2601

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Действительно, dt = -dj , причем при t = 0,j =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.92 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 248 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

1.10. Задачи, приводящие к понятию неопределенного интеграла

Из геометрического смысла первообразной следует, что производная функции y = F (x) дает угловой коэффициент

касательной	к	соответствующему	графикуy = F (x)+ C.
Поэтому задача		отыскания первообразной для заданной

функции f (x), равносильна задаче нахождения кривой, для которой закон изменения углового коэффициента известен tg a = f (x).

Поскольку кривые отличаются друг от друга на постоянную интегрирования, то для того, чтобы из этого множества кривых выбрать одну кривую, достаточно задать точку (x0 , y0 ), через которую кривая должна проходить, т. е.

определить постоянную интегрирования.

Из механического истолкования неопределенного интеграла следует, что если задан закон изменения скорости

от времени v = f (x),		то зависимость		путиS	от	времени
определяется	интегралом S = ò f (t )dt,			т.	к.	скорость
движения	точки	есть		dS		Постоянная
			производная.

интегрирования находится из заданного начального условия, иначе получим бесчисленное множество решений.

10.1. Составить уравнение кривой, проходящей через

точку	M (1, 2),	если угловой коэффициент касательной в
каждой	точке	кривой равен обратной величине абсциссы
точки касания.

Решение.

Закон

изменения

углового

коэффициента

известен

f (x )=

П о с к о л ь к у

п р о и з в о дн а я

от

(ln x )=

, т о

y = ln x + C — искомая кривая.

Для

определения

постоянной

интегрирова

воспользуемся

условием,

что кривая

проходит

через т о ч к у

M , тогда 2 = ln1 + C и C = 2. Таким образом: y = ln x + 2.

10.2. Скорость тела

задана

функциейv = 3t2 м/с. Найти

закон

изменения пути S, если

за t = 2с,

тело прошло путь

S = 20м.

Решение. Имеем: S = òv dt = 3òt 2dt = t3 + C. Согласно начальному условию: 20 = 23 + C, откуда C =12. Таким образом, искомый закон S = t3 +12.

2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1. Определение определенного интеграла. Свойства. Формула Ньютона-Лейбница

1°. Пусть на отрезке

[a,b] задана

непрерывная

функция

y = f (x) . Разобьем

отрезок [a,b]

на п частей.

каждом

из

отрезков

Dxi

= xi - xi-1

возьмем

по

точкеxi ,

вычислим

значение

функции f (xi ) .

Сумма å f (xi )Dxi

называется

i=1

интегральной суммой для функции f (x)

на отрезке [a,b] . В

зависимости

от

деления отрезка[a,b]

на

частичных

отрезков и выбора точекxi . можно составить бесчисленное

множество интегральных сумм.

Определенным

интегралом от функцииf(x) на

отрезке

[a,b] называется

число,

равное

общему

пределу

всех

интегральных сумм при стремлении к нулю максимального отрезка разбиения

b	f (x)dx =	lim	n	f (x		)Dx .
ò	f (x)dx =	lim	å	f (x	i	)Dx .
ò		max Dx ®0	å		i	i
a		i	i=1
a			i=1

Числа а и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, отрезок [a, b] - промежутком интегрирования.

2°. Свойства: 1. Определенный интеграл зависит только от вида функцииf(x) и пределов интегрирования, но не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.

b b

ò f (x)dx =ò f (t)dt .

2.Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования

b b

ò f (x)dx = -ò f (x)dx .

a a

3. Интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

ò f (x)dx =0 .

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

b		b
ò Af (x)dx = Aò f (x)dx .
a		a
5. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от
этих функций
b		b	b
ò( f1(x) + f2 (x))dx =ò f1 (x)dx + ò f2 (x)dx .
a		a	a
6. Отрезок интегрирования можно разбивать на части
b	c		b
ò f (x)dx =ò f (x)dx + ò f (x)dx ,
a	b		c
причем точка с может	быть	как	внутренней точкой деления

отрезка (a < c < b) , так и внешней (a < b < c) .

3°. Формула Ньютона-Лейбница. Если F(x) есть первооб-

разная от непрерывной функции f(x), то справедлива формула

ò f (x)dx = F (x )ba = F (b) - F (a).

По формуле Ньютона-Лейбница сначала находят первообразную, а затем находят разность первообразных, соответственно, при верхнем и нижнем значении предела.

