2449

Внутри дуанта частица под действием магнитного поля движется по дуге окружности радиусом r. Так как сила Лоренца перпендикулярна скорости, то ее действие приводит лишь к изменению направления скорости, при этом ее остается постоянным.

Динамическое уравнение применительно к внешнему витку траектории протона

m 2 Be. R

Из этого уравнения следует, что максимальные скорость и кинетическая энергия протона соответственно равны

eBR eBd ,

Период обращения протона в циклотроне

T 2 R 2 m .Be

За период одного обращения протон получает энергию 2eU , а за все время процесса ускорения дополнительную кинетическую энергию

W (2eU)N 2eU , T

где N - число оборотов протона за время ускорения . Если начальную кинетическую энергию принять за ноль, тоW W и, следовательно,

W 2eU e2BU . T m

Сопоставляя полученные значения кинетических энергий, найдем время процесса ускорения

111

действительно является нерелятивистским.

Вычислим путь, проходимый протоном за все время ускорения. С этой целью напишем выражение кинетической энергии на произвольном витке траектории радиуса r :

W e2B2 r2 . 2m

Отсюда

dW e2B2 r dr . m

Теперь действие ускоряющего поля между дуантами циклотрона формально распределим по всему витку. Работа такого условного поля равна

2eU eE 2 r,

откуда

E U .

r

На элементе d траектории полем E совершается

работа

dA eEd eU d dW .

r

Приравнивая полученные выражения

e2B2 r dr eU d , m r

112

найдем

2

d e B r2dr . mU

Длину траектории протона за время полного цикла ускорения, находим интегрированием:

Вычисляя, получим

S198м.

2.Релятивистское движение заряженных частиц

вэлектрических и магнитных полях

Метод решения. Применение формулы Лоренца, которая верна при любых значениях скорости движения заряженных частиц, а также основных уравнений релятивистской механики и кинематических уравнений движения.

Примеры решения задач

Задача 1. Релятивистский электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией B 10мТл по окружности радиуса r 0,1м. Найти скорость и период обращения электрона.

Решение При движении электрона по окружности в однородном

магнитном поле под действием силы Лоренца

Релятивистский импульс электрона равен

Возведем в квадрат данное выражение, получим

С целью упрощения, введем обозначение

e2r2B2 K . c2m2

В результате преобразований, получим

K .

1 K

Вычисления дают следующий результат

0,5, c 1,5 108 м/с.

Таким образом, скорость электрона сопоставима со скоростью света, это означает, что в данном случае электрон является релятивистским.

Период обращения электрона по окружности будет

Решение Начало системы координат совместим с начальным

положением частицы и покажем направления векторов E , 0

и , а также примерную траекторию движущейся частицы

(рис.69).

dt

Соотношение между полной энергией E частицы и ее импульсом p в релятивистской механике имеет вид

E cp2 m2c2 ,

где m - масса покоя частицы, c- скорость света.

Возводя в квадрат это уравнение, и подставляя величину p , получим

2

E (eEt)2 m2c2 . c2

Кинетическая энергия релятивистской частицы равна

T E E0 E mc2 ,

где E0 mc2 - энергия покоящейся частицы.

Так как по условию задачи T mc2 , то E 2mc2 .

найти такой закон изменения индукции В от радиуса кривизны траектории протонов в дуантах, при котором напряженность электрического поля между дуантами будет всегда сонаправлена скорости протонов. Определить максимальный радиус полуокружности, по которой протоны движутся в дуантах. Индукция магнитного поля B0 = 0,7 Тл.

Решение В отличие от предыдущей задачи (см. пример 4)

заданное значение энергии протонов столь велико, что они будут являться уже релятивистскими.

Уравнение движения протона в магнитном поле, с учетом зависимости массы от скорости, можно записать в виде

Таким образом, радиус кривизны траектории возрастает по мере ускорения частицы. Исходя из условия, что время движения протона по дуге полуокружности в одном из дуантов не должно зависеть от скорости, т.е.

найдем соотношение между В и В0:

B0 B1 υ2c2 .

