2582
.pdf10.Найти периметр треугольника с вершинами M1(2; 4; 5), M2(3; 8; 13), M3(-1; 0; 5). Найти уравнение треугольника и угол между сторонами M1M2 и M1M3.
11.Через точку M1(2; 3; 6) провести плоскость
2x − 6y + z = 0,
перпендикулярную прямой 4x − 3y − z +1 = 0 .
Вариант 27
1. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, восстановленных из середин сторон треугольника, вершинами которого являются точки A(2; 3), B(0; -3), C(5; -2).
2. Написать уравнение прямой, отсекающей на оси oy отрезок, величина которого равна 3, и наклоненной к
|
оси ox под углом 135º. |
|
|
|||||||
3. |
|
|
Вычислить |
тангенс острого |
угла между |
прямыми |
||||
|
|
|
a +b |
2b − a |
|
|
||||
|
|
y = |
|
x + c , y = |
|
x +α . |
|
|||
|
a −b |
2a +b |
|
|||||||
4. |
|
|
На прямой |
x − y −81 = 0 найти такую точку, |
у которой |
|||||
|
абсцисса в десять раз больше ординаты. Найти расстояние |
|||||||||
|
от найденной точки до прямой 3x − y +1 = 0 . |
|
||||||||
5. |
|
|
Дан тетраэдр с вершинами A(2; 0; 1), B(0; 0; 3), C(1; 2; |
|||||||
|
1), D(4; 3; 2). Найти угол между гранями ABC и ACD. |
|||||||||
|
Составить уравнение плоскости, проходящей через |
|||||||||
6. |
вершину D параллельно грани ABC. |
|
||||||||
|
|
Составить уравнение плоскости, проходящей через |
||||||||
|
точку M1(3; 5; 1) и M2(4; 2; 3) и параллельной вектору |
|||||||||
|
|
|
{3;−1;− 2}. Найти расстояние от точки P(5; -2; 4) до |
|||||||
|
|
a |
||||||||
7. |
построенной плоскости. |
|
|
|||||||
|
|
Составить уравнение плоскости, проходящей через |
||||||||
|
точки M1(1; 1; 1), M2(2; 3; 4) и перпендикулярной |
|||||||||
|
плоскости 2x −7 y +5z +3 = 0 . |
Полученное |
уравнение |
|||||||
привести к уравнению в отрезках и построить.
231
8. Написать каноническое уравнения прямой
8x − 5y − z −1 = 0,x + 3y + 2z + 3 = 0 .
9.Составить уравнение прямой, проходящей через точку
x − y −4z −5 = 0,
B(3; 4; -4) параллельно прямой 2x + y −2z −4 = 0 . При
каком m построенная прямая будет перпендикулярна прямой xm+1 = y 3−1 = z +4 2 .
10.Найти проекцию точки M(-1; -1; 0) на плоскость
3x +3y − z −9 = 0 .
11.При каких значениях A и B прямая x 2−1 = y−+13 = z +5 2
лежит на плоскости Ax + By − z +3 = 0 . При А=1, В=-2.
Найти угол между прямой и плоскостью.
Вариант 28
1.Даны вершины треугольника A(2; 1), В(0; 7), С(-4; -1). Найти уравнение его медиан и точку их пересечения.
2.Составить уравнение прямой, которая проходит через
точку M1(2; -5) и отсекает отрезок втрое больше, чем на оси ординат (считая каждый отрезок, направленным от начала координат).
3. |
Даны |
уравнения |
сторон |
треугольника |
|
3x −7 y + 22 = 0 (АВ), |
|
4x + y −12 = 0 (ВС), |
|
|
5x +9y +16 = 0 (АС). Найти |
угол |
между высотой, |
|
проведенной из вершины В и прямой, проведенной через точку С параллельно АВ.
4.Дана прямая 6x −8y −15 = 0 . Найти уравнение прямой,
параллельной данной и отстоящей от нее на расстоянии четырех единиц.
5. Плоскость α проходит через точку Р(2; 1; 1) и отсекает на осях ох и oy отрезки, соответственно равные 4 и -6.