4°. Нахождение интегралов от четных и нечетных функций с симметричными пределами интегрирования можно

a	a
упростить, применяя формулы ò f (x)dx = 2ò f (x)dx , если
-a	0
a
f(x) - четная функция, ò f (x)dx = 0 ,	если f(x) - нечетная
-a

функция.

5°. Если функция периодическая с периодом Т, то

b b+nT

ò f (x)dx = ò f (x)dx; (n = 0, ±1, ±2,...) .

aa +nT

1.1.Вычислить интегралы:

(3x2 +1)dx;

а) ò1

б) ò0

ç1

+ e4

÷ dx;

в) ò-1

dt; г) ò0

sin

dx;

3t + 4

Решение. а) Представим определенный интеграл в виде суммы двух интегралов и для каждого из них воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница

ò3 (3x2 +1)dx = 3ò x2dx + òdx = x3 3 + x 3 = (33 -13 ) + (3 -1) = 28.

1 1 1

							1			1
б) По формуле Ньютона-Лейбница имеем
		4 æ				x	ö			æ					x			ö		4
						x									x					4

		ò0 ç1+ e4					÷ dx = ç x + 4e4											÷		= (4 + 4e) - (0 + 4) = 4e.
		è					ø			è								ø		0
		è					ø			è								ø		0
в) По формуле Ньютона-Лейбница имеем
		dt							7				1						1							7
									7				1						1							7
ò-71					dt =			1	ò	(3t + 4)-							d (3t + 4) =						2	(3t + 4)
								1							2								2		2
															2										2
		3t + 4					3		-1										3							-1
	2	3t + 4							-1					8												-1
=	2	( 21+ 4 - -3 + 4) =												8		.
=		( 21+ 4 - -3 + 4) =														.
3													3
г) Пользуемся формулой Ньютона-Лейбница
ò0p sin			x	dx = -2 cos							x	p	= -2(cos								p	- cos 0) = 2.
			x								x										p

		2								2		0							2
		2								2		0							2

1.2.Вычислить интегралы: а) ò sin2 xdx;

-p

x7dx

sin2 x + sin 2x

б) ò

; в) ò

dx.

+ 4x

+ 7

cos

-3

Решение. а) Подынтегральная функция есть произведение двух нечетных функций, т. е. является четной функцией, поэтому

	p				p		p					p
	2				2			2	æ	1	ö			p
			2			2						2

	ò sin			xdx = 2òsin			xdx = ò(1- cos 2x)dx = ç x -				sin 2x ÷		=
										2				2.
-		p		0			0		è		ø	0

		2

б) В силу нечетности подынтегральной функции и симметричности пределов интегрирования данный определенный интеграл равен нулю

3	x7 dx		= 0 .
-ò3 x6	+ 4x2	+ 7

в) Подынтегральная функция имеет период p , поэтому из верхнего и нижнего пределов интегрирования можно вычесть 2p . Определенный интеграл примет вид

sin2

x + sin 2x

sin2 x + sin 2x

dx = ò

dx =

cos

= ò(tg

x + 2tgx)dtgx =

x + tg

x ÷

3 + 3 -

-1

3 +

2.2. Замена переменной в определенном интеграле

Пусть дан интеграл ò f (x)dx , где функция f(x) непрерывна

на отрезке [a,b] . Введем новую переменнуюt по формуле x = j(t) .

Если j(a) = a; j(b) = b , функция j(t) и ее производная

j¢(t)	непрерывны на отрезке	[	a, b	]	и	(	j	(	t	))	определена и
j¢(t)	непрерывны на отрезке		a, b		и	f	j		t		определена и
непрерывна на отрезке [a, b ], то
	b		b

ò f (x )dx = ò f (j (t ))j¢(t )dt.

xdx

2.1. Вычислить определенные интегралы: а) ò

;

1+ x

ln 3

+ tg

б) ò

; в)

; г) ò

dx; д) ò

;

- e

-x

16 - x

ln 2

0 3 + 2cos x

(1+ tgx)

ln 3 ln (x +1)

x sin x

е) ò

dx;

ж) ò

dx.

1+ cos

ln 2

Решение. а) Сделаем

замену

переменнойx = t2 ,

тогда

dx = 2tdt .

Находим

новые

пределы

интегрирования: при

x = 0,t = 0 и при x = 3,t =

3 . Интеграл примет вид

xdx

3 t 2

+1-1

tdt = 2 ò

dt = 2 ò dt - 2 ò

1+ x

+ t

0 1

= 2t

- 2arctgt

= 2 (

3 - arctg

3 )= 2 ç

3 -

÷.

