572
.pdf
531 С232
СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
CБОРНИК ЗАДАЧ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ (СТАТИКА)
НОВОСИБИРСК 2010
УДК 531.1
С232
Cборник задач повышенной сложности по теоретической механике(статика)/Сост.Л.И.Ким,В.Б.Зиновьев,А.М.Попов.
— Новосибирск: Изд-во СГУПСа, 2010. — 40 с.
Сборник содержит задачи повышенной сложности по всем основным разделам статики. Приведена методика и примеры решения задач.
Издание предназначено для студентов, обучающихся по техническим специальностям.
Рассмотрен и рекомендован к изданию на заседании кафедры «Теоретическая механика».
Ответственный редактор д-р техн. наук, проф. А.М. Попов
Р е ц е н з е н т ы:
доц. кафедры «Теоретическая механика и сопротивление материалов» НГТУ, канд. техн. наук А.А. Рыков
доц.кафедры«Строительнаямеханика»СГУПСа,канд.техн.
наук В.В. Шушунов
Ким Л.И., Зиновьев В.Б., Попов А.М., сост., 2010
Сибирский государственный университет
путей сообщения, 2010
ВВЕДЕНИЕ
В первой части данного сборника приведены условия задач повышенной сложности, охватывающие все основные темы теоретической механики по разделу статики. К задачам, отмеченнымзвездочкой, вовторой частисборникаприведеныподробные решения. Третья часть сборника содержит ответы ко всем задачам.
Задачи имеют различный уровень сложности, что позволяет использовать их как при подготовке студентов к олимпиадам по теоретической механике, так и при углубленном изучении методик решения сложных задач на практических занятиях.
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ |
|
1. Тяжелая балка ОА, закрепленная |
|
одним концом в шарнире О, опирается в |
|
точке В на шар весом Р, лежащий на |
|
неподвижной горизонтальной плоскости. |
|
Определить угол при равновесии, если |
|
коэффициент трения шараобалку игори- |
|
зонтальнуюплоскостьодинаковиравенf. |
Рисунок к задаче 1 |
2. В плоском |
|
механизме звенья невесомы, связи идеальные. К цилиндру 1 приложен известный момент Mвр пары сил. Найти величину деформации пружины, если жесткость пружины равна с и механизм в указанном на рисунке положении, определенном углом , находится в покое.
Рисунок к задаче 2 |
Стержень 2 |
может свободно скользить в |
|
||
цилиндре 1. |
|
|
3
3. Однородное кольцо весом Р свободно опирается в точках А и В на неподвижные призмы, которые расположены соответственно на вертикальном и горизонтальном диаметрах кольца. Считая коэффициенты трения кольца о призмы одинаковыми,определить такоеихзначение, при котором точечный груз С весом Q, закрепленный в любом месте правой по-
ловины кольца, будет оставлять последнее в покое. Поперечными размерами кольца пренебречь.
4. Тяжелая тонкая однородная прямоугольная плита OABD весом Q удерживается в горизон-
тальном положении сферическим шарниромО,цилиндрическимшарниром А и тонким тяжелым стержнем СB весом Р. Стержень прикреплен сферическими шарнирами к плите в точке В и к вертикальной стене в точке С. Считая трение во всех шарнирах пренебрежимо малым и угол известным, найти составляющую реакции цилиндрического шарнира А, параллельную оси Оу, используя принцип возможныхперемещений.Полученное решениепроверитьспомощьюуравнений статики.
5. В плоском механизме на кри-
вошип О А действует пара сил с
1
известным моментом M1. Найти
минимальное значение момента М2 пары сил, приложенной к звену 3 и обеспечивающей равновесие механизма в указанном на рисунке положении, если АО1О2 = 90°, О1О2A = , О1A = r, CО2 = О2D = a, коэффициент трения между стержнем 2 и втулкой 3 равен f, трение в шарнирах О1, А, О2 пренебрежимо мало, все звенья механизма невесомые, контакт стержня 2 со втулкой 3 имеет место только в точках С и D.
4
6.В плоском механизме стержень OA может вращаться вокруг шарнира O, перемещая шток ВС в идеально гладких направляющих KL. Расстояние между шарниром и направляющими — l. Поверхность контакта между стержнем и штоком в точке В—шеро- ховатая, коэффициент трения скольжения —f.Найтиминимальноезначе- ние момента M пары сил, действующей на стержень ОА и обеспечивающей равновесие механизма при заданных значениях угла и силы Р. Весом стержней пренебречь.
7.Определить усилие S в стержне АВ плоской фермы, закрепленной и нагруженной,какуказано нарисунке.
8.Цилиндр 1 весом Q1 опирается на дваодинаковыхцилиндравесаQ2,как показано на рисунке. Коэффициент трения скольжения между цилиндрами равен f. Определить максимальный угол и минимальный коэффи-
циент трения f0 между цилиндрами2 и 3 и опорной поверхностью.
9.К твердому телу приложены две
пары сил с моментами m1 и m2, расположенными в плоскостях A1x + B1y +
+C1z + D1 = 0 и A2x + B2y + C2z + D2 = = 0 соответственно. Определить про-
екции момента т результирующей пары на координатные оси.
