2495

тому, в котором она изменилась в предыдущий период. В соот-

= ( −1

− ∆−2).

(5.4)

ветствии с этим функция предложения принимает вид:

5.4.

: = 0 и = 1

Задачи

< 0

5.3.

Дайте интерпретацию предельным случаям значения

параметра

,а также варианту, в котором

.

Пусть функции спроса и предложения линейны (5.2).

тельно решите задачи с первой по шестую (данной главы), не

0 < < 1

0 и 1

конкретизируя значений параметров

В= 0,1

наряду с ценами

в пе-

, считая их заданными

≥ 0, ≥ 0, ≠ ,

риод

.

случае затруднений используйте варианты численных

значений параметров и цены

из табл. 5.2.

1.

Найдите

стационарное решение модели и убедитесь,

P0

и P1

предложения .

что оно совпадает с ценой рыночного равновесия в статике

2.

цене

объемы спроса

и.

Определите соответствующие

Найдите

разностное уравнение для определения пове-

т.е. для

переменной

.

уравнения в зависимо-

решение разностного

a) найдите общее

= −

сти от дискриминанта его характеристического уравнения;

б)

с читая значение цены

в периоды

= 0,1

задан-

ными, найдите решение задачи

Коши;

0, 1

= ( ), = ( ), = ( )

найдите функции

в) используя решение =, описывающие( ),

динамику цены,

метры модели, < 0, > 0, <

. Определите условия на пара-

в)

4. Пусть

→

при → ∞;

→ ∞ при → ∞;

при которых:

а)

б)

последовательность

не имеет предела (в том числе и бес-

поведение последовательности в этом

конечного). Опишите( )

случае. Каким образом изменяются в этих ситуациях спрос

и

метьте

на

них = ( ), = ( ),

= ( )

≥ 0

гра-

предложение

? Во всех случаях постройте (схематично)

фики

функций

при

,

от-

= 0,1, ….

точки,

соответствующие

целым

значениям

.Найдите условия на параметры модели, при которых

последовательность

имеет колебательный характер. Ока-

зывают ли влияние

значения параметров

на ха-

( )

, и цен 0?, 1

рактер изменения последовательностей

6.

< 0, < 0

или > 0, > 0

более редких для прак-

5. Исследуйте поведение цены в( ),

( ), ( )

тики случаях, когда

= 1

.

Исследуйте поведение модели при

.

Таблица 5.2

Номер

P0

P1

1

9

1

-1

1

1/4

2

6

2

9

1

-1

1

1/2

2

6

3

15

1

-1,5

2

3/4

1

3

4

11

1

-4

1

1

1

5

5

9

3

-1

1

1

1

4

6

9

3

-1

4

1

1

4

7

15

1

-3

4

1/4

1

3

8

12

1

-1,5

4

1/4

1

3

9

20

1

-0,75

4

1/4

1

3

10

8

1

-1,5

2

1/5

1

5

11

10

1

-1

2

1/2

1

5

12

7

1

2

1

1/2

1

6

13

7

1

1

2

1/2

1

6

предложения характеризуются следующими общими зависимо-

стями:

= , ,

= ( ).

(5.5)

Закон равенства

спроса и предложения приводит к сле-

̇

дующему уравнению для определения цены равновесия в ди-

намике:

, = ( ).

(5.6)

Оно является

дифференциальным и вместе с равенства-

̇

ния. Конкретную модель можно получить из уравнений (5.5),

(5.6), если специализировать вид функций D и S. Например, в

= + +

,

= + .

простейшем случае их можно выбрать линейными:

1

̇

(5.7)

Задачи

5.5. Рассмотрите модель с линейными функциями спроса

заданными. В

0

= 0

и предложения (5.7), считая параметры модели и начальное

значение цены

в период

известными, но численно не

случае затруднений используйте численные дан-

3. Найдите общее решение уравнения динамики цены, а

также решение,

отвечающееначальному

условию

.

= ( ),

=

( ).

предло-

Выпишите соответствующие им траектории спроса и(0) = Р0

жения

4. Пусть

(такие предложение на параметры

из их экономического смысла).

модели вытекают < 0, > 0

При каких значениях параметров траектории цены

рановесия в динамике имеетследующие свойства:

а) сходится с течением времени к Р*, т.е. цена имеет тенден-

цию к стабилизации;

б) неограниченно возрастает?

=

( ).

Р = Р( ),

=

( ) и

В обоих случаях изобразите схематично график функции

(5.8)

Ответьте на вопрос: влияет ли значение начальной цены

P0 и параметров α, β на характер и поведение этих функций?

< 0, > 0

или

> 0, > 0.