232
Плоскость β задана уравнением mx +3y + nz −6 = 0 . При
6. |
каких m и n плоскости будут параллельны? |
|
|
||||||||
Плоскость α проходит через точку M1(5; 3; 2) и |
|||||||||||
|
параллельна двум векторам |
|
{4;1;2}и |
|
{5;3;1}. Плоскость β |
||||||
|
a |
b |
|||||||||
|
проходит через точку Р1(1; 1; 1), Р2(2; 3; 2) и Р3(3; 4; 2). |
||||||||||
7. |
Найти угол между плоскостями α и β. |
|
|
|
|||||||
Вычислить |
расстояние |
между |
плоскостями |
||||||||
|
2x −11y +10z −15 = 0 и 2x −11y +10z + 45 = 0 . |
|
|
||||||||
8. |
Написать |
каноническое |
уравнения |
прямой |
|||||||
|
4x − 4y − 7z +1 = 0, |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 5y − z + 5 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. |
Найти точку симметричную точке С(-1; 2; 0) |
||||||||||
|
относительно прямой x = t −1, y = −2t +3 , z = 2t − 4 . |
||||||||||
10. |
При каком |
n |
плоскость |
−5x + y + nz −1 = 0 будет |
|||||||
|
параллельна прямой |
x − 2y + 3z +1 = 0, |
? При |
n |
= -1 найти |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2x + y − 4z −8 = 0 |
|
|
|
|||||
|
точку пересечения и угол между прямой и плоскостью. |
||||||||||
11. Прямая α проходит через точку M1(3; 4; 7) и M2(-1; 3; |
|||||||||||
|
3). Прямая β проходит через точку Р(3; 2; -1) параллельно |
||||||||||
|
x = 2t + 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямой y = 3t −1, . Найти угол между прямыми α и β. |
||||||||||
|
|
+ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = −2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 29
1.Вершиной треугольника служит точка M1(5; -3), а основанием – отрезок, соединяющий точки M2(0; -1) и M3(3; 3). Составить уравнение сторон треугольника и найти длину высоты треугольника.
2.Найти угол наклона к оси ох и начальную ординату
прямой − x 3 + 1y =1.
3. |
Стороны |
треугольника |
заданы |
уравнениями |
|
3x − 2y + 6 = 0 (АВ), |
2x + y −10 = 0 (ВС), |
||
|
|
233 |
|
|
x −3y + 2 = 0 (АС). Найти углы, которые медиана ВМ образует со сторонами АВ и ВС.
4.Написать уравнение прямой, параллельной прямым
|
2x −3y + 7 = 0 и 2x −3y +5 = 0 и |
проходящей |
посередине |
||
5. |
между ними. |
|
|
|
|
Через |
точку |
пересечения |
плоскостей |
||
|
x + 4y +5z −12 = 0 , |
|
x + 2y −3z −9 = 0 , |
||
|
3x + 6y + z − 21 = 0 провести |
плоскость, параллельную |
|||
|
плоскости |
4x − y − 2z −1 = 0 . |
Полученное |
уравнение |
|
привести к уравнению в отрезках и построить.
6.Через точку Q(-1; 3; -8) проведены две плоскости, одна из них содержит ось Oy, другая Oz. Вычислить угол между этими плоскостями.
7.Плоскость проходит через точки M1(0; 1; 2), M2(2; 8;
3), M3(3; -2; -1). Найти расстояние точки Р(5; -8; 6).
8. Написать каноническое уравнения прямой
2x + 7 y − z − 2 = 0,3z − 3y + 2z + 6 = 0 .
9. |
Доказать, |
|
что |
прямые |
x −1 |
= |
y + 2 |
= |
z |
и |
|
|
3 |
|
− 2 |
|
|||||||
|
x + y − z = 0, |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
параллельны и найти расстояние между |
|||||||||
|
x − y − 5z − 3 |
= 0 |
|||||||||
ними.
10. Прямая α проходит через точку А(1; -3; 6) параллельно оси Oy. Прямая β проходит через точку В(2;
1; -1) параллельно прямой x +3 2 = y 2−1 = z−+13 . Найти угол между прямыми.
11.Прямая проходит через точки M1(-1; 3; 0), M2(1; 7; 3).
