3377

Аналогично определяют f ( y / x)

f (x, y)

.

f1 (x)

Теорема умножения плотностей

f (x, y)

f1 (x) f y x

f2 ( y) f x y .

Случайные величины

1

и

2

называются независимыми,

если для любых

чисел x,y

случайные события

1

x

и

2

y

независимы.

3)

f ( y x)

f2 ( y)

или

f

x

y

f1 (x) .

Условным математическим ожиданием называют выра-

жение

m

M

2

1

xi

y j P

2

yi

1 xi

для дискретного слу-

j 1

чайного вектора

M

2

x

yf

y

x

dy

для непрерывного случайного векто-

ра.

Величина K

,

cov

1,

2

M

M

M

назы-

1

2

вается корреляционным моментом (ковариацией) двух слу-

чайных величин

1

и

2 .

Если

1,

2

– непрерывная двумерная случайная величина

с плотностью распределения

f (x, y) , то

cov(

1 ,

2 )

(x

m1 )( y m2 ) f (x, y)dxdy

xyf (x, y)dxdy m1m2 ,

где m1

M 1,

m2

M 2 .

Для дискретного случайного вектора

n

m

n

m

cov( 1,

2 )

(xi

m1 ) ( yi

m2 ) pij

xi y j

pij m1m2 .

i

1

j 1

i 1

j 1

Величина r

K

называется коэффициентом корреля-

1

2

1

2

D D

1

2

ции случайных величин 1 и

2 .

Если r

0 , то случайные величины

1

и

2

называются

1

2

некоррелированными.

Свойства корреляционного момента и коэффициента

корреляции

1 .

1)

r

,

2

1

2) Если

1

и

2 независимы, то r ,

0 . Обратное неверно: из

i

3) Если

2

a 1 b , то

r 1 2

1.

4)

cov( 1,

2 )

cov( 2 , 1) .

5)

cov( ,

)

D .

6)

cov(a 1,b 2 )

ab cov( 1,

2 ) .

7)

cov(a 1

b 2 ,

3 )

a cov( 1

3 )

b cov(

2 , 3 ) .

Свойства математического ожидания и дисперсии

случайного вектора

1)

MC

C , где C – постоянная.

2)

MC

CM .

3)

M ( 1

2 ) M 1

M 2 .

4)

M ( 1

2 )

M 1

M 2

cov( 1

2 ) .

Если cov( 1 2 )

0 , то M ( 1

2 )

M 1 M 2 .

Случайная

величина

называется неотрицательной

(

0),

если она принимает только неотрицательные значе-

ния.

5) Если

0 ,

M

0 .

6)

DC

0 , где С – постоянная.

7)

DC

C2 D .

8)

D( 1

2 )

D 1

D 2

2 cov( 1, 2 ) .

Если cov( 1 2 )

0 , то D( 1

2 )

D 1

D 2 .

9)

D(

C)

D . С – постоянная.

10) D

M (

M )2

0 .

11) D

M 2

M

2

0

M

2

M 2 .

Двумерная случайная величина

1

2

называется распре-

f (x, y)

1

exp

1

(x

m )2

1

2(1 r

2

)

2

2

1

r2

1 2

1

2r(x m )( y m )

( y m )2

1

2

2

.

2

1

2

2

Здесь m1

M 1 ,

m2

M 2 ,

2

D 1 ,

2

D 2 ,

1

2

1

, (x, y)

D

f (x, y)

S

0,

(x, y)

D

–1

0

2

–1

0,2

0,1

0,3

1

0,1

0,1

0,2

Определить:

1) Законы распределения составляющих

и ;

74

условии, что

1;

3) M

1 ;

–1

1

(8.1)

0,6

0,4

–1

0

2

0,3

0,2

0,5

M

1 0,6 1 0, 4

0, 2 ,

M

1 0,3 2 0,5 0,7,

D

( 1)2 0, 6

12

0, 4 - (

0, 2)2

0,96 ,

D

( 1)2

0,3

22 0,5

(0, 7)2

1,81.

1

–1

1

(8.2)

2/3

1 3

P

1

1

P

1,

1

0, 2

2 3 .

P

1

0, 3

P

1

1

P

1,

1

0,1

1 3 .

P

1

0, 3

Сравнивая (8.1) и (8.2), видим, что ,

зависимые случайные

величины:

M

1

1

2

1

1

1

;

3

3

3

75

K ,

Pij xi yi

m1

m2

( 1) ( 1) 0, 2 (

1)

2 0,3

i, j

+1 ( 1) 0,1

1 2 0, 2

0, 2 0,7 = 0, 2

0,6

0,1

0, 4

0,14

= 0,04 .

r ,

K ,

0, 04

0, 04

0, 04

0, 03 .

0,98 1,345

1,32

0, 96

1,81

Пример 2. Двумерная

случайная

величина

,

имеет

f (x, y)

c,

(x, y)

ABC,

0, (x, y) ABC.

Найти

постоянную

c ,

одномерные плотности f1 (x) , f2 ( y)

случайных величин

и

, коэффициент корреляции r , ус-

ловную плотность f ( y

x)

и условное математическое ожида-

ние M

x .

A

B

x

1

f (x, y)dxdy

cdxdy

c

S

c 1 2 , c

2 ,

ABC

где S – площадь треугольника ABC . Обозначим область, ог-

раниченную треугольником ABC через D . Тогда

f (x, y)

2,

(x, y)

D,

0, (x, y)

D.

2) Уравнение прямой BC : y

1

x . Тогда область D можно

задать аналитически следующим образом:

D

0 x

1

или

D

0

y

1

y .

0

y

1 x

0

x

1

1 x

3) f1 (x)

f (x, y)dy

2

dy

0

x

1

2(1

x),0

x

1,

0

0,

x 0,

x

1,

0

x

0, x

1

f2 ( y)

f (x, y)dx

2(1

y),

0

y

1,

0,

y

0,

y

1.

1

M

xf1 (x)dx

x

2(1

x)dx

1 3 .

0

1

M

yf2 ( y)dy

y

2(1

y)dy

1 3.

0

1

1

D

x2 f (x)dx

m2

x2

2(1

x)dx

0, 055 .

1

x

9

0

D

y2 f

2

( y)dy

m2

0, 055 .

y

77

1

x

cos

0

R

M

xydxdy

y

sin

0

2

=

R2

D

dxdy

d

d

1 R 2

3 cos

sin d

d

=

R 0 0

1

R

3 d

2

d

1

4

R

sin2

2

cos

sin

R2

R2 4

0

2

0

0

0

1

1

R4

sin2 2

sin2

0

1

0 .

R2

4

2

ожиданий 2, 1

и ковариационной матрицей K

K

,

2

2

3

3

7 .

Известно, что P

2

3

0, 65 . Найти D , D .

чин

и обеспечивает нормальность каждой из них и любой

их линейной комбинации, в частности величина

2

нормальна с параметрами

M

M 2M

2 2( 1) 0 , D

D 4D

4cov( , )

получим D 2

2 , D

7 2 ,

cov(

,

) 3

2 ,

D

2

2

4 7

2

4 3

2

18

2 .

79