3358

(k – коэффициент теплопроводности, положим k=1) с гранич-

ными условиями u(0,y) = u(5,y) = u(x,0) = u(x,4) = 20.

Имеем краевые условия 1-го рода вдоль всей границы области . Чтобы обеспечить их выполнение, воспользуемся аппроксимацией вида

u(x, y) k Nk (x, y).

k

При этом если за базисные функции взять произведения xi yj (x a)(y b), i, j=1, 2, 3,…, то на границах прямоугольной области они обращаются в нуль, и, тем самым, положив=20, граничные условия будут удовлетворены точно вне зависимости от значений { k}. Итак,

где для удобства использованы индексы двойного суммирования.

Поскольку в задаче есть только условия 1-го рода (Дирихле), то используем функционал

Выполняя затем стандартную процедуру Ритца, найдем оптимальные значения параметров { ij}, а вместе с тем (см. (8.11)) и приближенное решение задачи.

Порядок решения в системе Maple

1. Зададим исходные данные задачи, а также верхние границы изменения индексов i, j – числа m и n, произведения которых определяет число параметров аппроксимации. Их увеличение приводит к повышению точности решения и одновременно усложняет расчеты.

>restart;

>a:=5: b:=4: f:=x^2+y^2; m:=2; n:=2;

210

2.Запишем аппроксимацию решения задачи

>z:=(x,y)->20+sum(sum(alpha[i,j]*x^i*y^j* (x-a)*(y-b),i=1..m),j=1..n);

3.Зададим функционал в виде повторного интеграла

>F:=(1/2.)*int(int(diff(z(x,y),x)^2+ diff(z(x,y),y)^2-2*f*z(x,y),y=0..b),x=0..a);

4.Формируем уравнения системы

>eqns:=seq(seq(diff(F,alpha[i,j]),i=1..m),j=1..n);

>p:=seq(seq(alpha[i,j],i=1..m),j=1..n);

5.Находим решение этой системы

>r:=solve({eqns},{p});

6.Определяем функцию (x, y), хранящую решение

>phi:=unapply(subs(r,z(x,y)),x,y);

7.Теперь решение задачи можно получить в любых точках прямоугольной области, например, вдоль линии x=2:

>[phi(2,0),phi(2,1),phi(2,2),phi(2,3),phi(2,4)];

8.Визуализация решения – вывод в виде цветовой карты и линий равного уровня

>plots[densityplot](phi(x,y),x=0..a,y=0..b, grid=[49,49],colorstyle=HUE);

>plots[contourplot](phi(x,y),x=0..a,y=0..b, contours=15);

Рис. 8.3

211

Замечания. Если в задаче имеются краевые условия 2-го или 3-го рода вдоль какой-то стороны, то аппроксимация не должна удовлетворять каким бы то ни было условиям на этой стороне. При этом в функционал необходимо включить дополнительный интеграл по данной стороне (см. (8.10)).

Изучите внимательно нижеследующие примеры.

1) u(0,y) =1, u(a,y) =2; un (x,0) =1, un (x,b) = –1.

Аппроксимация учитывает только два первых условия как 1-го рода

m n

umn(x, y) 1 ax ijxi yj (x a).

i 1 j 0

(Обратите внимание на начало суммирования по j, а также на отсутствие множителя y–b). В функционале к кратному интегралу по прямоугольнику добавляются интегральные слагаемые вдоль сторон x=0 и x=a:

Изменения в программе коснутся соответствующих строк:

>z:=(x,y)->1+x/a+sum(sum(alpha[i,j]*x^i*y^j* (x-a),i=1..m),j=0..n);

>F:=(1/2.)*int(int(diff(z(x,y),x)^2+ diff(z(x,y),y)^2-2*f*z(x,y),y=0..b),x=0..a)- int(z(x,0),x=0..a)+int(z(x,b),x=0..a);

>eqns:=seq(seq(diff(F,alpha[i,j]),i=1..m),j=0..n);

>p:=seq(seq(alpha[i,j],i=1..m),j=0..n);

212

Упражнения

1. Решить краевую задачу методом Ритца. Сравнить с точным решением. Построить графики. Показать сходимость для m=2÷6.

213

(0) 0, (2) 1.

2. Решить уравнение d2u/dx2 + 2u=x, 0 x 1 с краевыми условиями:

1) u=0 при x=0 и u=0 при x=1;

2) u=1 при x=0 и du/dx=0 при x=1; 3) u=0 при x=0 и du/dx+u=0 при x=1.

Сравнить с точным решением.

3. Решить уравнение d2u/dx2 – 2u = 0, 0 x 1 с краевыми условиями u=0 при x=0 и du/dx+10u=20 при x=1. Сравнить с точным решением.

4. Решить краевую задачу методом Ритца для разных типов граничных условий. Сравнить с точным решением. Показать сходимость.

214

215

5. Решить краевую задачу методом Ритца. Сравнить с точным решением. Показать сходимость.

216

6. Найти приближенные решения задач с различными граничными условиями. Провести анализ сходимости, имея в виду, что аналитического решения у этих задач нет.