Индивидуалка №4 / Янковий О.Г. Метод. вказівки. ВФ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Одеський національний економічний університет

Методичні вказівки до самостійної роботи

під час вивчення теми «Моделювання і аналіз економічних показників на основі виробничих функцій» дисципліни «Економіко-математичні методи в підприємництві» для студентів 4 курсу бакалаврського рівня всіх форм навчання спеціальності 076 «Підприємництво, торгівля та біржова діяльність»

Одеса ОНЕУ 2022

1

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Одеський національний економічний університет

Методичні вказівки до самостійної роботи

під час вивчення теми «Моделювання і аналіз економічних показників на основі виробничих функцій» дисципліни «Економіко-математичні методи в підприємництві» для студентів 4 курсу бакалаврського рівня всіх форм навчання спеціальності 076 «Підприємництво, торгівля та біржова діяльність»

Затверджено на засіданні кафедри економіки підприємства та організації підприємницької діяльності Протокол № 1 від 31 серпня 2022 р.

Одеса ОНЕУ 2022

2

Методичні вказівки до самостійної роботи під час вивчення теми «Моделювання і аналіз економічних показників на основі виробничих функцій» дисципліни «Економіко-математичні методи в підприємництві» для студентів 4 курсу бакалаврського рівня всіх форм навчання спеціальності 076 «Підприємництво, торгівля та біржова діяльність». Одеса: ОНЕУ, 2022. 32 с.

Укладач: О. Г. Янковий, д-р екон. наук, професор

Рецензенти: Ю. О. Ольвінська, канд. екон. наук, доцент (зовнішній рецензент)

Р. В. Грінченко, д-р екон. наук, доцент Г. В. Кошельок, д-р екон. наук, доцент

3

ЗМІСТ

ВСТУП……………………………………………………………………..5

1.Моделювання та аналіз економічних взаємозв’язків на основі виробничих функцій ………………………………………………… 6

2.Функція Кобба-Дугласа ……………………………………………… 8

3.CES-функція або функція з постійною еластичністю

заміщення факторів …………………………………………………. 15

ПИТАННЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЮ…………………………………. 28

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНИХ ДЖЕРЕЛ…………………………… 29

4

ВСТУП

Відображаючи в стислій формі один із головних економічних процесів – процес виробництва продукції, виробничі функції (ВФ) служать корисним інструментом, дозволяють проводити різноманітні аналітичні розрахунки,

визначати ефективність використання ресурсів і доцільність їхнього додаткового залучення у виробництво, прогнозувати випуск продукції і контролювати реальність планових проєктів.

На макрорівні розраховують агрегатні функції для кожної країни.

Наприклад, у 20-30-х роках ХХ 5аб. такі дослідники, як П. Дуглас, Р. Солоу, Е.

Денісон обчислювали ВФ американського виробництва, в середині минулого сторіччя Я. Тінберген здійснив відповідні розрахунки для Німеччини, Франції,

Великої Британії, США. На 5абл.5івні існують сотні тисяч подібних математико-статистичних моделей, оскільки кожне підприємство має свою ВФ,

яка вказує на існування даної альтернативної можливості одержання певного обсягу продукції при конкретному співвідношенню між виробничими факторами. Вона характеризує технологічний спосіб виробництва, обраний даним підприємством.

Ідейними передвісниками теорії ВФ були представники неокласичної теорії виробництва, започаткованої Ж.Б. Сеєм і Г. Тюрго у другій половині ХVIII 5аб., яка набула свого завершення у працях американського економіста Дж. Б. Кларка та англійського теоретика А. Маршалла. Значний розвиток теорія виробництва отримала в працях німецького землевласника Й.Г. фон Тюнена,

який ще на початку ХIХ 5аб. сформулював новаторську ідею про взаємо-

залежність факторів виробництва, яка знайшла відображення у ВФ.

В економічну теорію термін «виробнича функція» було введено в 1890 р.

англійським математиком А. Беррі, який співробітничав із засновником неокласичної теорії А. Маршаллом при підготовці математичного додатка до книги «Принципи економічної науки».

5

1. МОДЕЛЮВАННЯ ТА АНАЛІЗ ЕКОНОМІЧНИХ ВЗАЄМОЗВ’ЯЗКІВ

НА ОСНОВІ ВИРОБНИЧИХ ФУНКЦІЙ

Виробничі функції є важливим класом множинних математико-

статистичних моделей, що набули широкого поширення при описі залежностей обсягів виробництва від величини витрат основних ресурсів підприємства – факторів виробництва.

Важливими властивостями факторів виробництва є їх взаємо-

доповнюваність та взаємозамінність. Взаємодоповнюваність благ – це їхня здатність задовольняти потреби тільки в комплекті один з одним. Відсутність хоча б одного з факторів, що взаємодоповнюються, унеможливлює випуск продукції. Понад те, деякі види виробництва характеризуються жорсткими

(лімітаційними) співвідношеннями між чинниками виробництва, тобто. Певний результат може бути досягнутий за єдиної ефективної комбінації витрат факторів.