Плоскость задана уравнением 3x + By + 2z + D = 0 . При каких B и D прямая лежит в плоскости?
234
Вариант 30
1. Даны вершины четырехугольника ABCD: A(2; 1), B(5; 2), C(3; 6), D(0; 3). Найти точку пересечения его диагонали. Через вершину С провести прямую, параллельную диагоналям BD.
2. |
Дано уравнение прямой y − 5 = |
1 |
|
(x + 4) . Написать |
|
3 |
|||||
|
|
|
|||
уравнение в отрезках и нормальное уравнение.
3.Найти внутренние углы треугольника, если даны
уравнения |
его |
сторон: |
x − 3y + 3 = 0 (АВ), |
x+ 3y + 3 = 0 (АС) и основание D(-1; 3) высоты AD.
4.Найти точку M симметричную точки N(7; -4) относительно прямой, проходящей через точки А(3; -2) и
В(1; 4).
5.Плоскость α проходит через точку M1(1; 1; -4), M2(0; -1;
|
-1), M3(-1; |
2; |
12). Плоскость |
β |
задана уравнением |
|
|
x + 2y − 3z + 2 = 0 . Показать, что плоскости параллельны, |
|||||
|
и выяснить, какая их них расположена ближе к точке Р(0; - |
|||||
6. |
7; 3). |
|
|
|
|
|
Плоскость α проходит через точку M1(2; -4; 3) и |
||||||
|
отсекает на оси Oy отрезок вдвое меньше чем на оси ox и |
|||||
|
втрое больше чем на оси oz. Плоскость β задана |
|||||
|
уравнением |
4x − my + nz −1 = 0 . |
При каких |
m и n |
||
|
плоскости параллельны? При m=-1, n=2 найти угол между |
|||||
7. |
ними. |
|
|
|
|
|
Найти такое |
число а, чтобы |
четыре |
плоскости |
|||
x + 3y − 2z + 6 = 0 , 2x − 3y + z −1 = 0 , 2z + 6y − 2z + 5 = 0 , 4x + 4y + 2z + a = 0 проходили через одну точку.
8. |
Написать |
каноническое |
уравнения |
прямой |
|
{ 9x − y − z −1 = 0, . |
|
|
|
|
x + 5y + 3z + 4 = 0 |
|
|
|
235
9. При каких l и n прямая x −l 7 = y 1−4 = z −n 5 и плоскость
3z − y + 2z − 5 = 0 будут перпендикулярны? При l=5, n=4
найти угол между ними.
10. Прямая α проходит через точку M1(-1; 2; 4), перпендикулярно плоскости 2x + y − 6z +10 = 0 . Прямая β
проходит через точки M1(2; 3; -5) и M2(-4; 0; 3). Найти угол между прямыми α и β.
11. Найти точку M симметричную точке Р(-1; 2; 4) относительно плоскости 3x + 2y + z + 9 = 0 .
236
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Приступая к изучению высшей математики, необходимо знать, что математику нельзя изучать пассивно, нужно стараться глубоко вникать в смысл математических понятий и теорем, пытаться самостоятельно решать математические задачи. Результатами изучения курса высшей математики должны быть развитие аналитического мышления, овладение навыками решения математических задач, выработка умения самостоятельно ставить задачи и выбирать или разрабатывать методы их решения.
Материал практикума предоставляет возможность студентам самостоятельно освоить основные положения одного из важнейших разделов в курсе высшей математики – векторной алгебры и аналтической геометрии. Позволяет преобрести и закрепить практические навыки решения простых типовых задач, а также познакомится с методикой использования векторов и матриц к задачам механики и физики. Наиболее эффективный результат может быть достигнут, если использовать пособие, как для аудиторных занятий, так и для самостоятельной работы.
Несколько слов о том, как работать с этой книгой. Прежде, чем приступать к изучению методов решения задач, необходимо повторить основные определения и теоремы, относящиеся к данному разделу, постараться понять и запомнить наиболее часто используемые формулы. После этого можно переходить к изучению разобранных примеров. Некоторые типовые задачи и методы рассмотрены в пособии, как в общем виде, так и на примерах. Весьма полезно изучить и то и другое. Это поможет вам не только отработать навыки решения задач, но и лучше понять и усвоить теоретический материал.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие для втузов / В.П. Минорский. — М.:
Наука, 1987.
