2644

2.5.2. Статически неопределимые стержневые системы

Для определения усилий в статически неопределимых системах, подвергающихся деформации, условия равновесия системы сил из статики являются необходимыми.

Для составления уравнений равновесия можно использовать любую из трёх эквивалентных форм условий равновесия плоской системы сил:

1) Первая или основная форма. Для равновесия плоской системы сил, действующих на тело, необходимо, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из двух прямоугольных осей координат, расположенных в плоскости действия сил, были равны нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, находящейся в плоскости действия сил, также была равна нулю:

2) Вторая форма или теорема о трех моментах. Для равновесия плоской системы сил, приложенных к телу, необходимо, чтобы суммы алгебраических моментов сил системы относительно трех любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, были равны нулю:

3) Третья форма: Для равновесия плоской системы сил, приложенных к телу, необходимо, чтобы суммы алгебраических моментов сил относительно двух любых точек, лежащих в плоскости действия сил, были равны нулю и алгебраическая сумма проекций этих сил на какую-либо ось плоскости, не перпендикулярную прямой, проходящей через две моментные точки, также была равна нулю:

40

перпендикулярная AB .

Однако данные условия не являются достаточными. Их следует дополнить уравнениями совместности перемещений, основанными на рассмотрении геометрической стороны деформации системы и использовании развернутого закона Гука. Необходимое число этих дополнительных уравнений равно степени статической неопределимости системы n .

Для определения усилий в стержнях статически неопределимой системы, т.е. раскрытие ее статической неопределимости, используют следующий алгоритм.

1)Создаем силовую схему. Отбрасываем связи, наложенные на систему, заменяя их неизвестными усилиями и реакциями согласно аксиоме связей статики. Если имеем систему сходящихся сил, то применяем метод вырезания узлов.

2)Составляем независимые уравнения статики, содержащие неизвестные усилия, и устанавливают степень

статической неопределимости системы. Если n 0 , то задача статически определимая и её решение проводится в соответствии с разделом 2.5.1. Если n 0 , то задача статически неопределимая. Параметр n показывает, сколько надо составить дополнительных уравнений совместности перемещений, чтобы решить задачу.

4)Создаем схему совместности перемещений. Рассматриваем систему в деформированном состоянии: устанавливаем связь между деформациями и перемещениями отдельных ее элементов и составляем уравнения совместности перемещений.

5)С помощью развернутого закона Гука входящие в уравнения совместности перемещений абсолютные удлинения стержней выражаем через действующие в них усилия, и получаем уравнения, содержащие неизвестные усилия.

41

6) Решаем систему уравнений, состоящую из уравнений статики (п. 2) и уравнений совместности перемещений (п. 5), определяем неизвестные усилия.

2.6. ЗАКОН ПУАССОНА

Рассмотрим стержень, который

растягивается продольной силой Р (рис. 2.6). Опытным путём установлено, что даже при очень небольших деформациях стержня в продольном направлении его поперечные размеры изменяются. Удлинение в продольном направлении вызывает сужение в поперечном направлении. И наоборот: укорочение в

продольном направлении сопровождается Рис. 2.6 поперечным расширением. Т.о., при растяжении тело удлиняется и становится тоньше, а при сжатии укорачивается и становится толще. Поперечные деформации при растяжении или сжатии пропорциональны продольной деформации.

Соотношения (2.22) и (2.23) установлены эмпирическим путем. Коэффициент пропорциональности – коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона). Это безразмерная величина. Симон Пуассон полагал, что коэффициент для всех материалов одинаков и равен 0,25. Однако позднейшие опыты показали, что это не так, его величина лежит в пределах от 0 до 0,5. В практических

42

2.7. ЗАДАЧА Р1 К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

Стальной ступенчатый стержень, защемленный с одной стороны, нагружен сосредоточенными силами Pi и

распределенной нагрузкой интенсивностью qi (рис. Р1.0–Р1.9).

Определить силы реакции. Построить эпюры нормальной силы и нормального напряжения. Проверить прочность стержня при допускаемом напряжении для его материала [ ] 160 МПа. Проверить жесткость стержня, если допускаемое перемещение [ l] 0,5 мм. Собственным весом стержня пренебречь,

E 2 105 МПа. Численные данные приведены в таблице Р1.

43

Таблица Р1

45

Указания. Задача Р1 – на расчет на прочность и жесткость статически определимого ступенчатого стержня при растяжении. Решение задачи проводится в соответствии с алгоритмом, описанным в разделе 2.5.1. Подробный ход решения аналогичной задачи приведен в примере Р1.

Пример Р1. Стальной ступенчатый стержень, защемленный с одной стороны, нагружен сосредоточенной силой P и распределенной

защемления. Построить эпюры нормальных сил и напряжений. Проверить прочность стержня при допускаемом напряжении [ ] для его материала. Проверить жесткость стержня при

Решение:

1) Стержень защемлен с одной стороны. Отбрасываем

заделку, заменяя её силой реакции R (рис. 2.8 а). Для определения реакции защемления составим уравнение равновесия в проекции на ось балки:

n

Piz 0 : P qa R 0 .

i 1

Вычисляем:

R 10 30 1 20 кН .

Знак минус указывает, что истинное направление реакции заделки противоположно изображенному на рис. 2.8 а.

46

48

На этом участке нормальные сила и напряжение изменяются по линейному закону, участок растягивается.

5) По полученным данным в системе координат "N z" строим в масштабе эпюру нормальных сил (рис. 2.8б). Очевидно, что для определения реакции защемления не было необходимости составлять уравнение, как мы это проделали в п.1. Это значение можно «снять» с построенной эпюры в месте заделки.

Проведем анализ эпюры N (z) . Точки разрыва I рода

(скачки) возникают в местах, где возникают (исчезают) сосредоточенные силы. В нашем случае таких точек две: одна создается силой P , другая – реакцией заделки.

49