3832

АФХ Wри(j ) (рис. 5.9, а) следует, что при замыкании системы пара корней характеристического полинома перейдет через мнимую ось в правую полу-

плоскость: кривая охватывает точку (-1,j0) по часовой стрелке. На том же ри-

сунке штриховой линией изображена желаемая или деформированная АФХ

Wpc(j ) скорректированной системы.

Если передаточная функция разомкнутой системы минимально-фазовая

(не имеет правых нулей и полюсов), то при переходе к логарифмическим частотным характеристикам можно ограничиться построением только соот-

ветствующей амплитудно-частотной характеристики. Особенно удобны ЛАЧХ (рис. 5.9, б).

В типовых одноконтурных системах с единичной отрицательной ОС передаточная функция разомкнутого контура

Wp ( s)

Bp( s )

Ap (s ) ,

однозначно определяет характеристический полином замкнутой системы

A3( s ) Ap ( s ) Bp ( s ),

а также передаточные функции управлению

и ошибке относительно управляющего воздействия

Поэтому, формируя желаемым образом передаточную функцию Wp(s),

можно удовлетворить многообразие требований к замкнутой системе: вос-

произведения и подавления низкочастотных воздействий, устойчивости, по-

давления высокочастотных помех, ослабления влияния вариации операторов звеньев.

Формирование желаемой передаточной функции Wрж(s), по существу, 461

означает выбор рационального размещения нулей и полюсов при заданном коэффициенте передачи контура. Для минимально-фазовых систем наиболее удобно такой выбор проводить на базе асимптотических ЛАЧХ, изломы ко-

торых соответствуют модулям нулей и полюсов. По ЛАЧХ непосредственно оцениваются усиления контура на частотах модулей и полюсов, и, следова-

тельно, можно приближенно судить о степени перемещения полюсов при за-

мыкании контура с данным коэффициентом передачи.

Метод коррекции инвариантных систем в комплексно-частотной об-

ласти сводится к обеспечению тождества передаточной функции скорректи-

рованного контура Wpc(s) желаемой:

где Wk(s) – передаточная функция звена коррекции.

Основными этапами решения задачи коррекции являются:

формирование желаемой передаточной функции разомкнутого контура;

выбор места включения звена коррекции (топологический синтез);

определение передаточной функции звена коррекции (структуры опе-

ратора и значений параметров), удовлетворяющих тождеству (5.30).

Формирование желаемых передаточных функций /7/. Синтез систем по требованиям селективной инвариантности дает систему с большими по модулю значениями передаточной функции разомкнутого контура Wри(s) на спектре воздействий. Желаемая передаточная функция Wрж(s) должна иметь те же полюсы воздействия, что сохранит свойство селективной инвариантно-

сти к таким воздействиям (в случае нулевых полюсов – астатизм). Поэтому на частотах существенных воздействий модули желаемой передаточной

формирование его передаточной функции вне спектра отрабатываемых воз-

действий, а именно, на более высоких частотах. При этом необходимо учи-

462

тывать, что повышение усиления контура на частотах f приводит при замыкании контура к сильным перемещениям тех полюсов передаточной функции Wp(s),модули которых лежат в области f . Исключение составляют диполи. Если в области f нет нулей передаточной функции Wp(s),то корни характеристического полинома замкнутой системы A3(s), будут большими по модулю, чем f. Таким образом, требования точности отработки непосредст-

венно не измеряемых воздействий определяют более низкочастотные харак-

теристики контура по сравнению с собственными частотами системы.

В области высоких частот контур должен иметь малое усиление. Это обеспечивает подавление высокочастотных помех и невмешательство в ту область, где модель не адекватна описываемым элементам и объекту (об-

ласть немоделируемой динамики). Малое усиление контура в области высо-

ких частот приводит к тому, что характеристический полином замкнутой системы будет иметь корни, близкие к большим по модулю полюсам переда-

точной функции Wp(s). Желаемая передаточная функция обычно содержит большие по модулю устойчивые полюсы исходной передаточной функции.

Таким образом, формирование желаемой передаточной функции сво-

дится к выбору средних по модулю полюсов и нулей. Именно они определя-

ют желаемые корни характеристического полинома и, в основном, вид пере-

ходных процессов.

В области средних частот усиления контура близки к единице, а ЛАЧХ пересекает ось абсцисс.

