||
1; 3 , |
|
|
|
|
1; 3 |
] |
( |
|
|
||||||||||||||
в) A = |
[ |
|
) |
, B = |
( |
2; 5 |
] |
; |
г) A = |
[ |
|
|
B = |
2; 5 |
) |
. |
|||||||
1; 3 |
|
|
|
|
1; 3 , |
|
|
|
|||||||||||||||
0.1.7. Для множеств A и B найти |
A B, A ∩ B, A \ B, B \ A, |
||||||||||||||||||||||
[ |
|
] |
|
{ |
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если A = 1; 3 , |
|
B = 1; 2; 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0.1.8. С помощью кругов Эйлера доказать тождества а) A (B ∩ C) = (A B)∩ (A C);
б) A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C);
в) A \ (B C) = (A \ B)∩ (A \ C).
0.20. Числовые множества действительной переменной
Натуральными числами называются числа 1, 2, 3, 4, и т.д. Множество натуральных чисел обозначается N и является исходным числовым множеством.
Определе ние: Множеством целых чисел называется множество Z = {k |k = ±n, n N} {0}.
11
Определе ние: Множеством рациональных чисел называ-
m |
|
|
ется множество Q = |
|
/ m, p Z; p ≠ 0 . |
|
||
p |
|
|
Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Числа, которые нельзя представить в таком виде, называются иррациональными. Примеры иррациональных чисел: π = 3,14159...,
e = 2,71828..., 
2 =1,4142....
Любое иррациональное число всегда можно представить приближенно рациональным числом с любой точностью.
Действительными числами будем называть числа, которые можно представить в виде бесконечной десятичной дроби,
например: π = 3,14159.....; 1 = 0,33333.....; 7 = 7,00000..... и т. 3
п.
Множество действительных чисел обозначается R. Очевидно, что N Z Q R.
Множества рациональных и действительных чисел обладают тем свойством, что между двумя числами содержится бесконечно много других чисел.
Множество действительных чисел можно представить так: R = {x / − ∞ < x < ∞}. Символы −∞ и ∞ не являются числами; они
являются символами неограниченности отрицательных и положительных значений действительных чисел.
0.2.10. Абсолютная величина (модуль) действительного числа
Определе ние: Модулем x действительного числа x назы-
вается неотрицательное действительное число, удовлетворяющее определению:
x, åñëè x ≥ 0 x = −x, åñëè x < 0.
Свойства модуля: 1) x y = x y ; 2) x = x y y
12