3110

ной формой от независимой переменной, и случайного слагаемого

того, предполагается, что наблюдаемые значения независимой переменной xi являются совокупностью фиксированных значений СВ X , измерения которых проводятся без ошибки или с пренебрежимо малой ошибкой, а остатки i – не-

зависимые случайные величины, имеющие нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и одинаковой неизвестной дисперсией.

Предположение о нормальном распределении СВ нуждается в статистической проверке, так как может оказаться, что гипотеза о двумерном нормальном распределении не согласуется с эмпирическими данными. В этом случае уравнение регрессии может быть нелинейным.

Так как уравнения регрессии обычно строятся по небольшому числу дан-

против конкурирующей гипотезы H1 1 0 . Если нулевая гипотеза принима-

ется, то считают, что уравнение регрессии Y на X либо имеет нелинейный вид, либо эти переменные являются некоррелированными случайными величинами.

Одним из методов проверки нулевой гипотезы H0 1 0 является диспер-

сионный анализ (подробности изложены в разделе 17). Пусть мы имеем корреляционное поле (xi , y j ), i 1, 2,..., n, значений двух СВ ( X ,Y ) , полученных в резуль-

тате выборки объема n . Начнем с исследования общей суммы квадратов отклоне-

Если коэффициенты линейной формы Yi b1 xi b0 получены из выборки по методу наименьших квадратов в результате решения системы (16.1), то имеет место следующее разложение:

держится, как в зародыше, весь дисперсионный анализ (см. [11], стр. 22). Действительно, значение выборочного корреляционного момента

ний системы (16.1). Отсюда

что и требовалось доказать.

Таким образом, сумма квадратов отклонений может быть разбита на два положительных слагаемых: 1) сумму квадратов отклонений значений регрессии относительно среднего; 2) сумму квадратов отклонений значений выборки относительно линии регрессии ― остаточная сумма квадратов.

Если прямая регрессии проходит через все заданные точки, то остаточная

то сумму квадратов значений регрессии относительно среднего будет мала и почти все рассеяние yi объясняется как рассеяние относительно линии регрессии. Поэтому считается, что регрессия будет значимой, если сумма квадратов отклонений регрессии относительно среднего будет больше по сравнению с суммой квадратов отклонений относительно линии регрессии.

Для проверки основной гипотезы можно использовать статистику:

справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со

ряемая гипотеза не отклоняется, то считается, что либо уравнение регрессии имеет нелинейный вид (распределение СВ (X Y ) не является нормальным), либо эти СВ являются не коррелированными.

Для удобства все вычисления, проводимые для проверки гипотезы о линейности, располагают в таблице дисперсионного анализа (табл. 16.1).

103

Таблица 16.1

Формулы, приведенные во второй колонке таблицы, были получены следующим образом:

Замечание 16.4. Доля общей суммы квадратов, объясняемая регрессией, называется коэффициентом детерминации и находится по формуле

Этот показатель лежит в пределах от нуля до единицы. В случае, когда выборочное уравнение регрессии является линейным, коэффициент детерминации равен квадрату выборочного коэффициента корреляции:

Замечание 16.5. Если регрессионная зависимость между СВ X и Y установлена (см. [2, с. 270]), но она не является линейной, то выборочное уравнение регрессии можно искать в виде некоторой нелинейной функции. Например,

y x b0 b1 x b2 x2

104

y x b0 b1ex

Для отыскания параметров выборочных уравнений криволинейной регрессии можно использовать метод наименьших квадратов, а проверку значимости криволинейной регрессии осуществлять методами дисперсионного анализа.

Замечание 16.6. Если исследуется связь между несколькими случайными величинами, то корреляцию называют множественной. В простейшем случае число случайных величин равно трем и связь между ними линейная.

Пример 16.1. В табл. 16.2 приведены результаты 11 измерений отклонения от номиналов высот моделей xi и отливок к ним yi .

Таблица 16.2

Требуется вычислить коэффициент корреляции и детерминации, объяснить смысл коэффициента детерминации. Построить выборочные уравнения прямых линий регрессии Y на X и X на Y . Проверить методом дисперсионного анализа значимость линии регрессии.

Решение. Запишем результаты вычислений числовых характеристик, необходимых для отыскания коэффициента корреляции и выборочного уравнения регрессии, в табл. 16.3.

С учетом полученных значений:

Отметим, что значение выборочного коэффициента корреляции близко к единице, что говорит о достаточно тесной линейной корреляционной связи между случайными величинами X и Y .

Для построения выборочного уравнения прямой линии регрессии Y на X воспользуемся формулой

Вычислим коэффициент детерминации :

Полученный результат означает, что 58% рассеивания зависимой переменной Y объясняется линейной регрессией Y на X , а 42% рассеивания Y остались необъясненными. Они могут быть вызваны либо случайными ошибками эксперимента, либо тем, что линейная модель плохо согласуется с экспериментальными данным.