Можно выделить два основных подхода к формированию желаемых передаточных функций в области средних частот. Как известно, переходные процессы возникают из-за посленачальных условий, вызванных воздейст-

виями, приложенными в начальный момент времени (собственные сопрово-

ждающие составляющие вынужденных движений). Формирование только корней характеристического полинома замкнутой системы означает синтез

по требованиям к свободным движениям, а размещение левых корней харак463

-40, -20, -40 дБ/дек (2-1-2);

-40, -20, -60 дБ/дек (2-1-3);

-60, -20, -40 дБ/дек (3-1-2);

-60, -20, -60 дБ/дек (3-1-3).

Средняя асимптота имеет наклон –20 дБ/дек, а левая и правая – раз-

личные наклоны, определяемые числом сильно перемещаемых малых по мо-

дулю полюсов и слабо перемещаемых больших по модулю полюсов переда-

точной функции разомкнутой системы.

Типовые ЛАЧХ характеризуются частотой среза ср и двумя парамет-

рами L2 и L3. Все они, безусловно, обеспечивают устойчивость замкнутой системы и достаточно хорошее относительное затухание переходных процес-

сов. Частота среза определяет масштаб на плоскости корней – среднегеомет-

рическое корней, имеющих типовое расположение. Чем больше частота сре-

за, тем больше модули корней и тем более быстродействующей является сис-

тема. В зависимости от соотношения параметров L2 и L3.тип расположения корней характеристического полинома замкнутой системы может быть раз-

личным.

Разработаны разнообразные методики выбора типа и параметров сред-

нечастотного участка желаемых асимптотических ЛАЧХ, его “стыковки” с

низкочастотным и высокочастотными участками, т.е. формирования желае-

мой передаточной функции разомкнутого контура Wрж(s).

Если ставится задача формирования свободных движений, то средне-

частотная область желаемых ЛАЧХ формируется по методике, базирую-

щейся на специальных диаграммах связи корней характеристического поли-

нома замкнутой системы с нулями и полюсами передаточной функции ра-

зомкнутой системы. На рис. 5.11 показана ЛАЧХ типа 1-2-1-3, параметры

L2=6 дБ, L3=17 дБ которой выбраны по такой диаграмме из условия макси-

мизации быстродействия процессов – степени устойчивости при допус-

тимой колебательности 1.

465

среднечастотной области желаемых ЛАЧХ являются время регулирования tp

и перерегулирование типовой переходной характеристики h(t).

Предполагается, что замкнутая система имеет типовую вещественную частотную характеристику (ВЧХ) P( ), аппроксимируемую тремя трапеция-

ми (рис. 5.12) с определенными соотношениями параметров. В частности,

системы Lp( ), p( ) с вещественной частотной характеристикой замкнутой системы P( ), находят параметры L2=L3. Частота среза ср с частотой п свя-

зана приближенным соотношением: ср (0,6…0,9) п .

Желаемая асимптотическая ЛАЧХ Lрж2, параметры среднечастотного

466

участка которой выбраны по методике В.В. Солодовникова для значений

=25% и tp=2 c приведена на рис. 5.11.

Методика А.В. Фатеева /88/ отличается от методики В.В. Солодовни-

кова тем, что не требует равенства L2=L3.

Методика В.А. Бесекерского /89/ предназначена для формирования же-

лаемых передаточных функций следящих систем, отрабатывающих эквива-

лентные гармонические воздействия с заданной установившейся ошибкой.

Системы с астатизмом первого порядка должны иметь требуемое усиление на частоте воздействия, откуда находится необходимая добротность по ско-

рости. В этой методике минимизируется полоса пропускания частот контура

ср min при ограничении на показатель колебательности

M max ( j ) .

Параметры среднечастотного участка ЛАЧХ типа 2-1-2 выбираются из выражений

На рис. 5.11 приведена ЛАЧХ Lрж3 для исходных данных: э=0,0001с-1;

Lk=110 дБ; М=1,3. При этом ср3=1,0 с-1; L2=13 дБ; L3=5 дБ, а желаемая пере-

даточная функция имеет вид

Методика А.А. Вавилова /7, 88/ предназначена для синтеза инвариант-

ных до систем управления с высоким порядком астатизма. Выбор средне-

частотных нулей и полюсов осуществляется по специальным номограммам по критерию минимального времени переходных процессов при заданном значении максимальной динамической ошибки.