У ряді випадків виробничі фактори мають властивість взаємозамінності

(субституційності), яка буває абсолютною, коли витрати одного з факторів виробництва можуть бути повністю замінені кінцевим збільшенням витрат іншого фактора. І відносною – певна кількість одного з факторів може бути заміщена додатковою кількістю іншого.

Субституційні чинники можуть комбінуватися у процесі виробництва, у

різних пропорціях, що з розмаїттям їх споживчих властивостей і різної економічної ефективністю використання. Підприємець, керуючись принципами економічної раціональності та оптимальності, обирає таку технологію виробництва, за якої дефіцитний чи порівняно дорогий фактор використовуватиметься у менших обсягах порівняно з іншими ресурсами.

Взаємозамінність та взаємне доповнення факторів виробництва характеризує порівняно усталена економіко-математична модель, що отримала в науці назву виробнича функція. Вона характеризує співвідношення між

6

факторами X1, X2, …, Xm та обсягом продукції Y, яка виробляється за допомогою даного набору ресурсів, і виражається такою формулою:

де f – деяка математична функція, наприклад, лінійна, ступенева;

ε – випадкова компонента, що відображає сумарну дію випадкових факторів

Найбільш популярною в економічних дослідженнях є ВФ з двома агрегованими факторами виробництва – основним капіталом та працею, що подається у такому вигляді (рис. 1):

де К – витрати основного капіталу; L – витрати праці.

Y

M

K0 L0

0

Рис. 1 – Виробнича поверхня двофакторної ВФ

Обсяг виробленої продукції Y зазвичай вимірюється вартісними показниками. У разі ринкового виробництва це показник реалізованої

7

продукції. Виробничі ресурси представляються двома агрегованими показниками, які відображають витрати живої та уречевленої праці на підприємстві. Так, витрати уречевленої праці виступають у вигляді агрегованого показника – капіталу К та вимірюються величиною його середньої річної вартості. При цьому під капіталом зазвичай розуміють основний капітал

(середня річна вартість основних фондів підприємства). У ролі вимірника живої праці L використовується один із наступних показників: 1) середня облікова чисельність працівників; 2) відпрацьований час (люд-днів, люд-годин); 3) фонд заробітної плати працівників чи робітників.

Розглянемо найбільш застосовувані в економічних дослідженнях двофакторні ВФ за зростанням їхньої популярності.

2. ФУНКЦІЯ КОББА-ДУГЛАСА. Піонерною науковою роботою в галузі практичної побудови ВФ є стаття американських професорів з економіки П. Дугласа та математика Ч. Кобба 1928 р. У ній вперше у явному вигляді було математично конкретизовано та емпірично оцінено зв’язок між обсягом випуску продукції Y та двома головними факторами – витратами основних виробничих фондів K і праці L США. Ця залежність була отримана шляхом підбору математичної функції до наявних статистичних спостережень:

де А – коефіцієнт шкали; α, β – невідомі параметри, що відображають еластичність випуску продукції за виробничими факторами.

Величина коефіцієнта шкали А в загальному випадку характеризує ефективність функціонування досліджуваної ринково-виробничої системи: за інших рівних умов чим вище невід’ємне значення А, тим більше випуск продукції Y забезпечує відповідний товаровиробник, і навпаки.

8

Математичний апарат моделювання заснований на лінеаризації ВФ шляхом логарифмування вихідних даних Y, K, L. Так, функція (3) в результаті логарифмування набуває вигляду:

Позначив lnY = Y , lnA = A , lnK = K , lnL = L , отримаємо звичайну лінійну модель

параметри якої легко оцінюються методом найменших квадратів за допомогою редактора Excel (пакет аналізу, стандартна програма «Регресія»).

При цьому необхідно звертати увагу на наступний момент: після оцінки величини A необхідно здійснити її потенціювання для визначення параметра

А = ехр(A ) шуканої ВФ.

Розглянемо порядок побудови та використання ВФ Кобба-Дугласа у процесі моделювання економічної динаміки групи з 8 підприємств за такими вихідними умовними даними (9абл.. 1).

Таблиця 1 – Вихідні дані для розрахунку ВФ

групи підприємств, тис. 9абл.

Логарифмовані дані для розрахунку параметрів ВФ Кобба-Дугласа наведені в 9абл.. 2.

9

Розрахунки параметрів ВФ проводилися на персональному комп’ютері з використанням стандартних програм «Кореляція» та «Регресія» редактора

Excel.

Таблиця 2 – Логарифмовані вихідні дані

Визначення матриці коефіцієнтів парної кореляції між змінними lnY і lnK, lnL (10абл.. 3) показало, що між ними існують доволі щільні лінійні зв’язки (rij

> 0,638).

Таблиця 3 – Матриця коефіцієнтів парної кореляції

між змінними ВФ Кобба-Дугласа

Високі значення коефіцієнтів парної кореляції між результативною змінною lnY і факторами lnK, lnL дають підстави вважати, що майбутня модель досить точно описуватиме імовірнісні залежності між досліджуваними економічними показниками підприємства. В результаті обчислень у редакторі

Excel було отримано таку функцію:

Тут величина А знаходиться шляхом потенціювання знайденого значення

lnA = 1,4945 (А = exp(1,4945) = 4,4572).

10