3357
.pdf
в) распределенных нагрузок, приложенных к стержням. Вводя три дополнительных вектор-столбца в уравне-
ние(4.12), получим:
K F Fв Fd R, |
(4.15) |
0 |
|
где F , Fв , Fd - соответствуют конструкционным и тепловым
0
деформациям в системе, массовым силам и распределенным нагрузкам.
Этот анализ может быть распространен на трехмерные фермы и случаи жестких соединений, когда силы и моменты передаются через узлы.
Пример
Для шарнирно-соединенной фермы (рис.4.3) вычислить смещения в узле 2, предполагая что каждый стержень имеет длину, равную 10 см и поперечное сечение, равное 1 см2.
Модуль Юнга Е = 2 · 106 кг/см2.
Согласно уравнению (4.3), для элемента 1 сила, действующая вдоль стержня, равна:
|
EA1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.16) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P |
|
|
|
x2 |
|
x1 cos135 |
|
y2 |
|
y1 sin135 , |
||
L1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отсюда с помощью уравнений (4.4) и (4.6, а) получаем:
|
Fx1 |
P cos135 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
F e1 |
Fy |
|
P sin135 |
105 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fx |
2 |
P cos135 |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
Fу |
2 |
P sin135 |
|
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1
y1 (4.17)
x2
y2
79
60 o |
R2=1000 кг с |
|
2 |
||
|
||
e2 |
e |
|
|
1 |
|
45 o |
45 o |
|
3 |
1 |
а)
y
R2=1000 кг с
|
|
60 o |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
e |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
45 o |
45 o |
|
|
3 |
|
|
1 |
0 |
_ |
б) |
x |
|
_ |
|
|
||
Fy |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
2 |
_ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Fx |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
e1 |
_ |
|
|
|
|
Fy |
|
|
|
|
1 |
_ |
|
|
|
|
|
Fx |
|
1 |
1 |
|
_ |
||
|
||
|
P |
в)
Рис. 4.3
80
Для элемента 2 аналогично получаем соотношения:
|
EA2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.18) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
P |
|
|
|
x2 |
|
x3 cos 45 |
|
y2 |
|
y3 sin 45 |
||
L2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fx3 |
P cos 45 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
x3 |
|
||
F e2 |
Fy |
3 |
P sin 45 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
|
y |
3 |
|
|
105 |
|
|
|
|
|
|
|
(4.19) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Fx |
2 |
P cos 45 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
F |
|
P sin 45 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
у2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для того, чтобы проиллюстрировать процесс последовательного построения более четко, преобразуем уравнение (4.19) так, чтобы нумерация узлов в его матрицах подчинялась той же последовательности, что и в уравнении (4.17):
|
Fx2 |
P cos 45 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
F e2 |
Fy |
2 |
P sin 45 |
105 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fx |
|
P cos 45 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Fу |
3 |
P sin 45 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2
y2 (4.20)
x3
y3
Расширяя (4.17) и (4.20) до размерности системы и формируя результирующие уравнения поэлементным объединением согласно (4.11), получаем матричное уравнение:
Rx |
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Ry1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
Rx |
2 |
105 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
1 |
Ry |
2 |
|
1 |
1 |
0 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rx3 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Ry3
Так как
81
x1
y1
x2 (4.21)
y2
x3
y3
|
|
Rx2 |
1000cos60 |
500 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Ry |
2 |
|
|
|
1000sin 60 |
|
|
866 |
|
|
(4.22) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
x3 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
то уравнение (4.21) можно записать в виде: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 | |
1 |
|
|
|
|
1| 0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
Rx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
1 |
1| 1 |
|
|
|
|
1| 0 0 |
|
|
0 |
|
Ry |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
105 |
1 |
1| |
2 |
|
|
|
|
0 | |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
x2 |
