2512

2. Разложим функцию y sin xряд Маклорена. Имеем:

ваемый степенной ряд сходится к производящей функции. Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена

некоторых элементарных функций:

71

Данное разложение справедливо для x 3,3.

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение n частичной суммы числового ряда.

2.Когда числовой ряд расходится? Приведите примеры сходящихся и расходящихся числовых рядов.

3.Перечислите свойства числовых рядов.

73

4.Сформулируйте необходимый признак сходимости числового ряда. Если он не выполняется, то следует ли из этого расходимость числового ряда?

5.О чем говорят теоремы сравнения?

6.Сформулируйте признак сходимости Даламбера.

7.Когда целесообразно использовать радикальный признак сходимости Коши?

8.Что сопоставляется с числовым рядом в интегральном признаке сходимости Коши?

9.Дайте определение знакочередующегося числового ряда.

10.Докажите признак Лейбница.

11.Как теорема Лейбница помогает производить оценки знакочередующихся рядов?

12.Какие ряды являются обобщением знакочередующихся ря-

дов?

13.Что такое абсолютная сходимость знакопеременного ряда?

14.Перечислите свойства абсолютно сходящихся знакочередующихся рядов.

15.Чем в практическом отношении сложны условно сходящиеся числовые ряды?

16.Дайте определение функционального ряда.

17.Что является областью сходимости функционального ряда?

18.Когда функциональный ряд мажорируем?

19.Дайте определение равномерной сходимости функционального ряда.

20.Перечислите свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

21.Дайте определение степенного ряда.

74

22.Что является радиусом сходимости степенного ряда?

23.Как выглядит формула Коши-Адамара?

24.Что такое ряд Тейлора?

25.Когда ряды Тейлора и Маклорена сходятся к порождающим функциям?

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать сходимость числовых рядов с положительными членами, применяя теоремы сравнения или необходимый признак сходимости:

Исследовать сходимость числовых рядов с положительными членами, применяя признак Даламбера:

75

ся.

Исследовать сходимость числовых рядов с положительными членами, применяя радикальный признак сходимости Коши:

Исследовать сходимость числовых рядов с положительными членами, применяя интегральный признак сходимости Коши:

сходится.

76

лютно.

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости:

Разложить в ряд Маклорена функцию:

77

78

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данное пособие содержит теоретические сведения о дифференциальных уравнениях, а также достаточное количество примеров на эту тему. Далее излагается теория числовых и функциональных рядов, подробно проиллюстрированная примерами.

Рассмотренный раздел высшей математики является базовым и входит в обязательный перечень тем, необходимый для дальнейшего изучения высшей математики и для успешного освоения специальных дисциплин по специальности «Автоматизированное оборудование».

79

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ CПИСОК

1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменно-

го. М.: Наука, 1981.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов.Т.2. М.: Наука, 1985.

3.Толстов Г.П. Элементы математического анализа. Т.2. М.:

Наука, 1974.

4.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1975.

5.Каплан И.А. Практические занятия по высшей мате-

матике. Харьков: ХГУ, 1973.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Ч.1. Учеб. пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1996.

80