Откуда

Это и есть зависимость B(r), при которой напряженность электрического поля и скорость протонов

117

между дуантов остаются все время сонаправленными, причем частота изменения направления электрического поля постоянна. Индукция поля возрастает по мере увеличения скорости протонов.

Для расчета максимального радиуса кривизны траектории определим соответствующее значение скорости из выражения для полной энергии протона

откуда

υ c1 E02 E2 ,

где E0 = mc2 = 940 МэВ – энергия покоя протона. Тогда

Полная энергия протона Е = Е0 +T = 1240 МэВ, а максимальный радиус кривизны r = 2,9 м.

2.3.4. Задачи для самостоятельного решения

Первый уровень сложности

1. Ион, несущий один элементарный заряд, движется в однородном магнитном поле с индукцией B = 0,015 Тл по

окружности радиусом r = 10 см. Чему равен импульс иона?

Ответ: р = 2,4·10-22 кг·м/с.

2. Заряженная частица движется в однородном магнитном поле по окружности радиусом R = 1 мм. Ее кинетическая энергия равна 1 кэВ. Найдите силу, действующую на частицу со стороны поля.

Ответ: F 2T/r 0,32 10 12 Н.

3.Перпендикулярно магнитному полю с индукцией

В= 0,1 Тл возбуждено электрическое поле напряженностью

118

Е = 100 кВ/м. Перпендикулярно обоим полям движется, не отклоняясь от прямолинейной траектории, заряженная

частица. Вычислить скорость частицы. Ответ: υ = 106 м/с.

4. Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104 В и влетела в скрещенное под прямым углом электрическое (Е = 10 кВ/м) и магнитное (В = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Ответ: 4,8 107 Кл/кг.

5. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить радиус окружности.

Ответ: r = 12 мм.

6. Заряженная частица, обладающая скоростью υ=2·106 м/с, влетела в однородное магнитное поле с индукцией В = 0,52 Тл. Найти отношение заряда частицы к его массе, если частица в поле описала дугу окружности радиусом R = 4 см. Определить по отношению, какая это частица.

Ответ: q 96,3 106 Кл/кг, протон.

mRB

7.Электрон в однородном магнитном поле с индукцией

В= 0,1 Тл движется по окружности. Найти величину эквивалентного кругового тока, создаваемого движением электрона.

Ответ: I Be2 4,48 10 10 А. 2 m

8. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 10-4 Тл по винтовой линии. Чему равна скорость электрона, если шаг винтовой линии h = 20 см, а

9. В циклотроне требуется ускорить ионы гелия (Не++). Частота переменной разности потенциалов, приложенной к дуантам, 107 Гц. Какова должна быть индукция В магнитного поля, чтобы период обращения ионов совпадал с периодом изменения разности потенциалов?

Ответ: В 1,3 Тл.

Второй уровень сложности

1.Частица, несущая один элементарный заряд, влетела

воднородное магнитное поле с индукцией В = 0,5 Тл. Определить момент импульса, которым обладала частица при движении в магнитном поле, если ее траектория представляла

дугу окружности радиусом 0,2 см.

Ответ: L = 3,2·10-25 кг·м2/с.

2. Заряженная частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 2 кВ и, попав в однородное магнитное поле, стала двигаться по окружности радиусом R = 1см. Определите отношение заряда частицы к ее массе, если индукция

магнитного поля В = 15,1 мТл.

Ответ: 17,5·1010 Кл/кг.

3.Однозарядные ионы аргона, пройдя ускоряющее напряжение U = 800 В, попадают в однородное магнитное поле, где разделяются на два пучка, движущиеся в вакууме по дугам окружностей радиусами R1 = 7,66 см и R2 = 8,08 см. Определите массовые числа изотопов аргона, если индукция магнитного поля В = 0,32 Тл.

Ответ: 35,9; 39,9.

4.Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 9·10-3 Тл по винтовой линии, радиус которой r = 1 см и шаг h = 7,8 см. Определить период обращения

электрона и его скорость.

Ответ: Т = 3,97·10-9 с; υ = 25·106 м/с.

120