500 |
(4.23) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
1| |
0 |
|
|
|
|
2 | |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
y2 |
860 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 0 | 1 |
|
|
|
|
1 | 1 1 |
|
|
0 |
|
Rx |
3 |
|
||||||||||||||||
|
0 0 | 1 |
|
|
|
|
1 | 1 1 |
|
|
0 |
|
Ry |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Разбиение матриц в (4.23), показанное штриховыми ли- |
|||||||||||||||||||||||||||||
ниями, позволяет найти |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
как решение системы: |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
х2 |
и |
у2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
500 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
10 |
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
866 |
|
|
(4.24) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x2 |
|
500 |
|
|
2,5 10 |
3 |
(см) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
т.е. |
|
|
2 10 |
5 |
|
|
|
|
|
(4.25) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
у2 |
|
|
|
866 |
|
|
|
|
|
|
4,33 10 |
3 |
(см). |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Подстановка равенств (4.25) в (4.23) дает следующее выражение для реакций:
82
Rx1 |
1 |
1 |
|
|
||
Ry |
1 |
1 |
1 |
250 |
(4.26) |
|
|
|
|
|
|||
Rx3 |
1 |
1 |
433 |
|||
|
||||||
Ry |
3 |
1 |
1 |
|
|
|
отсюда |
|
|
|
|
|
|
Rx |
683 кгс |
Ry |
683 кгс |
1 |
|
1 |
(4.27) |
|
|
|
|
Rx3 |
183 кгс |
Ry3 |
183 кгс |
Эти результаты могут быть проверены путем использования условий равновесия фермы:
3 |
|
|
Rxi |
683 500 183 0 |
(4.28) |
i 1 |
|
|
3 |
|
|
Ry |
683 866 183 |
0 |
|
i |
|
i 1 |
|
|
5. ОСИ И ВАЛЫ
5.1. Общие сведения
Вращающиеся детали (шкивы, зубчатые колеса) машин устанавливаются на осях и валах, которые обеспечивают постоянное положение их оси вращения.
Оси – детали машин, которые служат для поддержания вращающихся вместе с ними или на них различных деталей. Вращение оси вместе с установленной на ней деталью производится относительно ее опор, называемых подшипниками. Оси не передают крутящего момента. В любом случае оси работают только на изгиб.
Валы – детали машин, которые не только поддерживают вращающиеся детали, но и передают по всей длине или на от-
83
дельных его участках крутящий момент. В связи с тем, что передача крутящего момента связана с возникновением сил, передающихся на валы (например, сил на зубьях зубчатых колес, сил натяжения ремней и др.), то они подвержены дейст-
вию не только крутящих моментов, но также поперечных сил и изгибающих моментов.
Некоторые валы не поддерживают вращающиеся детали (карданные валы автомобилей, валки прокатных станов и др.) и поэтому работают только на кручение.
5.2.Проектный расчет валов и осей
5.2.1.Составление расчетных схем
Проектный расчет валов и осей начинается с установления расчетной схемы и определения внешних нагрузок.
Валы и оси рассматриваются как балки, лежащие на шарнирных опорах. Прежде всего, должны быть установлены расстояния между опорами и места расположения насаживаемых на вал или ось деталей.
Для валов, вращающихся в подшипниках качения, установленных в опорах по одному, центр опорного шарнира совмещается с серединой подшипника.
Силы на валы (оси) передаются через насаженные на них детали: шкивы, звездочки, зубчатые колѐса, блоки и т.д.
При этом принимают, что насаженные на вал (ось) детали передают силы и моменты валу (оси) на середине длины посадочной поверхности.
Величина и направление действующих нагрузок определяются характером работы и расположением сидящих на валу или оси деталей.
Нагрузками от собственного веса вала (оси) и расположенных на нем деталей в проектном расчете обычно пренебрегают, хотя принципиально их учѐт и не представляет трудностей.
84
5.2.2. Расчѐт опасного сечения
Для расчета валов и осей необходимо вычислить изгибающие и крутящие моменты в опасных сечениях. Поскольку действующие на вал нагрузки в общем случае расположены в различных плоскостях, их следует разложить на составляющие, лежащие в двух заранее выбранных взаимно перпендикулярных плоскостях. Причем за одну из таких плоскостей целесообразно выбрать плоскость, в которой уже лежат несколько или хотя бы одна из действующих сил. После этого можно найти составляющие реакции опор и построить эпюры изгибающих и крутящего моментов.