б) Полагаем ex

= t , тогда dx =

. Находим новые пределы

интегрирования: при x = ln 2,t = 2 и при x = ln 3,t = 3 . Отсюда

ln 3

t -1

1 æ

çln

- ln

lnò2 ex - e

ò2

(t -t -1 )t

ò2 t 2 -1 2

t +1

в) Сделаем замену t = tg	x	, тогда	dx =	2dt	, cos x =	1 -t2	.
	2			1+ t2		1+ t 2

Перейдем к новым пределам интегрирования: при x = 0,t = 0 и

при x = p , t =1 . Интеграл примет вид

1+ t 2

= 2ò

3 + 2 cos x

3 + 3t

2 - 2t

0 3 + 2

1- t

+ t 2

2 5

= 2ò

arctg

+ 5

г)

Сделаем

замену tgx = t ,

тогда

dx =

. Перейдем к

1+ t2

новым

пределам

интегрирования:

при

x =

,t =1 и при

x =

,t = 3 . Интеграл имеет вид

1+ tg

1+ t

dx = ò

= ò (1+ t )-2 d 1(+ t ) =

(1+ t )

+ t

(1+ tgx)

3 -1

= 1-

= -

1+ t

1+ 3

2 (1+ 3 )

д) Сделаем замену x = 4 sin t , тогда dx = 4 cos tdt .

Перейдем к новым пределам интегрирования: при

x = 0,t = 0

и при x = 4, t =

. Интеграл примет вид

x2dx

sin2 t4costdt

=16ò

=8ò(1-cos2t)dt =8çt -

sin2t ÷

= 4p .

4cost

16-x

e) В данном определенном интеграле первообразная не выражается через элементарные функции. Воспользуемся искусственным приемом. Сделаем подстановку x = tgt, тогда


dt =	dx	и при x = 0,t = 0 , а при x =1, t =		p	. Таким образом
dt =		и при x = 0,t = 0 , а при x =1, t =			. Таким образом
1+ x2			4
		p	p

1	ln (x +1)				4	4
ò				dx = òln (tgt +1)dt = òln
ò	x	2	+1	dx = òln (tgt +1)dt = òln
0	x		+1	0		0
	p					p

sin t + cos t = cos t

æ p

öö

= òln ç

2 sin ç

+ t

÷÷ dt - òln cos tdt =

øø

æ p

ln 2

+ òln sin ç

+ t ÷ dt - òln cos tdt.

Последние два интеграла равны между ,собойт. к.

приводятся один к другому с помощью подстановки t = p -j .

j = 0 и интегралы равны.

ln (x +1)

æ p

dx =

ln 2 - òln sin

-j ÷dj + òln cos tdt =

è 2

ln 2 + òln cosjdj -òln cos tdt =

ln 2.

ж)

Воспользуемся подстановкой x = p -t , тогда при x = 0 ,

t = p

и при x = p ,

x = p ,t = 0 . Интеграл примет вид

x sin x

(p -t )sin t

p (p - t )sin t

ò0

= -pò

1+ cos2 t

= ò0 1+ cos2 t

dt =

1+ cos2 x

sin t

t sin t

= p ò

- ò

dt.

1+ cos

Поскольку величина определенного интеграла не зависит от переменной интегрирования, то, заменяя в последнем интеграле t на x и перенося его в левую часть, будем иметь

x sin x

p p

sin tdt

dx =

= -

arctg( cost )

1+ cos2 x

1 + cos2 t

= -

(

arctg

(

-1

- arctg1 =

p 2

)

2.3. Интегрирование по частям

1°. Интегрирование по частям в определенном интеграле выполняется по формуле

b	b	b

òudv = uv	- òvdu .	(1)
òudv = uv	- òvdu .
a	a a

2°. Обобщенная формула интегрирования по частям имеет вид

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 248 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20221.88 Mб12584.pdf
#
15.11.20221.89 Mб02589.pdf
#
15.11.20221.9 Mб02591.pdf
#
15.11.20221.91 Mб12595.pdf
#
15.11.20221.91 Mб02597.pdf
#
15.11.20221.92 Mб12601.pdf
#
15.11.20221.92 Mб32602.pdf
#
15.11.20221.93 Mб12605.pdf
#
15.11.20221.93 Mб12606.pdf
#
15.11.20221.93 Mб12609.pdf
#
15.11.20221.93 Mб22612.pdf