10. Две тяжелые точки M1 и М2 соединены между собой невесомым жесткимстержнем,находящимсявнутри гладкой сферы. Длина стержня и радиус сферы равны. Определить при равновесии угол между стержнем и
Рисунок к задаче 6
Рисунок к задаче 7
Рисунок к задаче 8
Рисунок к задаче 10
5
горизонтом, если масса точки M2 в два раза больше массы
точки М1.
11. Цилиндр весом Q и ради-
усом R лежит на шероховатой плоскости, наклоненной к горизонту под углом , и удерживается тросом, намотанным на барабан ступенчатого вала диа-
метром D. На барабан диаметром d намотан трос, к концу которогоподвешенгрузВвесомР.Коэффициенттрениякачения цилиндра А о плоскость равен , коэффициент трения скольжения равен f, при этом tg > /R, f >
/R. При каких значенияхРсистема будет находиться в равновесии?
12*. Два диска радиусами R и r, расположенные на горизонтальной плоскости, стянуты упругой нитью жесткостью c. Диски давят друг на друга с силами, равными Q. Как изменится длина нити, если ее перерезать?
13. Главные моменты некоторой системысилотносительноцентровО, А и В одинаковы по величине MO = = MA = MB = m. Главный вектор этой системы сил по величине равен V и параллелен оси z; ОА = a, ОВ = b. Определитьуглы,составляемыеглавными моментами МО, MA, MB с плоскостью хОу.
14. Однородная равносторонняя пластинка весом Р стороной AB = l опирается на горизонтальный пол ХОY, ее стороны АС и ВС касаются стен ХОZ и YОZ. Пренебрегая трением,определитьсилуF,удерживавшую пластинку в равновесии.
6
15.Наверхнейгранипрямоугольного бруса А весом P1 находится прямоугольный брус В весом Р2. Брус А опирается нижнейграньюнагоризонтальнуюплоскость,причемкоэффициенттрениямежду ними равен f1. Коэффициент трения
между брусками А и В равен f2. К брусу В приложили силу под углом к горизонту. При каких значениях силы F системабудет оставаться в равновесии?
16. В антипараллелограмме О1АВО2 длины звеньев равны соот-
ветственно О А = О В = а, АВ = |
|
1 |
2 |
= О1О2 = b (b > а). Механизм находится в равновесии под действием
вращающихся моментов М1 и М2,
приложенных к звеньям О А и О В.
1 2
Определить отношение М2/М1, если O2В О1О2.
17. Призма В опирается на клин А и вертикальную стену. Массы призмы и клина одинаковы. Трение между клином и призмой пренебрежимо мало. Коэффициенты трения между клином и полом, призмой и стеной одинаковы и равны f. Наклонная плоскость клина составляет с горизонтом угол .
При каких значениях f призма и клин будут оставаться в покое? 18. Концы расположенного в
вертикальной плоскости тяжелого однородного стержня могутскользитьвпрорезяхвзаимноперпендикулярных плоскостей ОD и ОЕ. Плоскость ОD составляет с горизонтомугол . Пренебрегаятрением, определить значение угла при равновесии стержня. Будет ли
положение равновесия стержня устойчивым?
7
19. Однородный стержень длины а опирается одним концом А на гладкую вертикальную стенку, другим В — на гладкий профиль, расположенный в вертикальной плоскости. Какова должна быть форма профиля, чтобы стержень мог оставаться в покое в любом положении?
20. Система, состоящая из двух ша- Рисунок к задаче 19 ров А и В с весами Р1 и Р2 (Р1 > P2) и
соединяющего их невесомого стержня длиной l, помещена в
среднего стержня на цилиндр в зависимости от длины l боковых стержней, если к их концам приложены одинаковые силы Р, направленные вертикально вниз.
28. Главные моменты системы сил относительно центров O, А, Внаправлены как указано на чертеже и равны по
величине: MО = М, MА = 4M, MВ = 5M. Докажите, что система сил приводится к равнодействующей, определите модуль равнодействующей.
29. Цепь, состоящая из n одинаковых стержней,подвешенаввертикальнойплоскости. Р — вес одного стержня; Q — заданная горизонтальная сила; O, А1, А2, …, Аn — шарниры. Найти углы k (k = 1, 2, ..., n) стержней с вертикалью в положении равновесия.
30. Главные моменты системы сил относительноцентровOиАравныМО и MА и направлены как указано на чертеже. Докажите, что система сил не имеет равнодействующей. Определите проекцию главного вектора системы на плоскость ХОZ.
31. Цилиндр весом Р опирается на два одинаковых параллелепипеда тем же весом. Радиус цилиндра r и размеры параллелепипедов а и h заданы. Коэффициент трения между параллелепипедамиигоризонтальнойплоскостьюравен f. Какимусловиямдолжно удовлетворять расстояниеbмеждупа-
раллелепипедами для того, чтобы система находилась в равновесии? Трением между цилиндром и параллелепипедами пренебречь.
32. Конструкция, изображенная на рисунке, состоит из четырех одинаковых стержней массы Ми длины l каждый, соединен-
1 0