Поясним это на примере расчѐта промежуточного вала двухступенчатого трехосного редуктора. На рисунке представлены: аксонометрическая схема этого вала и действующих на него нагрузок: схема нагружения и эпюры соответствующих моментов (рис. 5.1).
Для определения результирующего изгибающего момента моменты во взаимно перпендикулярных плоскостях складываются геометрически:
M |
и |
М 2 |
М 2 . |
|
х |
у |
Эквивалентный момент в сечениях, где действуют изгибающий и крутящий моменты, определяют по формуле:
M э
М и2 М к2 .
Имея эти данные можно рассчитать диаметры вала (оси) во всех характерных точках по длине вала (оси):
диаметр сечения оси (вала), работающего на изгиб:
d |
3 |
|
М |
и |
|
. |
|
|
|
||||
|
0,1 |
|
|
|
||
85
l2 l1 
d1
Pa1
Pr1
P1
Mu1
Pr1
От сил
Суммарная
Mx
Pr1
От сил
Суммарная
My
Суммарная
Mu
Крутящий
момент
Mкр
l3
d2 Pa2
Pr2 |
|
|
|
|
|
|
|
P2 |
|
||
|
|
|
|
Pr2 cos |
|
||||||
|
|
|
|
|
Mu2 cos |
Mu1=(Pa1 d1)/2 |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 sin |
|
Mu2 cos =(Pa2 d2 cos )/2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mu2 sin =(P2 d2 sin )/2
P2 cos
Pr2 sin
Mкр=(P1 d1)/2=(P2 d2)/2
Рис. 5.1.
86
Диаметр сечения вала, работающего на изгиб и кручение:
d |
3 |
|
М |
э |
|
, |
|
|
|
||||
|
0,1 |
|
|
|
||
где 
nТ .
Определив диаметры в различных сечениях, можно построить теоретически наивыгоднейшее очертание вала (оси), а затем разработать и реальную его конструкцию с учетом технологических требований.
Чаще всего производят определение диаметра вала (оси) в опасном сечении, которое определяется эпюрами моментов, размерами сечений вала и концентрацией напряжений.
В нашем примере таким опасным сечением будет место расположения шестерни тихоходной передачи. В этом сечении действует и изгибавший и крутящий моменты, то расчет его производится по эквивалентному моменту, т.к.
dоп |
3 |
|
М э |
|
. |
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
После этого расчета, исходя из технологических условий, намечается конструкция вала. При этом следует помнить, что размеры цапф и шеек зависят не только от условий прочности, но и от размеров подшипников, условий их работы и технологии сборки узла.
5.3. Проверочные расчеты валов и осей
Из критериев прочности для большинства валов (осей) современных быстроходных машин решающее значение имеет выносливость, поскольку напряжения в валах и вращающихся осях имеют циклически изменяющийся характер. Усталостные разрушения составляют до 40% 50% случаев выхода валов из строя.
87
Лишь для очень тихоходных валов, работающих с большими перегрузками, и неподвижных осей может оказаться более опасной недостаточная статическая прочность. При выполнении расчета прочности валов и осей следует учитывать возможность их выхода из строя как в результате усталостных повреждений, так и потери статической прочности при единичных пиковых перегрузках.
5.3.1. Расчет на выносливость валов и вращающихся осей
Основными для осей и валов являются постоянные и переменные нагрузки от деталей передач. Постоянные по величине и направлению силы передач вызывают в валах и вращающихся осях переменные напряжения, которые приводят к усталостным разрушениям.
После предварительных расчетов и конструктивного оформления валов (осей) проводят проверочный расчет на выносливость.
Расчет валов и вращающихся осей сводят к проверке коэффициента запаса прочности:
для осей определяют запас прочности только по изгибу
n |
|
|
|
1 |
|
; |
|
K |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
|
m |
|
|
|
|
|
|||
для валов определяют отдельно и запас прочности по изгибу, и запас прочности но кручению
n |
|
|
|
1 |
|
; |
|
K |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
a |
|
m |
|
|
|
|
|
|||
и суммарный запас прочности по формуле
n |
|
n n |
|
|
, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
||
|
|
||||
|
|
n2 |
n2 |
||
|
|
88 |
|
|
|