2.Гусак А.А. Высшая математика / А.А.Гусак. — Мн.: «ТетраСистемс», 2003. Т. 1. - 543 с.
3.Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, Ч. 1, 2.
—М.: ОНИКС 21 век, Мир и образование, 2003.
4.Ильин В.А. Аналитическая геометрия / В.А. Ильин, З.Г. Поздняк. – М.: Физматлит, 1981.
5.Беклемешев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В. Беклемешев. – М.:Наука, 1985.
6.Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии / Н.В. Ефимов. - М.: Физматлит, 1978.
7.Погорелов А.В. Аналитическая геометрия / А.В. Погорелов. - М.: Высш. шк., 1978.
8.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В. Клетеник. - М.: Высш. шк., 1987.
9.Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии / О.Н. Цубербиллер. – М.: Наука, 1970.
10.Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный. – М.: Рольф, 2007.
11.Краснов М.Л. Вся высшая математика / М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко. – М.: Едиториал УРСС, 2003.
238
237
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
3.3. Уравнения прямой линии. Геометрическое |
|
|
|
истолкование неравенства и системы |
|
ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………….. |
3 |
неравенств первой степени…………………… |
93 |
1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ. |
|
3.4. Задачи на прямую линию……………………..… 104 |
|
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ…………….…… 4 |
3.5. Уравнение линии как геометрического |
|
|
1.1. Определители. Способы вычисления……………… |
места точек………………………………………. |
120 |
|
|
4 |
|
|
1.2. Системы линейных уравнений. |
|
3.6. Кривые второго порядка………………………….124 |
|
Правило Крамера…………………………….. |
14 |
3.7. Преобразование декартовых координат……….. 143 |
|
1.3. Основные определения теории матриц. |
|
3.8. Полярная система координат. Уравнения |
|
Сложение и умножение матриц………………………. |
кривых…………………………………………… |
152 |
|
1.4. Транспонирование матриц……………………….. |
21 |
|
|
30 |
3.9. Параметрические уравнения плоских кривых…… …. |
||
|
|
160 |
|
1.5. Обратная матрица…………………………………. 32 |
4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В |
|
|
1.6. Матричный метод решения систем линейных |
|
|
|
уравнений…………………………………………. |
35 |
ПРОСТРАНСТВЕ……………………………………. |
163 |
1.7. Решение систем линейных уравнений методом |
|
4.1. Системы координат…………………………….. |
163 |
исключения (метод Гаусса)………………………. 37 |
4.2. Плоскость……………………………………….. |
164 |
|
1.8. Ранг матрицы……………………………………… 41 |
4.3. Прямая линия……………………………………. 171 |
||
1.9. Решение систем линейных уравнений. Теорема |
|
4.4. Прямая и плоскость…………………………….. |
175 |
Кронекера-Капелли………………………………. |
45 |
4.5. Поверхности второго порядка…………………. |
180 |
|
|
4.6. Геометрический смысл уравнений с тремя |
|
2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА………………………………… 54 |
неизвестными в пространстве………………… |
192 |
|
2.1. Векторные и скалярные величины. Линейные |
|
4.7. Параметрические уравнения |
|
операции над векторами……………………………54 |
пространственных кривых…………………….. 197 |
||
2.2. Разложение вектора по координатным осям…….. 62 |
5. ЗАДАЧИ ДЛЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА……………… 199 |
||
2.3. Скалярное произведение……………..…………… 68 |
|
|
|
2.4. Векторное произведение….……………………… |
74 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………. |
237 |
2.5. Смешанное произведение…………….…………… 78 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК……………… |
238 |
|
3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ |
|
||
|
|
|
|
НА ПЛОСКОСТИ………………………………………..83 |
|
|
|
3.1. Координаты точки на прямой и на плоскости. |
|
|
|
Длина и направление отрезка …………………. |
83 |
|
|
3.2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь |
|
|
|
Треугольника и многоугольника. Центр тяжести…87
240
239