5. Исследуйте поведение цены, спроса предложения в бо-

лее редких случаях, когда

Таблица 5.3

Варианты численных значений параметров для непрерывной

модели спросапредложения

Номер

b

1

0

1

10

2

-1

1

-1

1

2

10

2

-1

1

-2

6

3

10

2

-3

-1

-1

5

4

1

11

3

1

-1

1

5

11

1

1

3

-1

2

предложения

(S):

(Заметим, что

здесь S-это

предложение производителей торговой фирме).

= + , = + .

Начнём с дискретного анализа.

Модель 1

Пусть

- объем запасов в период t. Разумно предпло-

ить рост цены

в текущем пе

жриоде,если в предшествующем

95

пропорциональной зависимости это допущение можно записать

− −1

= − ( −1 − −2),

в виде следующего равенства:

(5.9)

> 0

прирост запасов в период t в период t-1,

прирост цены

где

– заданный параметр. Но прирост запасов обуславли-

лешь остаток от реализации.

=

−

То

−

−1

−2

−1

−1

.

(5.10)

Избыточное

Предложение

−1

= + −1

,

В период t-1

−1 = + −1.

Но в силу равенства (5.8)

(5.11)

Подстановка этих

равенств в

предыдущее, а

затем в

= ( − )

+Модель[1 ( −2 )] −1.

(5.12)

(5.9), приводит к следующему разностному уравнению:

Другое естественное допущение, что не значение цены

посредниками (который предложил Cамуэльсон) состоит в сле-

дующем. Задается некоторый желаемый уровень запасов , и

цена текущем периоде повышается. если в предыдущий период

уровень запасов упал ниже желаемого, то допущение можно

=

−

− ,

описать пропорциональной зависимостью

Теперь следует

−1

−1

(5.13)

выразить

через цену P, чтобы полу-

всего сделать это следующим

чить искомое уравнение. Лучше −1

=

− (

− )

образом. Запишем неравенство (5.13) не для периода t, а для

(t-1):

−2

−2

.

анализу. Предварительно заметим, что как и в дискретном слу-

= −

чае - прирост запасов обусловлен потоком избыточного спроса.

Поэтому (вместо 5.10)),

+ ∫

и, следовательно, по форму-

где

(

)

=

(

)

− ( )

,

(5.15)

0

0[

]

ле Лейбница-Ньютона

̇

0

= (0).

Модель 3

вой формой можно описать пропорциональной зависимостью:

̇

̇

(5.16)

Р = − Ζ = −( − )

Как и ранее,

здесь

̇

Р = −( − ) − ( − ).

> 0Модель− параметр4

.

Пусть

При выполнении каких условий на

параметры

модели поведен я цены во времени обладает свой-

< 0, > 0.

ствами:

а)

;

б) →

затухающими колебаниями относительно

многотонно

при → ∞;

в)

поочерёдно меняя знаки (взрывное колеба-

Р →

Р

);

ние ценыР → ±∞

г)

монотонно при

;

д)

какое ещё поведение цены во времени возможно?

Р → +∞

→ ∞

В каждом из рассмотренных случаев постройте (схема-

тично) графики функций

, отметьте на ней точки с

координатами

целыми

= ( ),

= ( ), = ( )

Зависит ли

характер поведения последовательности от

= 0,1 ….

значения параметров

и начальная цены

?

5.8.

Исследуйте модель 2 по схеме, предложенной в уп-

,

Р0

начальных условий P0, P1 из табл.5.5.

5.9. Покажите, что при

движение цены во

времени*

стремится к положению равно-

в модели 3 монотонноа < 0,

> 0

весия P .

5.10.Покажите, что в модели 4 при

цена не

течением времени,

имеет тенденции сходиться к равновесной са < 0,

> 0

а колеблется около неё.

= +

Показать,что

= + ( + )

5.11.

Постройте динамические модели типа 3 и 4 при

функциях спроса

и предложения

.

ния ( )

дифференциальные уравнения для цены отклоне-

(1

− ) ∙̇+ ∙ ( − )

∙ = 0,.

= ( )

− будут соответственно:

5.12.

̈− + ∙ ( − ) ∙ = 0

лям будет

= 0

→ ∞

Какова будет предельная форма модели предыду-

щей задачи при

? Покажите, что при

обеим моде-

соответствовать

уравнение

для

объясните результат.

цены отклонения. Решите это уравнение и̇= [( − )/ ] ∙

Варианты численных значений параметров

Таблица 5.4

и начальных данных для модели с запасами 1

Номер

α

β

α

b

10

1

10

2

-1

1

1/3

2

10

2

1

1

2/3

1

3

10

2

-1

1

2

1

4

10

2

-1

1

1

1

5

10

2

1

2

1/3

1

6

10

2

1

2

2

1

7

8

2

1

2

3

1

8

8

2

-1

-1

1/3

1

Номер

α

β

α

b

λ

20

41

1

12

2

-1

1

2

2

10

2

-1

1

1

1

3

3

10

2

-1

1

4

1

6

4

10

2

-1

-3

1

1

4

5

9

1

3

1

1

1

3