Для проверки соответствия линейной модели экспериментальным данным применим дисперсионный анализ. Для этого составим таблицу дисперсионного анализа (табл.16.4), предварительно найдем:

1) полную сумму квадратов:

i1

2)сумму квадратов регрессии:

n

B b12 xi2 nx 2 (1 55)2 (15 6411 11 1 17542 ) 1 056

i1

3)остаточную сумму квадратов:

то результаты измерений подтверждают гипотезу наличия линейной связи между переменными X и Y .

На рис. 16.1 изображено корреляционное поле и графики выборочных прямых регрессии X на Y и Y на X .

107

Рис. 16.1. Графики выборочных прямых регрессии

Следует отметить, что все вычисления можно проводить с помощью стандартных функций, встроенных в MS Excel. Поясним на предыдущем примере.

Введем значения xi , yi в ячейки А1-K1 и А2-K2 электронной таблицы Excel соответственно. Построим точки (xi yi ) , вызвав мастер диаграмм, выбираем тип диаграммы Точечная, нажимаем Далее и, поместив курсор в поле Диапазон, обводим курсором данные Y (ячейки А2-K2). Переходим на закладку Ряд и в поле Значения Х делаем ссылку на ячейки А1-K1, обводя их курсором. Нажимаем Готово.

Как видно из графика, точки группируются вокруг прямой, поэтому будем находить выборочное уравнение прямой линии регрессии y x b0 b1 x .

Для нахождения коэффициентов b0 и b1 уравнения регрессии служат функции НАКЛОН и ОТРЕЗОК категории Статистические. Найдем b1 : вводим в любую свободную ячейку функцию НАКЛОН, ставим курсор в поле Изв знач у задаем ссылку на ячейки А2-K2, обводя их мышью. Аналогично в поле Изв знач х даем ссылку на А1-K1. Результат ― значение b1 . Аналогично найдем теперь коэффициент b0 . Вводим в ячейку функцию ОТРЕЗОК с теми же параметрами, что и у функции НАКЛОН. Результат – значение b0 . Следовательно, выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на X есть y x 1 55x 1 74 .

Выборочный коэффициент корреляции, коэффициент детерминации, а

108

также данные из табл. 16.4 дисперсионного анализа тоже можно находить с помощью функций, встроенных в MS Excel. Для этого вызываем функцию ЛИ-

НЕЙН, категории Статистические. В полях Изв знач у и Изв знач х даем ссылку на А2-K2 и А1-K1. В поле «Константа» указываем 1, в поле «Стат» должно стоять также 1, если нужно вывести полную статистику о регрессии. Функция возвращает массив размером 2 столбца на 5 строк. После ввода выделяем мышью ячейки размером 2 столбца и 5 строк, затем нажимаем F2 и Ctrl+Shift+Enter. В результате получаем таблицу значений (табл. 16.5).

Таблица 16.5

Для примера 16.1 указанная таблица имеет вид табл. 16.6.

Таблица 16.6

Отметим, что результаты, полученные вручную и с помощью пакета MS Excel, практически одинаковы.

Для того, чтобы отобразить на одном графике точки корреляционного поля и график выборочной прямой регрессии Y на X , необходимо на уже имеющейся диаграмме, содержащей корреляционной поле, добавить линию тренда, указав в параметрах линии тренда значение линейная.

17. Дисперсионный анализ

17.1. Основные понятия

Методы дисперсионного анализа устанавливают наличие влияния определенных факторов на изучаемый процесс (случайную величину X ), который представлен совокупностью выборочных данных. Если изучается влияние только одного фактора, имеющего k уровней, то соответствующий критерий

109

называется однофакторным дисперсионным анализом, если нескольких – многофакторным дисперсионным анализом.

Например, если требуется установить, как влияет квалификация работника на его заработную плату, то фактор – это квалификация, а уровни фактора – степени квалификации (высшая, средняя, низкая).

Методы дисперсионного анализа являются одними из основных методов в самостоятельном направлении математической статистики – теории планирования эксперимента. С их помощью можно проверять, оказывают ли влияние на характеристики случайной величины некоторые факторы, которые можно изменять в ходе эксперимента. Выбирая наиболее важные, можно активно участвовать в планировании результатов эксперимента.

Основная идея дисперсионного анализа заключается в представлении общей дисперсии случайной величины X в виде суммы двух слагаемых – факторной дисперсии, порождаемой воздействием исследуемого фактора, и остаточной дисперсии, обусловленной случайными факторами. В результате сравнения факторной и остаточной дисперсий по критерию Фишера, если приходят к выводу о значимом различии, то говорят, что фактор оказывает существенное влияние на случайную величину X , в этом случае выборочные средние на каждом уровне различаются значимо.

Методы дисперсионного анализа основываются на следующих предпо-

ложениях: генеральные совокупности исследуемых случайных величин распределены нормально и имеют хотя и неизвестные, но одинаковые дисперсии.

17.2. Однофакторный дисперсионный анализ