Построение желаемой ЛАЧХ по требованиям к прямым показате-

лям качества переходного процесса по каналу воспроизведения задаю-

467

щего воздействия (каналу управления). Низкочастотная часть этой харак-

теристики обусловливает точность воспроизведения медленно изменяющих-

ся воздействий. По ее виду можно найти добротности по скорости и ускоре-

нию и статическую ошибку системы. Диапазон частот заключен в пределах

0< < н. (рис. 5.13).

Его можно определить по точности воспроизведения воздействий с по-

мощью номограмм качества P и Q( ) /8/. Приняв за ошибку нахождения вещественной и мнимой характеристик , запишем

1 P( ) ;

Q( ) .

Рис. 5.13. Области характерных частот ЛАЧХ

Таким образом, частотная характеристика разомкнутой системы с ошибкой определяется по формуле

L( ) 20lg W( j ) 20lg 1

.

Если принять =0,05, то в диапазоне частот 0< < н L=26 дБ. Отложив на полулогарифмической бумаге 26 дБ и проведя прямую по этому уровню до пересечения с ЛАЧХ разомкнутой системы, получим точку А (рис. 5.13),

проекция которой на ось частот определяет частоту н начала среднечастот-

ной области. Правая граница области средних частот определяется уровнем

L( ср) -16 дБ, т.е. ошибкой вещественной частотной характеристики

468

mod(P( )) 0,2.

Диапазон области среднечастотной части характеристики заключен в пределах н< < ср. В этом интервале находится частота среза системы с и

запасы устойчивости по модулю Нм и фазе с. Поэтому амплитудная и фазо-

вая характеристики системы в данном диапазоне частот практически полно-

стью определяют показатели качества замкнутой системы при подаче на ее вход единичного ступенчатого воздействия.

Высокочастотная часть ЛАЧХ находится в пределах ср < < . Из ана-

лиза рис. 5.13 очевидно, что по низкочастотной части ЛАЧХ можно опреде-

лить коэффициенты добротности системы по скорости и ускорению. Если первоначальный наклон ЛАЧХ равен –20 дБ/дек, то, продолжая его до оси частот, получим к=D . Продолжая отрезок с наклоном –40 дБ/дек до оси частот, получим l, откуда нетрудно получить D =( l)2. Если наклон второго участка ЛАЧХ равен –60дБ/дек (система с астатизмом второго порядка), то

Рис. 5.14. Номограммы В.В. Солодовникова:

а) – номограмма А: а ; б) – номограмма Б: а 0,1 .

Частота среза системы определяется с помощью номограмм В.В. Солодовни-

кова (рис. 5.14) /11/. По заданной величине максимума перерегулирования

max определяется максимум вещественной частотной характеристики систе-

мы Pmax (рис. 5.12), по которому по номограмме определяется значение вре469

мени регулирования tp, откуда достаточно просто определяется частота среза

ломов сопрягающихся прямых, аппроксимирующих вещественную частот-

ную характеристику, определяются в соответствии с рис. 5.12.

При использовании рассмотренного метода построения желаемой ЛАЧХ следует помнить, что предполагается отсутствие отрицательных зна-

чений P( ), т.е. о п.

5.2.5. Вычисление передаточных функций корректирующих устройств

Коррекция автоматической системы приводит к усложнению алгорит-

ма управления для обеспечения устойчивости и качества процесса управле-

ния. Усложнение алгоритма сводится к более глубокой переработке посту-

пающей информации или связывается с необходимостью получения допол-

нительной текущей информации.

Пусть модель корректируемой системы представлена в виде однокон-

турной системы с единичной отрицательной ОС. Передаточная функция не-

изменяемой части системы Wo(s) описывает динамические свойства собст-

венно объекта управления с управляющим органом, исполнительного меха-

низма, усилителей, измерительных и преобразовательных элементов.

Передаточная функция Wky(s) характеризует информационно - алго-

ритмическую часть системы, выполняющую функцию внутреннего компен-

сатора. Предполагается, что система устойчива, но не обладает требуемыми качественными показателями процесса управления. Если для коррекции не привлекается дополнительная текущая информация, т.е. не предусматривает-

ся установка новых измерительных элементов и на объект не оказываются корректирующие воздействия по дополнительным каналам, то на структур-

470